PIRAMIDE

PIRAMIDE

È un particolare tipo di poliedro (v.), che si determina, dati un punto V e un poligono P, a quanti si vogliano lati, in un piano non passante per V. Si dice piramide di vertice V e base P, il poliedro limitato da questo poligono e dai triangoli aventi come vertice comune il punto V e come basi i singoli lati di P (fig.1). Questi triangoli si chiamano facce laterali della piramide, e il loro insieme ne costituisce la superficie laterale. Altezza della piramide è la distanza del vertice dal piano della base.

Le piramidi si classificano a seconda del numero dei lati della base (piramidi a base triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc.). Ogni piramide a base triangolare si dice, più particolarmente, tetraedro; e si può considerare come piramide in quattro modi diversi, in quanto si può assumere come base una qualsiasi delle sue quattro facce.

Si dice retta ogni piramide, la quale abbia come base un poligono in cui sia iscrivibile un cerchio, e come vertice un punto della perpendicolare alla base per il centro del cerchio iscritto. Le facce laterali d'una piramide retta hanno tutte uguale altezza, e quest'altezza si dice apotema della piramide retta. Fra le piramidi rette sono particolarmente notevoli quelle a base regolare, le quali si dicono talvolta piramidi regolari, per quanto esse non rendano soddisfatte le condizioni (uguaglianza e regolarità di tutte le facce e di tutti gli angoloidi), che, per definizione, caratterizzano i poliedri regolari. La sola piramide, che sia regolare in questo senso proprio, è il tetraedro regolare.

Il volume della piramide si ottiene dividendo per 3 il prodotto dell'area della base per l'altezza, sicché risulta eguale alla terza parte del volume di un prisma avente la stessa base e la stessa altezza della piramide considerata.

Questa regola si fonda essenzialmente sull'equivalenza (o uguaglianza estensiva, cioè di volume) di due piramidi quali si vogliano, che abbiano basi e altezze uguali; giacché si può poi dimostrare agevolmente che ogni prisma è somma di tre piramidi, che, avendo a due a due basi e altezze uguali, sono fra loro equivalenti. La scoperta dell'equivalenza delle piramidi aventi basi e altezze uguali che Archimede attribuisce a Democrito di Abdera (V-IV sec. a. C.) si ricollega storicamente alle origini dell'analisi infinitesimale, in quanto sembra lecito ritenere che Democrito vi sia pervenuto considerando le due piramidi come somme di infiniti straterelli infinitesimi, ordinatamente uguali (v. infinitesimale, analisi; infinito; integrale, calcolo). Va rilevato che nella determinazione del volume della piramide il ricorso a procedimenti infinitesimali è inevitabile: mentre due prismi equivalenti sono sempre decomponibili in uno stesso numero finito di parti a due a due sovrapponibili, è stato dimostrato da M. Dehn (1900) che una tale decomposizione non è, in generale, possibile nel caso di due piramidi di uguale base e uguale altezza.

Se fra il vertice di una piramide e la base si conduce un piano parallelo a questa, si dice tronco di piramide la parte di piramide compresa fra la base e il piano parallelo considerato (fig. 2). La base della piramide e la sezione con codesto piano parallelo si chiamano basi del tronco e la distanza dei rispettivi piani si dice altezza. Le due basi sono poligoni simili (anzi omotetici rispetto al vertice della piramide).

Se h è l'altezza e b, b′ sono le aree delle due basi, il volume del tronco di piramide è dato da