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potenza

Enciclopedia della Matematica (2013)
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potenza


potenza termine usato con significati diversi (→ insieme, potenza di un, o → cardinalità; → operatore, potenza simbolica di un; potenza di una → proiettività; → punto, potenza di un, rispetto a una circonferenza). In ambito numerico, è il risultato della operazione che associa a due numeri reali a e b il numero ab (che si legge «a alla b» o «a elevato a b»): a è detto la base della potenza, b ne è detto l’esponente, e ab indica il prodotto di b fattori tutti uguali ad a. La prima potenza di un numero è il numero stesso; la seconda potenza il suo quadrato, la terza il suo cubo. L’operazione di elevazione a potenza, definita in origine con esponente un numero naturale, è successivamente generalizzata ai numeri negativi e ad arbitrari esponenti razionali, reali e complessi, assumendo eventualmente che anche la base sia un numero complesso (si veda anche l’elevazione a potenza di un → polinomio).

Potenza con esponente naturale

Se l’esponente b = n è un numero naturale non nullo, allora tale numero indica il numero dei fattori uguali alla base che vanno moltiplicati tra loro:

formula

dove, se a ≠ 0, si pone a0 = 1. Non ha significato la scrittura 00. Valgono le proprietà delle potenze

formula

Potenza con esponente intero

Se l’esponente b = −n è un intero negativo, la scrittura a−n (con a ≠ 0) equivale alla scrittura 1/an. Una potenza con base reale ed esponente intero è negativa se e solo se la base è negativa e l’esponente è dispari.

Potenza con esponente razionale

Se l’esponente b = n /m è un numero razionale, la scrittura an/m (con a > 0) equivale alla scrittura

formula

vale a dire che su a si deve eseguire l’operazione di elevazione a potenza n-esima e di tale risultato si deve estrarre la radice m-esima. Per esempio, 4−3/2 = 1/8, perché 4−3 = 1/64 e √(64) = 8.

Potenza con esponente irrazionale

Se l’esponente è un numero irrazionale x, la potenza ax (sempre con a > 0) è definita per continuità: se {bn} è una successione di numeri razionali convergente a x, si definisce allora il numero ax come il limite, per n tendente all’infinito, della successione

formula

Potenza con esponente complesso

L’operazione di elevazione a potenza può infine essere generalizzata assumendo che l’esponente b sia un arbitrario numero complesso w: in tal caso la potenza aw è definita come il numero complesso aw = ewlog(a), dove log(a) indica il logaritmo naturale di a e dove ew è il valore della funzione esponenziale nel campo complesso ez per z = w.

Potenza con base ed esponente complessi

Ponendosi nell’ambito dei numeri complessi, l’operazione di elevazione a potenza può essere generalizzata anche a un’arbitraria base reale negativa o complessa: tuttavia, se l’esponente b non è un numero intero, si perde l’univocità dell’operazione: se per esempio a è un numero reale negativo e l’esponente b = n /m è un numero razionale, con n dispari e m pari, allora la scrittura

formula

ha significato solamente nell’ambito dei numeri complessi e definisce l’insieme delle m radici m-esime del numero reale negativo an. Più in generale, se z e w sono due arbitrari numeri complessi, allora si definisce zw = ewlog(z), dove eu indica la funzione esponenziale complessa e dove log(u) indica la funzione logaritmo complesso. Poiché la funzione logaritmo complesso è polidroma, fissando l’esponente w l’operazione di elevazione a potenza così definita individua una funzione polidroma dell’insieme C dei numeri complessi in sé stesso: per ogni z, la sua potenza zw è un insieme in generale infinito i cui elementi differiscono tra loro per fattori che sono potenze intere di e2πiw. Tale insieme è costituito da un solo elemento se e solo se l’esponente w è un numero intero mentre è finito se e solo se w è un numero razionale.

Indice
  • 1 Potenza con esponente naturale
  • 2 Potenza con esponente intero
  • 3 Potenza con esponente razionale
  • 4 Potenza con esponente irrazionale
  • 5 Potenza con esponente complesso
  • 6 Potenza con base ed esponente complessi
Tag
  • FUNZIONE ESPONENZIALE
  • ELEVAZIONE A POTENZA
  • LOGARITMO COMPLESSO
  • NUMERO IRRAZIONALE
  • FUNZIONE POLIDROMA
Vocabolario
potènza
potenza potènza (ant. potènzia) s. f. [dal lat. potentia, der. di potens -entis «potente»]. – 1. In senso generico, l’essere potente, il fatto di potere: così ... la potenza corrispondesse alla buona volontà (I. Nievo); in senso relativo,...
potenziato¹
potenziato1 potenziato1 agg. [der. di potenza], ant. – 1. Potenzialmente disposto (in rapporto con il sign. filosofico di potenza): L’anima d’ogne bruto e de le piante Di complession potenzïata tira Lo raggio e ’l moto de le lusi sante...
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