piano proiettivo
piano proiettivo
piano proiettivo spazio proiettivo di dimensione 2. È un piano ottenuto aggiungendo a un → piano affine gli elementi impropri che, nel contesto proiettivo, sono indistinguibili dagli altri (→ geometria proiettiva). Nel piano proiettivo non sono definite le nozioni metriche e la nozione di parallelismo, in quanto due rette si intersecano sempre in un punto. In tal senso può essere considerato un esempio di piano non euclideo. Può essere definito assiomaticamente come un insieme non vuoto P 2 i cui elementi sono chiamati punti, assegnato insieme a un insieme R di suoi sottoinsiemi, detti rette, in modo che siano soddisfatti gli assiomi che seguono:
• per due punti distinti passa una e una sola retta;
• due rette distinte hanno in comune uno e un solo punto;
• esistono tre punti non allineati.
Il primo e il secondo assioma sono tra loro duali. Essendo uno spazio proiettivo di dimensione 2, il piano proiettivo può essere definito formalmente a partire da uno spazio vettoriale V su un campo K. In particolare, se K è il campo R dei numeri reali (rispettivamente: campo C dei numeri complessi) si parlerà di piano proiettivo reale (rispettivamente: complesso). In tale impostazione i punti di P 2 sono le rette passanti per l’origine di uno spazio vettoriale V 3, di dimensione 3 (cioè i sottospazi vettoriali di dimensione 2). Sulla base di tale definizione il piano proiettivo è ottenuto come insieme quoziente di uno spazio vettoriale V 3, rispetto alla relazione di dipendenza lineare tra vettori.
Nel piano proiettivo non esiste la distinzione tra ellissi, parabole e iperboli, giacché esse, nel piano affine, si caratterizzano per la loro diversa intersezione con la retta impropria: tutte le coniche sono perciò proiettivamente equivalenti. Stabilito un sistema di riferimento, ogni punto del piano proiettivo è rappresentato da una terna di coordinate proiettive omogenee. Un modello di piano proiettivo è costituito da una superficie sferica immersa nell’ordinario spazio euclideo. I punti di tale piano proiettivo sono le coppie di punti diametralmente opposti della sfera e le rette sono tutte le circonferenze massime della sfera.