primo ordine, teoria del

primo ordine, teoria del

primo ordine, teoria del espressione usata per contraddistinguere una particolare categoria di teorie matematiche formalizzate. Formalizzare una teoria significa esprimere i suoi assiomi in un linguaggio formale (si consideri per esempio l’aritmetica formalizzata dagli assiomi di → Peano) nonché le sue regole di inferenza. Solitamente le teorie matematiche sono formalizzate in un linguaggio dei predicati, facendo quindi uso di: 1) variabili e costanti, che indicano gli elementi di base della teoria; 2) lettere predicative e lettere funzionali per indicare le proprietà e le relazioni fra variabili; 3) quantificatori per specificare a “quanti” elementi si riferisce una data proprietà. Si usano due quantificatori: il quantificatore universale, indicato con il simbolo ∀ (si legge «per ogni»), e il quantificatore esistenziale indicato con il simbolo ∃ (si legge «esiste»).

Una teoria formalizzata si dice teoria del primo ordine se i quantificatori ∀ e ∃ sono applicati soltanto alle variabili e non a predicati o a insiemi di variabili. Per esempio, la frase «per ogni numero x esiste un numero y tale che y > x» può essere tradotta nella formula ∀x∃y(y > x) espressa in un linguaggio del primo ordine perché i due quantificatori si riferiscono a due variabili (rispettivamente a x e y). Al contrario, una espressione come «per ogni proprietà P esiste un numero x che la soddisfa», tradotta formalmente da ∀P∃x, P(x), non appartiene a una teoria del primo ordine perché il quantificatore ∀ è applicato al predicato P. Una teoria in cui si quantifica sui sottoinsiemi dell’insieme delle variabili è detta teoria del → secondo ordine. Le teorie matematiche note possono essere espresse formalmente da teorie del primo ordine e, in ogni caso, le teorie di ordine superiore possono essere convenientemente tradotte in teorie del primo ordine.

Esempi di teorie del primo ordine sono il calcolo dei → predicati e la teoria dei → gruppi.