POLIEDRO

POLIEDRO

. 1. Ogni parte di spazio limitata da superficie piane (poligoni) si chiama poliedro. I poligoni che formano la superficie del poliedro ne sono le facce; i vertici e i lati di questi poligoni sono rispettivamente i vertici e gli spigoli del poliedro. Ogni spigolo d'un poliedro è lato di due facce (consecutive); ogni vertice è vertice d'un angoloide, i cui spigoli sono gli spigoli del poliedro uscenti da quel punto, e le cui facce sono angoli delle facce del poliedro concorrenti in quel punto. I diedri di questi angoloidi sono i diedri del poliedro.

Ogni superficie formata da poligoni piani (facce) tali che oġni lato di ciascuno di essi sia comune, al più, a due poligoni dell'insieme, si dice superficie poliedrica. I vertici e i lati delle facce sono rispettivamente i vertici e gli spigoli della superficie poliedrica. Inoltre, una superficie poliedrica si dice chiusa se da ogni suo spigolo escono due facce, mentre in caso contrario (se cioè vi sono spigoli da ciascuno dei quali esce una sola faccia) la superficie poliedrica si dice aperta. La superficie di un poliedro è una superficie poliedrica chiusa.

Un poliedro si dice semplicemente connesso, se avviene che, tagliando la sua superficie lungo una qualsiasi poligonale chiusa formata da spigoli del poliedro, essa si trasforma in una superficie poliedrica non connessa (cioè resta divisa in due parti). Se v indica il numero dei vertici, f il numero delle facce, s il numero degli spigoli di un poliedro semplicemente connesso, vale la relazione (di Descartes-Eulero):

f + v = s + 2.

Detto v_h il numero dei vertici di un poliedro, da ciascuno dei quali escono h spigoli (Σv_h = v), e detto f_i, il numero delle facce di i lati (Σf_i = f), si hanno anche le relazioni:

Σ_hhv_h = Σ_iif_i = 2 s.

Un poliedro si dice convesso se, rispetto al piano d'una sua faccia qualsiasi, tutti i vertici, che a quella faccia non appartengono, si trovano nel medesimo semispazio. I poliedri convessi sono anche semplicemente connessi (ma non viceversa), e per essi vale perciò la relazione di Descartes-Eulero.

Sulla uguaglianza dei poliedri si conosce un solo teorema generale, valido per tutti i poliedri convessi, il quale è stato dimostrato la prima volta da A.-L. Cauchy e afferma che due poliedri convessi sono uguali, se sono limitati da uno stesso numero di facce ordinatamente uguali.

Questa proposizione in Euclide (libro XI, def. 10) si trova assunta come definizione.

2. Due poliedri si dicono equiscomponibili, se si possono pensare come somme di un numero finito di poliedri rispettivamente uguali. Contrariamente a ciò che avviene per i poligoni piani, l'uguaglianza di volume di due poliedri non è condizione sufficiente per la loro equiscomponibilità. Questa proposizione è stata dimostrata la prima volta da M. Dehn. Il Dehn ha trovato che, affinché due poliedri siano equiscomponibili, è necessario che tra le misure dei loro angoli diedri e quella del diedro piatto sussista almeno una relazione lineare omogenea a coefficienti interi; e poiché si hanno esempî di poliedri per i quali una tale relazione non può aver luogo, ne risulta la dimostrazione della proposizione enunciata. Condizioni sempre necessarie per la equiscomponibilità di due poliedri, ma più restrittive di quelle del Dehn, sono state assegnate da O. Nicoletti.

3. Le più notevoli categorie di poliedri sono: i prismi, le piramidi, i poliedri regolari, i poliedri semiregolari, e i poliedri simmetrici. Poliedri regolari platonici.

Poliedri regolari platonici. - Un poliedro convesso si dice regolare, se le sue facce sono poligoni regolari dello stesso nu̇mero di lati, ed i suoi angoloidi sono pure regolari e dello stesso numero di spigoli. Esistono solo cinque tipi di poliedri regolari convessi: il tetraedro regolare, il cubo o esaedro regolare, l'ottaedro regolare, il dodecaedro regolare, e l'icosaedro regolare. Euclide ne tratta nel libro XIII degli Elementi, e ne dà la effettiva costruzione. Questi poliedri sono conosciuti anche col nome di platonici, perché nelle opere di Platone v'è qualche passo riguardante la costruzione dei poliedri regolari (Tim., 55); inoltre Proclo attribuisce a Platone una esposizione della teoria dei poliedri regolari, che non è giunta fino a noi.

Però l'origine dei poliedri regolari è certamente più antica. Le costruzioni del tetraedro, del cubo e dell'ottaedro erano, quasi certamente, note agli Egiziani; e la teoria geometrica del dodecaedro e dell'icosaedro è senza dubbio dovuta a Pitagora, sebbene si conoscano oggetti dodecaedrici d'origine celtica, e uno d'origine etrusca.

Poliedri regolari stellati. - Esistono anche poliedri regolari non convessi, aventi facce uguali e regolari ed angoloidi uguali e regolari; ma, a differenza di quelli platonici, essi hanno per facce poligoni regolari intrecciati, oppure hanno angoloidi regolari intrecciati. Questi poliedri, che si dicono poliedri regolari stellati, furono studiati e descritti la prima volta da L. Poinsot, il quale dimostrò che ne esistono solo quattro tipi distinti. Essi furono, in seguito, studiati dal Cauchy, e poi anche da J. Bertrand. Ogni poliedro regolare stellato è (come avviene per i poliedri platonici) iscritto in una sfera e circoscritto ad un'altra sfera concentrica alla prima. Il centro comune di queste sfere è detto il centro del poliedro.

Il Poinsot chiama specie d'un poliedro regolare stellato il numero intero che indica quante volte viene ricoperta la superficie della sfera circoscritta, proiettando su essa, dal suo centro, le facce del poliedro.

I quattro tipi di poliedri regolari stellati, sono i seguenti (fig.1):

a) Dodecaedro regolare di seconda specie, il quale ha 12 facce, 12 vertici e 30 spigoli. Le sue facce sono pentagoni regolari intrecciati, ed i suoi angoloidi sono pentaedri regolari convessi.

b) Dodecaedro regolare di terza specie, il quale ha 12 facce, 12 vertici e 30 spigoli. Le sue facce sono pentagoni regolari convessi, ed i suoi angoloidi sono pentaedri regolari intrecciati.

c) Dodecaedro regolare di quarta specie, il quale ha 12 facce, 20 vertici e 30 spigoli. Le sue facce sono pentagoni regolari intrecciati, ed i suoi angoloidi sono triedri regolari.

d) Icosaedro regolare di settima specie, il quale ha 20 facce, 12 vertici e 30 spigoli. Le sue facce sono triangoli equilateri, e i suoi angoloidi sono pentaedri regolari intrecciati.

Poliedri semiregolari. - Un poliedro convesso si dice semiregolare, se appartiene all'uno o all'altro dei due seguenti tipi: a) le facce sono poliedri regolari, ma non tutte uguali fra loro (cioe non dello stesso numero di lati), e gli angoloidi sono fra loro uguali (ma non regolari); b) le facce sono poligoni uguali (non regolari) e gli angoloidi sono regolari, ma non tutti uguali fra loro (cioè non dello stesso numero di spigoli).

Quelli di tipo a) si dicono anche poliedri archimedei, perché la determinazione dell'intera serie di questi poliedri è stata fatta per la prima volta da Archimede in un'opera che è andata perduta, ma della quale si ha notizia in Pappo. Risulta però, da un passo delle definizioni di Erone Alessandrino, che Platone avrebbe offerto uno o due esempî di poliedri siffatti.

Un poliedro archimedeo non può avere che due o tre specie differenti di facce, ed i suoi angoloidi non possono essere che triedri o tetraedri o pentaedri. Ognuno di tali poliedri risulta iscritto in una sfera. Sono possibili (ed esistono effettivamente) solo i 15 tipi di poliedri archimedei elencati nel seguente quadro. In esso, i numeri a, b, c lndicano il numero dei lati d'una faccia, di ciascuna delle tre specie; n_i (i = a, b, c) indica il numero delle facce i-latere concorrenti in ciascun vertice; n_i (i = a, b, c) indica il numero di tutte le facce concorrenti in ciascun vertice; n (= n_a + n_b + n_c) indica il numero totale delle facce i-latere del poliedro; ed i numeri f, v, s indicano rispettivamente il numero delle facce, dei vertici e degli spigoli del poliedro medesimo.

I poliedri archimedei si trovano descritti sommariamente per la prima volta in Pappo, e più tardi, completamente, da Keplero, il quale ha introdotto i nomi indicati nel quadro. Va però notato che Pappo e Keplero contano solo 13 tipi di poliedri archimedei, omettendo d'includervi il prisma storto e il prisma regolare.

I poliedri semiregolari di tipo b) si ottengono da quelli archimedei, applicando la legge di dualità nello spazio (v. dualità). Essi, secondo R. Baltzer, si trovano ricordati per la prima volta nella Trigonometrie di I. H. T. Müller (1852); ma un modello di uno di questi poliedri, proveniente da scavi praticati nell'Asia Minore e trovato casualmente da F. Lindemann, sembra far risalire la loro origine alla scuola neoplatonica fiorita in Damasco nei secoli IV e V dell'era volgare.

Poliedri simmetrici. - Un'ampia categoria di poliedri, notevole specialmente per riguardo allo studio delle forme cristalline, è quella dei poliedri simmetrici di A.F. Möbius. Secondo il Möbius, un poliedro si dice simmetrico allorché, oltre alla identità, ammette qualche altra uguaglianza in sé stesso. Tutte le uguaglianze dello spazio che trasformano un poliedro simmetrico in sé costituiscono un gruppo finito di rotazioni dello spazio intorno ad un punto (il baricentro del poliedro), cioè uno dei gruppi dei poliedri regolari. Si verifica che i poliedri simmetrici, sui vertici dei quali il gruppo corrispondente opera in modo transitivo, sono (salvo la regolarità delle facce) in tutto analoghi ai poliedri archimedei o a quelli regolari.

Bibl.: Oltre ai trattati di geometria elementare in uso nelle scuole medie: M. Turchetti, Il teorema di Cauchy, ecc., in Per. di mat., s. 4ª, VII; M. Dehn, Ueber den Rauminhalt, in Math. Ann., LIX (1904); U. Amaldi, Sulla teoria della equivalenza, in F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, I, Bologna 1912; A. Maroni, Poliedri regolari, semiregolari e simmetrici, in Per. di mat., s. 4ª, III; id., I poliedri regolari stellati, ibid., VII.