PORISMA

PORISMA

. Termine tecnico, adoperato dai matematici greci a denotare talvolta ciò che oggi si direbbe un corollario, talvolta delle proposizioni la cui natura non è possibile desumere con sicurezza dagli scarsi documenti che intorno a esse ci sono pervenuti.

Questi consistono:

1. nelle notizie che Pappo dà nel libro VII della sua Συναγωγή intorno all'opera di Euclide, ora perduta, intitolata Πορίσματα e divisa in tre libri;

2. in due brevi passi del commento di Proclo al I libro degli Elementi di Euclide, riferentisi alle proposizioni I e XV di quel libro;

3. in tre proposizioni che Diofanto cita come estratte da un'opera sui porismi, la quale, secondo alcuni, era un'opera di Diofanto per sé stante, secondo altri, una parte a noi non pervenuta dei suoi libri aritmetici.

Della natura delle proposizioni, raccolte da Euclide sotto il nome di porismi nei suoi detti tre libri, Pappo riferisce due diverse definizioni attribuendone quella da lui preferita ai geometri più antichi, e una terza ne dà Proclo; ma niuna delle tre è, per sé sola, atta a far comprendere con sufficiente chiarezza in che cosa i porismi differissero dai teoremi e dai problemi. Maggior lume si trae a tale proposito dalla classificazione che Pappo dà in 28 (secondo alcuni interpreti, secondo altri in 29) generi delle 171 proposizioni contenute nei Πορίσματα d'Euclide, dall'enunciato in cui Pappo dichiara d'aver avvertito che potevano esser raccolte dieci di quelle proposizioni, e infine dai 38 lemmi che Pappo stabilisce per facilitare l'intelligenza dell'opera di Euclide.

L'enunciato complessivo cui or ora è stato alluso è il seguente: "Se un triangolo si deforma in modo che i suoi lati ruotino intorno a tre punti in linea retta e due dei suoi vertici si spostino ciascuno lungo una retta, anche il vertice rimanente si muove sopra una retta". E fra i 38 lemmi in discorso il terzo è quello, nel quale, con linguaggio diverso e con una restrizione inessenziale, viene enunciata la costanza del birapporto dei quattro punti in cui quattro rette di un fascio sono tagliate da una loro trasversale.

Quanto ai generi in cui Pappo distribuisce i porismi di Euclide, basti accennare che fra di essi il primo è costituito da proposizioni nelle quali si tratta di provare che un certo punto si muove sopra una retta, il quinto da proposizioni nalle quali si tratta di far vedere che una certa retta ruota intorno a un punto.

Bastano già questi rapidissimi cenni per riconoscere come giustificate le opinioni emesse già dal Poncelet, da M. Chasles e dallo Zeutnen che nei tre libri di Euclide sui porismi dovessero trovarsi molte di quelle proposizioni che oggi si riguarderebbero come di pertinenza della cosiddetta teoria delle trasversali, o, più generalmente, della geometria proiettiva; ma la determinazione precisa della natura delle proposizioni chiamate porismi da Euclide in quella sua opera e da Diofanto nei suoi libri aritmetici, e ancora più la ricostruzione, o (come si diceva quando a ricerche di questa natura i geometri solevano dedicarsi con appassionato fervore) la divinazione dei tre libri di Euclide, sono problemi che non è facile risolvere e che, di fatto, non è possibile riguardare come risoluti dalle ricerche di R. Simson e dello Chasles.

Comunque, la definizione di porisma data dallo Chasles, accettata da M. Cantor, poggiata sopra un'attenta disamina dei pochi documenti a disposizione e non molto diversa da quella già proposta dal Simson, si accorda abbastanza bene con quelle tramandateci da Pappo e Proclo e coglie un carattere comune alle proposizioni, di Euclide o di Diofanto, a noi pervenute con quel nome. Essa è la seguente: porisma è un teorema incompleto, esprimente delle relazioni fra enti variabili secondo una legge comune; relazioni indicate nell'enunciato del teorema, ma che bisogna completare mediante la determinazione, in grandezza e in posizione, di taluni enti che sono la conseguenza dell'ipotesi e che sarebbero determinati nell'enunciato di un teorema propriamente detto o teorema completo.

Nel porisma del triangolo, l'incompletezza dell'enunciato starebbe nel fatto che, noti i punti intorno a cui ruotano i lati e le rette su cui si spostano due dei vertici, non si dice come si determini a partire dai dati la retta su cui si muove il vertice rimanente.

Bibl.: M. Chasles, Les trois livres de porismes d'Euclide, Parigi 1860; M. Cantor, Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Lipsia 1894; G. Loria, Le scienze esatte nell'antica Grecia, Milano 1914; T. L. Heath, A history of greek mathematics, Londra 1921.