persistenza

persistenza

Naturale tendenza di molti fenomeni a evolversi in modo più o meno regolare nel tempo, così che quello osservato in un dato istante t risulta più simile a quello rilevato all’istante t−1, piuttosto che a quello osservato in epoche distanti.

Persistenza ed ergodicità. Se l’evoluzione di un fenomeno viene formalmente rappresentata tramite una serie storica (➔ serie storiche) stazionaria, la sua p. può essere identificata con ‘la memoria di sé’. Un’elevata p. è in contrasto con l’ergodicità (➔) di una serie. In effetti, una serie non ergodica ha caratteristiche di p. talmente accentuate che una sua porzione finita, per quanto lunga, non consente di predirne i futuri valori, né di determinarne la distribuzione (➔ distribuzione di probabilità). Uno strumento grafico per la valutazione della p. è l’autocorrelogramma, grafico a barre nel quale ogni rettangolo (o segmento) riporta il valore dell’autocorrelazione (➔ autocovarianza) ρ(h) in funzione di h, che è in ascissa. In una serie storica stazionaria (➔ stazionarietà statistica) ed ergodica questo è tipicamente caratterizzato da barre di altezza decrescente che si abbassano rapidamente all’aumentare di h. Il white noise (➔ rumore bianco) è un esempio di processo aleatorio (➔) stazionario ed ergodico che non presenta alcuna persistenza.

Modelli a persistenza decrescente. In un modello AR(1) (➔ autoregressivo, modello), Y_t=βY_t−1+U_t, la p. è misurata dal parametro β. Se ∣β∣<1, ossia il processo AR(1) è stazionario, la p. decresce esponenzialmente con il ritardo temporale (β^h) e il processo è ergodico. Per le serie AR(p) e ARMA(p,q) (➔ ARMA/ARIMA, modelli di) valgono risultati simili: anche in questo caso la serie, se abbiamo stazionarietà, si presenterà una p. che decresce esponenzialmente ed è quindi ergodica. Un caso particolare è il processo a media mobile MA(q) (➔ MA), equivalente a un ARMA(0, q), la cui funzione di autocorrelazione si annulla (nessuna p.) per ritardi maggiori di q. Processi stazionari ed ergodici la cui funzione di autocorrelazione tende a zero ma più lentamente che in modo esponenziale vengono chiamati processi a memoria lunga.

Modelli a persistenza illimitata. Una serie stazionaria ma con persistenza illimitata è la serie Z_t=U_t+V, dove U_t è un rumore bianco indipendente dalla variabile aleatoria V. Questa è stazionaria, infatti la sua media e varianza sono indipendenti da t. Tuttavia, poiché la sua autocorrelazione ρ(t−s)=Cov(Z_t,Z_s)/Var(Z_t)=σ²_v/(σ²_u+σ²_v) è costante e non tende a zero al crescere dalla distanza tra gli elementi della serie, questo processo non è ergodico. ● I modelli per dati panel (➔) a effetti casuali presentano p. illimitata nel tempo per la stessa unità campionaria. La covarianza è infatti costante e diversa da zero indipendentemente dalla distanza temporale tra gli elementi considerati. Infine, una serie non stazionaria a p. illimitata è il random walk, o passeggiata aleatoria (➔). Esso può essere definito come il caso limite di una serie AR(1) quando si assume il parametro uguale a 1, oppure come il processo {Y_t} i cui incrementi Y_t−Y_t−1 definiscono un rumore bianco. La passeggiata aleatoria è un caso particolare di processo integrato. ● A volte la p. è relativa all’effetto di un regressore X_t su una variabile dipendente Y_t. Si ha cioè che l’effetto non si esaurisce tutto a uno specifico istante t. ma si distribuisce nel tempo. Un esempio è rappresentato dal modello a ritardi distribuiti: Y_t=α+β₀X_t+β₁X_t−1+...+β_pX_t−p+U_t.