piano affine

piano affine

piano affine spazio affine di dimensione 2. È un piano nel quale non sono definite alcune nozioni del piano euclideo, quali per esempio la nozione di angolo, di perpendicolarità, di distanza, mentre sono definite le nozioni di parallelismo, punto medio, rapporto tra segmenti di uguale direzione ecc. A differenza di quanto accade nel piano vettoriale, nel quale tutti i sottospazi di dimensione 1 (rette) passano per l’origine, nel piano affine esistono sottospazi affini di dimensione 1 (rette affini) privi di punti comuni e l’origine non costituisce più un punto privilegiato. Si può pertanto considerare un piano vettoriale dotato di traslazioni. Il concetto di piano affine deriva, quindi, da quello di → piano vettoriale e ne rappresenta, in un certo senso, una generalizzazione. Formalmente, dato un piano vettoriale V su un campo K, si dice piano affine, avente per sostegno V, un insieme A, i cui elementi si dicono punti, associato a una funzione (traslazione) ƒ: A × V → A, che a ogni coppia (P, v) del prodotto cartesiano A × V associa un punto Q ∈ A, denotato con Q = P + v, in modo che siano verificate le seguenti proprietà:

• per ogni punto P ∈ A e per ogni coppia di vettori u, v ∈ V vale la relazione (P + u) + v = P + (u + v);

• per ogni punto P ∈ A vale la relazione P + 0 = P, avendo indicato con 0 il vettore nullo;

• per ogni coppia di punti P, Q ∈ A esiste un solo vettore v ∈ V tale che Q = P + v.

Se il campo K è R (rispettivamente C) il piano affine è detto piano affine reale (rispettivamente complesso). Quando non si specifica il campo si sottintende K = R. Talvolta si utilizza la locuzione piano affine ampliato per indicare che si considerano anche i punti all’infinito (cioè i punti impropri) che, complessivamente, formano la retta impropria.

Il piano affine può essere definito anche implicitamente da assiomi grafici, nel modo che segue. Si dice piano affine un insieme non vuoto A i cui elementi sono detti punti, assegnato insieme a un insieme R di suoi sottoinsiemi, detti rette, in modo che siano verificate le seguenti proprietà:

• per ogni coppia di punti distinti del piano affine A passa una e una sola retta;

• per un punto non appartenente a una retta passa una e una sola parallela alla retta data;

• ogni retta di A contiene almeno due punti distinti;

• esistono in A almeno due rette distinte.

Un piano affine ha dimensione 2 e può contenere sia infiniti punti, sia un numero finito di punti (→ geometria finita).