piano 2

piano 2

piano² [Der. del lat. planum "pianura", neutro sostantivato dell'agg. planus] [ALG] Ente geometrico costituente l'astrazione del concetto intuitivo di una superficie liscia, non incurvata, priva di spessore e illimitata; è assunto, insieme con il punto e la retta, quale uno degli enti fondamentali della geometria e, come quelli, il suo signif. si precisa attraverso postulati (postulati del p.): (a) un p. contiene per intero una retta che ne congiunga due punti qualunque; (b) tre punti non allineati individuano un p., e uno solo, al quale essi appartengono (da questi due postulati deriva il fatto che una retta e un punto esterno a essa individuano un p., e uno solo); (c) ogni retta di un p. lo divide in due parti, in modo che il segmento congiungente due punti qualunque (esterni alla retta) ha in comune con questa retta un punto oppure nessuno a seconda che i due punti giacciano da parti opposte oppure dalla stessa parte rispetto alla retta in questione. Analiticamente, un p. è individuato nello spazio da un'equazione algebrica di primo grado nelle coordinate cartesiane ortogonali x, y, z, del tipo ax+by+cz+d=0, con a,b,c,d numeri reali definiti a meno di un fattore di proporzionalità, il cui annullarsi è in relazione a particolari assetti del p. rispetto al riferimento (per es., se d=0 il p. passa per l'origine del riferimento cartesiano e a seconda che sia nullo a, b o c, il p. non interseca, rispettiv., l'asse delle x, delle y o delle z). Sia nella matematica che in altre scienze, compresa ovviamente la fisica, il termine p. ha moltissime qualificazioni, in genere di immediata comprensione e alcune delle quali sono riportate qui di seguito oppure ricordate nella voce di qualificazione. ◆ [GFS] Nella geologia, suddivisione stratigrafica corrispondente a quella cronologica detta età e ulteriormente divisibile in sottopiani; comprende le rocce formatesi durante una stessa età geologica e si qualifica con un aggettivo riguardante la località o la regione (p. messineo, dalla città di Messina, langhiano, dalla regione delle Langhe, ecc.); più p. raggruppati costituiscono una serie. ◆ [ALG] P. affine, o p. di incidenza affine: ogni insieme di infiniti elementi A, B, C, ... detti punti del p. affine, nel quale siano assegnati certi sottoinsiemi r, s,... chiamati rette, in modo che siano soddisfatte queste tre condizioni (dette spesso assiomi di incidenza): (a) per due punti distinti A, B passa una e una sola retta; (b) dati un punto A e una retta r non passante per A esiste una e una sola retta s che passa per A e non ha punti in comune con r (brevem., è s non secante r); (c) esistono almeno tre punti non allineati. L'esempio più noto, e primo in ordine storico, di piano affine è il p. dell'ordinaria geometria elementare, quando si prescinda da ogni nozione di carattere metrico (per es., la nozione di distanza, ecc.); in tale modello di p. affine la nozione di rette non secanti equivale a quella di rette parallele; la ragione dell'attributo "affine" sta poi nel fatto che tutte le nozioni valide in tale tipo di p., come l'allineamento di punti, il parallelismo di rette ecc., si conservano per effetto di una qualsiasi affinità (←). Esistono però, e sono partic. studiati, anche p. affini finiti, ossia costituiti da un numero finito di punti e da un numero finito di rette; si dimostra che tutte le rette di un p. affine finito hanno lo stesso numero q di punti, che si chiama ordine del p. affine, mentre per ogni punto passano q+1 rette e in totale vi sono nel p. q2+q rette. La fig. illustra il p. affine di ordine 2 costituito dai quattro punti A, B, C, D e dalle rette AB, AC, AD, BC, BD, CD (sono non secanti le coppie di rette AB, CD; AC, BD; AD, BC). Stretti rapporti collegano i p. affini ai p. proiettivi. Si dimostra infatti che se da un p. proiettivo si sopprime una retta e la totalità dei punti situati su essa, i punti e le rette residue costituiscono un p. affine; viceversa, a ogni p. affine si può convenientemente aggregare una retta in modo da ottenere un p. proiettivo, ossia, più concisamente, ogni p. affine si può immergere in un p. proiettivo. Di conseguenza ogni risultato e ogni problema relativo a uno dei due tipi di p. dà luogo a risultati e a problemi attinenti a p. dell'altro tipo. ◆ [ALG] P. al finito e all'infinito: lo stesso che rispettiv., p. proprio e p. improprio. ◆ [GFS] P. ausiliario: v. sismologia: V 253 b. ◆ [ALG] P. complesso: p. lineare (v. oltre) sul campo dei numeri complessi, lo stesso che p. di Argand-Gauss (v. oltre). ◆ [ALG] P. coniugato: relativ. a un sistema ottico, ortoscopico, il p. dei punti coniugati di quelli di un altro p. (p. oggetto) v. ottica geometrica: IV 387 a. ◆ [ANM] P. delle fasi: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 455 b. ◆ [ALG] P. di Argand-Gauss: p. i cui punti sono in corrispondenza biunivoca con i numeri complessi, ottenuto istituendo su un p. ordinario un riferimento cartesiano ortogonale (O,x,y) e associando a ogni punto di coordinate x e y il numero complesso z=x+iy, con i unità immaginaria (→ complesso: Numeri c.). ◆ [GFS] P. di dislocazione: v. sismologia: V 253 b. ◆ [MTR] [EMG] P. di prova: sottile dischetto metallico, provvisto di un'impugnatura isolante, che serve per varie misurazioni elettrostatiche; per es., appoggiato che sia su un corpo elettrizzato, acquista una carica proporzionale alla densità locale di carica e questa può essere misurata spostando il p. di prova su un elettrometro, che ne misura la carica acquisita. ◆ [ASF] P. fondamentale: il p. del circolo massimo assunto come fondamentale in un sistema di coordinate celesti, qual è il p. dell'orizzonte per le coordinate altazimutali (altezza e azimut) e il p. dell'equatore celeste per le coordinate equatoriali (declinazione e ascensione retta o angolo orario): v. coordinate astronomiche. ◆ [ALG] P. grafico: ogni insieme di elementi, detti punti, nel quale siano assegnati certi sottoinsiemi, detti rette, in modo che siano soddisfatte queste proprietà: (a) due punti appartengono a una retta e a una soltanto; (b) due rette hanno in comune un punto; (c) esistono almeno tre punti non appartenenti a una stessa retta. Il più importante p. grafico è un p. ordinario al quale siano aggiunti i punti impropri e la retta impropria (altrimenti non sarebbe verificata la proprietà b per due rette parallele); hanno, però, grande interesse anche i p. grafici finiti, ossia costituiti da un numero finito di punti (e da un ugual numero di rette). La fig. 1 illustra un p. grafico costituito dai tre punti A, B, C e dalle tre rette AB, AC, BC: è il p. grafico costituito dal minor numero di elementi; si ha nella fig. 2 un esempio di p. grafico nel quale non tutte le rette hanno lo stesso numero di punti. ◆ [ALG] P. immaginario: p. lineare (v. oltre) sul campo dei numeri complessi. ◆ [OTT] P. immagine: il p. i cui punti sono le immagini date da un sistema ottico ortoscopico dei punti di un p. (p. oggetto): v. ottica geometrica: IV 387 a. ◆ [ALG] P. improprio: l'insieme dei punti impropri e delle rette improprie dello spazio ordinario. ◆ [MCC] P. inclinato: macchina semplice, che schematizza vari dispositivi per il sollevamento di pesi per traslazione; è costituita da un p. inclinato di un angolo α sul p. orizzontale; se a un corpo C, di peso Q, appoggiato sul p., è applicata una forza P parallela al piano, la condizione di equilibrio è, in assenza di attrito, P/Q=sinα=h/l, con h altezza e l lunghezza del p., oppure, se Q è equilibrato con una forza P' parallela alla base del p., P'/Q=tanα=h/b, con b lunghezza orizzontale del p. (v. fig.); la macchina risulta quindi sempre vantaggiosa nel primo caso (è sempre h