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permutazione

Enciclopedia della Matematica (2013)
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permutazione


permutazione nel calcolo combinatorio, biiezione di un insieme A, finito, su sé stesso. Indicando gli elementi di A con 1, 2, …, n, una permutazione si può rappresentare con lo schema

formula

essendo ij il corrispondente del generico elemento j. Per estensione di significato, è detto permutazione anche ognuno degli ordinamenti i1, …, in così ottenuti. In altri termini, si dice permutazione semplice di n elementi ognuna delle sequenze ordinate che si può costituire disponendo in un dato ordine gli n elementi. Il numero di tutte le possibili permutazioni di A è indicato con Pn ed è dato da n! = 1 ⋅ 2 ⋅… ⋅ n (il simbolo n! si legge «n fattoriale»). Poiché le permutazioni sono biiezioni di un insieme finito in sé, tra permutazioni è definita l’operazione di composizione. L’insieme delle permutazioni su n elementi dotato di tale operazione di composizione forma un gruppo, detto → gruppo simmetrico e indicato con Sn. Particolari permutazioni sono il ciclo, che fa corrispondere a ogni elemento di un elenco ordinato il successivo e all’ultimo il primo, e la trasposizione, che è un ciclo di ordine 2, cioè scambia tra loro due elementi di A lasciando gli altri invariati. Ogni permutazione può essere scritta come prodotto di cicli disgiunti (cioè non aventi alcun elemento uguale).

Per esempio, la permutazione

formula

può essere scritta come (1, 2, 3)(4, 6). A sua volta, ogni ciclo può essere scritto come prodotto di trasposizioni (ma non più necessariamente disgiunte). Per esempio, (1, 2, 3) = (1, 2) (1, 3). Ne segue che ogni permutazione di n numeri successivi (da 1 a n) si può ottenere dalla permutazione con gli n numeri in ordine crescente componendo un numero finito di trasposizioni: a seconda che il numero di tali trasposizioni sia pari oppure dispari, la permutazione si dice di classe pari oppure di classe dispari. La precedente permutazione è, per esempio, di classe dispari perché risulta composta dalle tre trasposizioni (1, 2)(1, 3)(4, 6). Il sottoinsieme An delle permutazioni di classe pari di Sn è detto → gruppo alterno; è un sottogruppo normale di Sn e, per n > 4, è un gruppo semplice, privo cioè di sottogruppi normali non banali.

Quando si vuole conoscere il numero delle permutazioni di n oggetti alcuni dei quali sono uguali tra loro si parla di permutazione con ripetizione e si ha:

formula

in cui alcuni oggetti sono ripetuti h volte, altri k volte ecc. Tale numero è anche indicato con

formula

ed è detto coefficiente multinomiale. Nel caso di disposizione circolare di n elementi, come per esempio n oggetti disposti attorno a un tavolo circolare, allora il numero delle permutazioni, in questo caso dette permutazioni circolari, è:

formula

È infine detta matrice permutativa o matrice di permutazione una matrice quadrata ottenuta dalla matrice identità mediante una permutazione delle sue righe.

Vedi anche
càlcolo combinatòrio (o analisi combinatoria) Parte dell'aritmetica che ha come scopo principale quello di contare i raggruppamenti di varia specie che si possono formare con oggetti o simboli. I suoi procedimenti e i suoi risultati (coefficienti binomiali, determinanti, gruppi di sostituzioni) trovano applicazione nell'algebra ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ... determinante Biologia Termine introdotto da A. Weismann per indicare presunti aggregati di molecole contenuti nel nucleo delle cellule sessuali e che conterrebbero i fattori per la determinazione delle cellule. In immunologia, d. antigenico, sito dell’antigene contro cui è diretta la specificità di un anticorpo; ... risultante Fisica In analisi vettoriale, di un sistema di vettori, liberi o applicati, si dice r. o somma vettoriale il vettore che si ottiene come risultato dell’operazione di composizione. In particolare, il r. di due vettori è la diagonale del parallelogramma costruito sui due vettori (regola del parallelogramma); ...
Tag
  • COEFFICIENTE MULTINOMIALE
  • CALCOLO COMBINATORIO
  • MATRICE PERMUTATIVA
  • MATRICE QUADRATA
  • MATRICE IDENTITÀ
Altri risultati per permutazione
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Vocabolario
permutazióne
permutazione permutazióne s. f. [dal lat. permutatio -onis, der. di permutare «permutare»]. – 1. Nell’uso ant. o letter., il fatto di permutare, d’essere permutato; mutamento di condizione, o anche scambio, permuta. Nell’uso mod., p. tributaria,...
permutatóre
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