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piano e superficie, intersezione di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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piano e superficie, intersezione di


piano e superficie, intersezione di luogo dei punti dello spazio comuni a un piano e a una superficie assegnati. Tale luogo, se non è vuoto, è costituito da una curva, intesa in senso ampio come varietà algebrica di dimensione 1; in particolare può essere costituito da uno o più segmenti o da una retta o più rette, e varia a seconda della superficie considerata e della reciproca posizione tra piano e superficie. Gli esempi che seguono rappresentano alcuni dei più significativi tra gli innumerevoli casi che si possono considerare (escludendo i casi di intersezione vuota):

• intersezione di un piano e di una sfera: l’intersezione in questo caso risulta una circonferenza, un punto o un insieme vuoto, a seconda che la distanza del piano dal centro della sfera sia minore, uguale o maggiore del raggio della sfera;

• intersezione di un piano e di un cono: considerato un cono indefinito, la curva intersezione è una conica (circonferenza, ellisse, parabola o iperbole a seconda della inclinazione del piano rispetto all’angolo di apertura del cono) e può essere una conica degenere (un punto o due rette eventualmente coincidenti) se il piano passa per il vertice del cono;

• intersezione di un piano e di un cilindro: considerato un cilindro indefinito, la curva intersezione può risultare un’ellisse, in particolare una circonferenza, o un’iperbole degenere costituita da due rette parallele distinte (semplicemente degenere) o coincidenti (doppiamente degenere);

• intersezione di un piano e di un ellissoide: se il piano è parallelo a una coppia di assi dell’ellissoide, ogni intersezione non vuota o è un punto o è un’ellisse;

• intersezione di un piano e di un paraboloide: limitandosi alle intersezioni con piani paralleli o perpendicolari agli assi del paraboloide, si ottengono ellissi o parabole nel caso del paraboloide ellittico, mentre si ottengono iperboli o parabole nel caso del paraboloide iperbolico;

• intersezione di un piano e di un iperboloide: limitandosi a piani paralleli o perpendicolari agli assi dell’iperboloide, si ottengono, sia nel caso dell’iperboloide ellittico sia nel caso di quello iperbolico, ellissi e iperboli;

• intersezione di un piano e di una superficie qualsiasi: la ricerca dell’intersezione tra un piano e una superficie può essere affrontata più in generale con strumenti analitici, definendo tale luogo come insieme di tutti e soli i punti P(x, y, z) soluzioni di un sistema del tipo

formula

avente per equazioni, rispettivamente, l’equazione della superficie e l’equazione del piano (→ piano tangente).

Tag
  • PARABOLOIDE IPERBOLICO
  • VARIETÀ ALGEBRICA
  • CONICA DEGENERE
  • RETTE PARALLELE
  • INSIEME VUOTO
Vocabolario
punto²
punto2 punto2 s. m. [lat. pŭnctum, lat. tardo pŭnctus, der. di pŭngĕre «pungere»: propr. «puntura, forellino»]. – 1. a. Nel cucito e nel ricamo, l’atto del passare il filo attraverso la stoffa e ripassarlo a breve distanza, e il risultato...
profilo
profilo (ant. proffilo) s. m. [der. di profilare]. – 1. In senso generico, la linea estrema di contorno di un oggetto, e il disegno che la riproduce: il p. del volto; il p. delle montagne; il p. della luna nel primo quarto; si staccava...
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