FERMAT, Pierre

FERMAT, Pierre

Matematico, nato a Beaumont de Lomagne il 17 agosto 1601, morto a Castres il 12 gennaio 1665. Il F. è da considerarsi come uno dei più originali matematici di tutti i tempi. Fr. van Schooten lo cita tra Descartes e Roberval al primo posto dei geometri. Figlio di un commerciante di corami, il F. trascorse gran parte della sua vita a Tolosa dove fu consigliere del parlamento locale; la sua cortesia e il suo tatto fecero sì che la relazione con Descartes, non sempre troppo amichevole, si concludesse benevolmente. Sembra che il F. abbia avuto l'idea della geometria analitica prima di leggere la Géométrie del Descartes e che abbia osservato come dall'equazione di una curva (proprietà specifica, come la chiama il F.) si possano dedurre tutte le sue proprietà.

Il F. fu in possesso, forse fin dal 1628, di un metodo generale per trattare le questioni di massimo e minimo; ma questo fu reso noto soltanto intorno al 1663.

È poi fondamentale, in ottica geometrica, il principio del minimo tempo che va sotto il suo nome. Se si considera un mezzo illimitato costituito da due porzioni S₀ e S, ciascuna separatamente omogenea, ma aventi due diversi indici di rifrazione n₀ e n, ogni raggio di luce per passare da un punto P₀ di S₀ a un punto P di S impiega il più breve tempo possibile. Esprimendo che la prima variazione del tempo è nulla, si ottengono le note leggi di Descartes sulla rifrazione.

Il F. divide con B. Pascal l'onore di aver fondato la teoria matematica delle probabilità.

Celebri furono le sue ricerche sulla teoria dei numeri, che fu il suo campo di studî prediletto: si conoscono però poche notizie precise su esse, perché il F. pubblicò solo pochi scritti, senza dare alcuna esposizione dei suoi metodi. Taluni dei risultati più importanti furono trovati dopo la sua morte su fogli staccati, altri scritti nei margini di opere che egli aveva letto e annotato. Questi risultati sono senza dimostrazione ed è quindi difficile, se non impossibile, stabilire l'origine e le date delle sue opere. Fra i teoremi più salienti della teoria dei numeri, dovuti al F., citiamo i seguenti:

1. Se p è un numero primo e a è primo con p, α^p-1 − 1 è divisibile per p, ciò che si scrive con la notazione

Più generalmente, essendo n qualunque, si ha

se a è primo con n e ϕ (n) è la nota funzione indicatrice di Gauss (v. aritmetica: Aritmetica superiore, n. 4). Questo teorema è dovuto a Eulero.

2. Un numero primo, maggiore di 2, può essere rappresentato, in un sol modo, dalla differenza di due quadrati interi. Si ha n = x² − y², essendo x = ½ (n + 1), y = ½ (n − 1).

Il non) e del F. è legato a un celebre teorema di cui non si possiede la dimostrazione. Non esistono valori interi di x, y, z che soddisfino l'equazione xⁿ + yⁿ = zⁿ, essendo n un numero intero > 2. Questo teorema è stato dimostrato per n = 3 da Eulero e per n = 4 dallo stesso F. Il ragionamento usato in questi casi, che non sembra applicabile per n > 4, consiste nel far vedere che, se esistesse una soluzione intera dell'equazione, sarebbe possibile trovarne un'altra costituita da numeri minori; si giunge così a dimostrare che l'equazione dovrebbe essere soddisfatta da tre valori che evidentemente non costituiscono una soluzione.

Il teorema è stato dimostrato ancora per n = 5, n = 14 rispettivamente dal Legendre e Lejeune-Dirichlet (1823), per n = 7 da Lamé e V.A. Lebesgue (1840). Nel 1849 il Kummer, appoggiandosi sulla teoria degl'ideali, dimostrò che l'equazione del F. può essere soddisfatta solo per quei valori di n (se ne esistono) che soddisfano tre certe condizioni; di tali valori non esistono certamente minori di 100. Per dimostrare il teorema basterebbe considerare il caso di n primo.

Forse l'unica pubblicazione ehe fece il F. fu una dissertazione geometrica, edita nel 1660, annessa a un volume sulla cicloide, pubblicato a Tolosa dal padre gesuita Lalouvère. Nell'elogio che il Lalouvère fa, in quest'occasione, del suo illustre concittadino, egli cita varî lavori del F. inseriti dal Mersenne nelle Cogitata physico-matenatica del 1644. Il Lalouvère dà notizie intorno a certi manoscritti del F. inviati ai suoi amici di Parigi, di una lettera trasmessa a B. Cavalieri per mezzo di Mersenne, dei lavori di F. intorno alle spirali e alle proposizioni sui Luoghi piani di Apollonio.

Opere. - Gli scritti del F. furono pubblicati dopo la sua morte dal figlio Samuele. Le opere complete sono state pubblicate, in quattro volumi, a Parigi, da Paul Tannery e Charles Henry. I: Øuvres mathématiques diverses - Observation sur Diophante (1894); II: Correspondance (1896); III: Traductions par P. Tannery des écrits et fragments latins de F., de l'Inventum novum de Jacques de Billy, du Commercium epistolicum de Wallic (1896); IV: Compléments par M. C. Henry - Supplément à la correspondance - Appendice - Notes et tables (1902).