OTTICA NON LINEARE

OTTICA NON LINEARE

L'o. non l. è un capitolo del l'o. moderna che studia il comportamento della materia negli stati solido, liquido, gassoso, ionizzato quando è sottoposta all'azione di intensi campi elettromagnetici aventi lunghezza d'onda nel campo delle radiazioni visibili (4000 ÷ 7500 Å). Questo campo è generalmente esteso a quello comprendente le lunghezze d'onda di emissione degli oscillatori laser, dall'ultravioletto (λ 〈 4000 Å) al lontano infrarosso (λ > 5 • 10⁵ Å).

La nascita dell'o. non l. si può far risalire all'inizio del decennio 1960-70 in seguito alla realizzazione del primo laser utilizzante un cristallo di rubino come mezzo attivo (1960). Il successivo sviluppo è strettamente legato all'evoluzione della tecnica dei generatori e amplificatori laser di potenza (potenza impulsiva > 1 kW) che è passata negli ultimi quindici anni attraverso alcuni stadi di progresso che hanno di volta in volta esteso considerevolmente il campo di applicazione. Tali stadi possono essere identificati nell'invenzione delle tecniche di Q-switching (1961) e mode-locking (1966), mediante le quali sono facilmente ottenibili, da piccoli strumenti di laboratorio, potenze luminose impulsive, rispettivamente di centinaia di MW (per durata dell'impulso Δt ≈ 3 • 10^-8 sec) o di decine di GW (per Δt ≈ 10^-11 sec). Tali potenze luminose corrispondono a campi elettrici la cui intensità E è paragonabile ai campi intraatomici (E_at = 3 • 10¹⁰V/m). Sotto tali sollecitazioni, la risposta del mezzo, identificata mediante la polarizzazione elettrica P, non può essere lineare col campo E di eccitazione.

La formalizzazione matematica più semplice dell'o. non l. procede da un'espansione in serie di potenze del vettore polarizzazione:

dove i coefficienti di proporzionalità sono i tensori suscettività. In questa espressione della polarizzabilità elettrica (gli effetti magnetici sono trascurabili in o. non l.) appaiono un termine χ⁽⁰⁾, che corrisponde a un effetto di polarizzazione spontanea presente solo in materiali ferroelettrici, un termine proporzionale a E che esprime la risposta lineare del mezzo considerata dall'o. convenzionale, e termini successivi che rappresentano effetti non lineari cosiddetti di secondo ordine (χ⁽²⁾), di terz'ordine (χ⁽³⁾), ecc. La semplicità dell'espressione di P sopra riportata è giustificata dall'ipotesi d'infinita monocromaticità dei campi interagenti. Inoltre P, E_i, χ⁽ⁱ⁾ in quella espressione sono da considerarsi come trasformate di Fourier delle analoghe grandezze nello spazio dei tempi: polarizzazione, campi elettrici e funzioni-risposta. Proprietà fisiche di simmetria di carattere generale (causalità, time-reversal) o imposte dal mezzo non lineare (dispersione spaziale, simmetria cristallina, ecc.) si riflettono rispettivamente nella struttura analitica e nelle proprietà tensoriali delle χ⁽ⁱ⁾. Relazioni di dispersione analoghe, ma molto più complesse, a quelle di Kramers-Krönig sono state recentemente sviluppate per i tensori di suscettività del secondo e terzo ordine. L'argomento, di notevole interesse, è tuttora oggetto di ricerca teorica. Si può molto genericamente affermare che la quasi totalità degli esperimenti di o. non l. consistono nell'interazione nel mezzo non lineare di fasci di luce coerente a frequenze generalmente diverse, ω₁, ω₂, ecc., con vettori d'onda diversi, k₁, k₂, ecc., con successiva creazione nel mezzo di altri fasci di luce coerente, con differenti ω e k, oppure di eccitazioni elementari coerenti del mezzo stesso (fononi, magnoni, plasmoni, ecc.). L'espressione precedente di P(ω) = f [E_i(ω_i)] prevede appunto tali trasformazioni non lineari di frequenza o, meglio, trasferimenti di energia tra modi diversi di campi d'onda diversi tra loro interagenti tramite la non linearità del mezzo. Una nuova o. geometrica e quindi una nuova teoria della propagazione in un mezzo sostituiscono le analoghe teorie valide in regime lineare. Ovviamente la situazione è qui più complessa. Per es., nel caso di un'interazione in un cristallo non lineare di due onde luminose caratterizzate da {w₁, k₁} e {ω₂, k₂} con creazione di un'onda luminosa {ω₃ = ω₁ ± ω₂, k₃ = k₁ ± k₂} è necessario considerare la creazione e la propagazione del mezzo di un'onda di polarizzazione non lineare {ω₃, k₃} che dà origine nel cristallo a fasci di luce di eguale frequenza ω₃, ma aventi, in generale, differenti vettori d'onda e differenti direzioni di propagazione. Questi due diversi tipi di radiazione corrispondono rispettivamente all'integrale particolare (driven wave) e alla soluzione (free wave) dell'equazione omogenea associata all'equazione inomogenea di Maxwell:

dove P^NL è la polarizzazione non lineare. Le condizioni al contorno prevedono l'intensità delle free waves in rapporto a quella della driven wave e alla loro direzione di propagazione. Si giunge quindi a un insieme di equazioni di Snell valide in regime non lineare che prescrivono in corrispondenza a ogni superficie del cristallo il valore degli angoli di propagazione delle free waves. Ne deriva una nuova definizione di "angolo di Brewster" e di "angolo di riflessione totale interna". Alcuni fenomeni intuitivamente inattesi si verificano al contorno: per es., la generazione di un'onda di riflessione non lineare {ω₃, k₃}, emergente "all'indietro" dalla superficie del mezzo verso cui sono iniettate le onde k₁ e k₂ che all'interno del mezzo creano l'onda di polarizzazione non lineare. Quest'ultimo fenomeno, la cui rivelazione non richiede la trasparenza del mezzo alla radiazione di frequenza ω₃, è utilizzato per la spettroscopia non lineare di cristalli semiconduttori nelle bande di reststrahl o nella "banda di conduzione" elettronica.

La dinamica di un processo d'interazione a più onde viene rigorosamente descritta, nell'approssimazione di onde piane, da un sistema costituito da tante equazioni differenziali di Maxwell del tipo [1] quanti sono i campi interagenti. La soluzione simultanea in forma chiusa del problema è difficile e viene normalmente affrontata introducendo alcune semplificazioni di tipo matematico basate su considerazioni fisiche del sistema in esame. Per es., nel caso citato dell'interazione a tre onde è talora non rilevante il trasferimento di energia tra le onde eccitattrici coerenti k₁ e k₂ rispetto all'energia elettromagnetica già inizialmente a esse associata, mentre è rilevante il trasferimento al campo da esse creato {ω₃, k₃}. In tal caso i campi E₁, E₂ si possono considerare inalterati nel processo di propagazione-interazione e il problema matematico può essere ridotto alla soluzione dell'unica equazione [1]. Tale processo è normalmente chiamato "mixing (o mescolamento) non lineare". In molti casi il trasferimento di energia tra i fasci non può essere trascurato se non, approssimativamente, per uno dei campi E₁ di frequenza più elevata (energia del fotone, più elevata) che originariamente è molto intenso. In tal caso E₁ assume le denominazione e il ruolo di "pompa" di un "processo non lineare parametrico a tre onde" con generazione ad amplificazione di frequenza-differenza {ω₃ = ω₁ − ω₂, k₃ = k₁ − k₂}. In un processo siffatto i campi E₂ {ω₂, k₂} ed E₃ {ω₃ = ω₁ − ω₂, k₃ = k₁ − k₂} sono rispettivamente chiamati onde "segnale" e idler, usando la terminologia convenzionale dei processi parametrici in elettronica. Da notare che uno, oppure ambedue i campi {ω₂, k₂}, {ω₃, k₃} possono anche non essere di natura elettromagnetica (ma, per es., acustica). Nell'effetto parametrico cui sopra ci si riferisce, la pompa del processo subisce un assorbimento non lineare di energia a favore di un guadagno di energia per le onde segnale e idler. Come si è detto, nella trattazione matematica del processo di amplificazione parametrica di piccoli segnali l'assorbimento della pompa viene trascurato e il problema consiste nel calcolo o, sperimentalmente, nella misurazione del guadagno. Tale importante parametro dà la misura del trasferimento di energia e, come si vedrà più precisamente nel seguito, è proporzionale alla suscettività non lineare in un processo parametrico a tre onde. Il processo a tre onde appena descritto può essere anche invertito, nel senso che le due onde k₁ e k₂ interagiscono con creazione di frequenze somma ω₃ = ω₁ + ω₂, k₃ = k₁ + k₂. In tal caso il campo {w₃, k₃}, subisce un effetto di guadagno mentre i campi k₁, k₂ un effetto di assorbimento non lineare. Il segno e l'intensità dei trasferimenti di energia elettromagnetica fra le tre onde di un processo parametrico vengono descritti teoricamente mediante le equazioni di Manley-Rowe, che, per un'interazione nel mezzo non lineare lungo la coordinata spaziale z possono essere scritte nella forma seguente:

dove N_j(z) è il numero di fotoni associato all'onda di frequenza ω_j per unità di tempo e di area e C_i sono costanti indipendenti da z. Alle equazioni [2] dev'essere aggiunta naturalmente la condizione di conservazione dell'energia nel processo d'interazione: S₁(z) + S₂(z) + S₃(z) = C, con C costante rispetto a z e S_i(z) ± N_i(z) • ℏω_i. Tali equazioni sono valide ovviamente per mezzi perfettamente trasparenti alle tre frequenze e nelle condizioni di trasferimento "ottimo" di energia. A questo preciso proposito, estrema importanza acquista nell'o. non l. il processo di phase matching (o di conservazione del momento) in aggiunta a quello di conservazione dell'energia dei fotoni interagenti. Com'è noto, questi due principi di conservazione debbono essere simultaneamente verificati sperimentalmente per garantire un apprezzabile trasferimento non lineare di energia tra i campi. Il processo di conservazione del momento che, per un'interazione a tre onde, è espresso dalle equazioni: k₁ ± k₂ = k₃ valide rispettivamente per interazione a frequenza somma ς₁ + ω₂ = ω₃ e a frequenza differenza ω₁ − ω₂ = ω₃, è generalmente di difficile verifica sperimentale a causa della dispersione ottica dell'indice di rifrazione dei materiali non lineari, n(ω). In generale, infatti, quest'ultimo effetto impedisce un accoppiamento ottimo tra campi di natura elettromagnetica in mezzi dotati di elevata simmetria spaziale e, genericamente, centrosimmetrici (per es., gas, liquidi, cristalli isotropi, ecc.). Sono state tuttavia messe a punto tecniche per garantire la conservazione del momento in diversi materiali di questo tipo: in gas e in liquidi l'effetto di dispersione in frequenza può essere compensato mediante mescolamento con altri gas (o liquidi) che sono inattivi nel processo d'interazione non lineare ma partecipano a determinare il "colore" e quindi l'indice di rifrazione n(ω) del mezzo. In cristalli isotropi la conservazione del momento è spesso resa possibile dall'effetto della dispersione n(ω) alle frequenze intermedie del processo dovute a risonanze proprie del cristallo (dovute, per es., alla presenza di fotoni attivi nell'infrarosso, polaritoni, ecc.). In cristalli uniassici la conservazione del momento può essere garantita, per es., in un esperimento di generazione di seconda armonica (v. oltre) quando le mutue direzioni dei vettori d'onda del fascio incidente k₁, a frequenza ω₁, di quello di seconda armonica k a frequenza ω = 2ω₁, e degli assi del cristallo, sono tali che i vettori-indice delle due onde coincidono nel luogo d'intersezione fra gli ellissoidi di Fresnel corrispondenti rispettivamente al raggio ordinario a frequenza 2ω₁, e del raggio straordinario a frequenza 2ω₁. Tale metodo, originariamente proposto e realizzato da J. A. Giordmaine e da P. D. Maker e collab. (1962), è di estrema importanza tecnica nell'o. non l. in quanto permette il raddoppio di frequenze ottiche con alta efficienza (superiore al 10%). Nel seguito verranno descritti i principali effetti di o. non l. classificabili secondo l'ordine di non linearità cui si riferiscono. Con lo stesso criterio verranno prese in esame brevemente le più rilevanti proprietà dei tensori di suscettività non lineare.

Non linearità del secondo ordine. - Si è già accennato in precedenza alle condizioni imposte dalla simmetria del mezzo sulla forma del tensore suscettività. Nel caso di suscettività del secondo ordine (e, in generale, di ordine pari) si può inferire da semplici considerazioni di simmetria che χ⁽ⁱ⁾ = 0 quando il mezzo è centrosimmetrico. Tale è il caso di cristalli di simmetria appropriata e di fluidi che non siano otticamente attivi. Da notare che l'isotropia cristallina in regime lineare non si riproduce necessariamente in regime non lineare. Ulteriori leggi di simmetria che possono considerarsi l'estensione della proprietà di simmetria del tensore dielettrico in regime lineare, stabiliscono relazioni generali tra componenti spaziali dei tensori suscettività non lineare a differente frequenza. Una stima approssimata del valore assoluto dei componenti di χ⁽²⁾ si ottiene tenendo presente che, in generale, il rapporto tra il valore della suscettività di due ordini immediatamente successivi è circa eguale a E_at /E, dove E è l'intensità del campo elettrico che agisce sul sistema ed E_at è l'intensità del campo atomico. Nel nostro caso si ottiene 〈χ⁽²⁾> ≈ a₀/e ≈ 1/E_at = 10^-7 ÷ 10^-8 (stat volt/m)^-1 con a₀ raggio di Bohr, e carica dell'elettrone. Il valore di χ⁽²⁾ per un determinato materiale viene sperimentalmente dedotto dalla misura del guadagno in un processo parametrico a tre onde (mixing) e più in particolare in un processo di amplificazione parametrica. La fig. 1 mostra lo schema del primo oscillatore parametrico (J. A. Giordmaine e R. Miller, 1965). La frequenza di un laser Q-switched a utilizzante come mezzo attivo una barretta di CaWO₄ : Nd³⁺ viene raddoppiata da un cristallo non lineare b di niobato di litio LiNbO₃ (di simmetria trigonale) mediante 11n processo di generazione di seconda armonica. Il fascio di luce emergente (λ = 0,53 μm) è utilizzato come "pompa" di un oscillatore parametrico costituito semplicemente da un eguale cristallo di LiNbO₃ inserito in una cavità ottica Fabry-Perot c. La selezione di frequenza della radiazione generata dall'oscillatore viene attuata variando opportunamente la temperatura T del cristallo e modificando quindi le condizioni di conservazione del momento nell'interazione a tre onde a causa della dipendenza da T della dimensione degli ellissoidi di Fresnel del cristallo. Con questo dispositivo sperimentale viene generato un fascio di luce coerente accordabile nell'intervallo di lunghezza d'onda 0,65 ÷ 2,35 μm. Altri metodi per conseguire l'accordabilità in frequenza utilizzano l'effetto elettroottico o l'orientazione degli assi del cristallo rispetto alla direzione del vettore d'onda della luce di "pompa". I cristalli non lineari più comunemente usati per effetti del second'ordine appartengono alla classe di simmetria tetragonale (KDP, ADP, 〈χ⁽²⁾> ≈ 3 • 10^-9 u.e.s.) e trigonale (NbLiO₃, 〈χ⁽²⁾> ≈ 3 • 10^-8 u.e.s.; Ag₃AsS₃, 〈χ⁽²⁾> ≈ 10^-7 u.e.s.). Molti cristalli semiconduttori III-V o II-VI di simmetria cubica (ZnTe, InSb, GaAs, ecc.) posseggono un'elevatissima non linearità del 2° ordine 〈χ⁽²⁾> ≈ 10^-6 u.e..s.) ma non sono utilizzati per effetti parametrici a causa della mancanza di anisotropia ottica che permetta in generale la conservazione del momento nell'interazione a tre onde.

Non linearità di terzo ordine. - A differenza del caso precedente, tutti i mezzi possiedono una non linearità del terzo ordine, ossia per essi è χ⁽³⁾ ≠ 0. Una prima classe di effetti non lineari associati a χ⁽³⁾ consiste in una generalizzazione del processo di mixing non lineare. Tre fasci ottici cui sono associati differenti valori di ω_i e k_i interagiscono con generazione di una quarta onda luminosa coerente avente frequenza e vettore di onda date da somme e differenze (rispettivamente scalari e vettoriali) di ω_i e k_i. Questo effetto viene utilizzato generalmente per la generazione di luce coerente nell'ultravioletto triplicando la frequenza emessa dal laser a rubino (λ = 6943 Å) o quella di seconda armonica della radiazione generata dal laser a Nd³⁺ (λ = 10.600 Å). Tale tipo d'interazione viene generalmente verificata in gas utilizzando, per ottenere la conservazione del momento, la tecnica del mescolamento con gas estranei. Per ottenere una conversione apprezzabile di energia sono generalmente usati laser ad alta potenza e impulsi ultracorti (picosecondi). Una seconda classe di processi non lineari del terzo ordine è basata sulla modulazione non lineare dell'indice di rifrazione del mezzo per interazione di due fasci di eguale frequenza con effetto simultaneo sulla propagazione di un terzo fascio.

La polarizzazione non lineare macroscopica a frequenza ω = ω₁ − ω₂ + ω₃ si scrive per un mezzo centrosimmetrico nella forma:

Il caso appena considerato corrisponde a ω₁ = ω₂ e la suscettività del mezzo, χ(ω) = χ⁽¹⁾ (ω) + χ⁽³⁾(ω₁, − ω₁, ω): E(ω₁) E*(ω₁), mostra una modulazione dipendente dall'intensità del fascio alla frequenza ω del fascio primario.

Si fa notare che tale caso comprende il normale effetto Kerr, corrispondente a ω₁ = o. Naturalmente, per la [3], anche il campo associato al fascio primario genera un effetto Kerr ed è quindi in grado d'influenzare la propria propagazione del mezzo. Ciò dà origine a una serie di autoeffetti che elencheremo brevemente.

1) Autofocalizzazione e autointrappolamento. - A causa della dipendenza non lineare dell'indice di rifrazione n = n₀ + n₂∣E∣², un fascio laser, avente inizialmente una distribuzione trasversale d'intensità I(x) di tipo gaussiano, subisce un effetto di focalizzazione nel mezzo non lineare in uno spazio caratteristico che, nella direzione di propagazione z, è dato da

dove x = 0 in corrispondenza dell'asse di simmetria del fascio. Raggiunta così una dimensione trasversale critica (diametro eguale a circa 10λ ÷ 100λ), il fascio rimane intrappolato, per riflessione totale interna, in una vera e propria guida d'onda cilindrica di indice n > n₀. La potenza critica dell'impulso laser per ottenere tale effetto è data da P_cr = (1,22λ)²c/(512 n₂); tale valore è circa eguale a 10 kW in CS₂ allo stato liquido, per λ = 6943 Å.

2) Automodulazione della forma dell'impulso e della fase. - Similmente al caso 1), l'effetto Kerr autoindotto provoca una variazione delle velocità di gruppo dell'impulso di radiazione nel mezzo, dipendente dall'intensità delle varie porzioni dell'impulso stesso. Ciò provoca un allungamento dell'impulso nel caso di dispersione normale e una modulazione della fase dell'impulso nel tempo (chirping). Quest'ultimo effetto si è rivelato utile per ottenere una compressione passiva di impulsi laser ultracorti (picosecondi) con conseguente aumento della potenza associata.

Una terza classe di processi del terzo ordine comprende effetti risonanti in cui una o più frequenze di fasci interagenti coincidono con frequenze proprie del mezzo. Tali frequenze possono corrispondere a risonanze di onde acustiche (fononi acustici), roto-vibrazioni molecolari, fononi ottici, onde di spin, plasmoni, eccitoni, stati di impurezze in un cristallo, ecc.

Similmente al caso lineare, la condizione di risonanza corrisponde (quando regole di selezione non lo vietano) a un pronunciato comportamento dispersivo della parte reale della χ⁽³⁾ e a un notevole incremento della parte immaginaria. Di conseguenza l'intensità dei processi parametrici del terzo ordine risulta esaltata. I processi parametrici non lineari risonanti del terzo ordine sono generalmente classificati come effetti Raman o effetti di assorbimento a 2 fotoni. L'effetto Raman può essere considerato come un effetto parametrico a tre onde in cui il campo idler (o quello di "segnale"), caratterizzato dai parametri {Ω, k₃}, ha la natura fisica dell'eccitazione risonante del mezzo e comunque non elettromagnetica. Con riferimento alla fenomenologia tipica dell'effetto Raman tale eccitazione corrisponde normalmente in un cristallo a un fonone acustico od ottico. Questi due tipi di fononi che sono differenziati dal diverso comportamento dispersivo, k₃ = f(Ω), oltre che dall'entità tipica della frequenza Ω ≡ ω₃ ad essi associata, dànno origine rispettivamente all'effetto Brillouin e all'effetto Raman propriamente detto. In ambedue i casi si ha un trasferimento di energia dalla "pompa" {ω₁, k₁} ai campi Q_i di frequenza inferiore, i quali subiscono quindi un'amplificazione esponenziale lungo la coordinata d'interazione z : Q_i = Q_i(0) exp (g_i z), con un guadagno g_i, per l'onda a frequenza ω_i, dato dall'espressione:

in cui compare la parte immaginaria del tensore χ⁽³⁾ e il versore polarizzazione del campo {ω_i, k_i}, ê_i. Analoga espressione può essere scritta per il coefficiente di assorbimento non lineare della "pompa" a frequenza ?ω₁ = ω₂ + Ω. La natura fisica e le proprietà a livello microscopico dell'eccitazione risonante del mezzo si riflettono nell'espressione esplicita di χ⁽³⁾.

L'analisi classica in termini di mixing parametrico a tre onde che si traduce, com'è stato detto, nella soluzione di un sistema di equazioni inomogenee di Maxwell è naturalmente giustificata nel caso in cui i tre campi abbiano una sufficiente coerenza spaziale e temporale perché possano essere considerati classici. Generalmente ciò si verifica nel caso dell'amplificatore ma non nel caso dell'oscillatore parametrico, in cui inizialmente il campo (classico) di "pompa" interagisce con i quanti "di punto zero" dei campi di frequenza ω₂ e ω₃. In questa prima fase dell'interazione la teoria classica dell'accoppiamento dev'essere adeguatamente sostituita da una teoria quantistica dello scattering anelastico. Ciò vale in o. non l. come considerazione generale relativa a tutti i processi parametrici. Questi sono generalmente caratterizzati, oltre che da un guadagno g, da un' "intensità luminosa di soglia" I_s dell'impulso di pompa. I_s è una funzione di g e dei coefficienti di assorbimento nel mezzo dei campi amplificati. Per un'intensità di pompa I ≪ I_s il processo di generazione ha una natura tipicamente quantistica e come tale va formalizzato e risolto. Nel caso specifico si parlerà a questo proposito di effetti Brillouin e Raman "spontanei". Quando invece I ≫ I_s il processo di generazione parametrica può essere analizzato classicamente: siamo in un regime in cui tali effetti vengono chiamati "stimolati" in quanto la presenza in un modo i-esimo del campo di radiazione di n _i ≫ 1 quanti, "stimola" l'emissione da parte del sistema di quanti nello stesso modo secondo l'equazione ∂n_i/∂t ∝ n_i, da cui l'andamento esponenziale dell'amplificazione. Guadagni molto elevati (dell'ordine di 100 ÷ 1100 cm^-1) possono essere raggiunti mediante laser convenzionali (Q-switched o mode-locked) per eccitazione stimolata Brillouin e Raman di fononi acustici, di roto-vibrazioni molecolari, di fononi ottici, in un gran numero di molecole e di cristalli.

L'eccitazione Raman stimolata di onde di spin, si è rivelata di grande interesse sperimentale per l'accordabilità in frequenza dei fasci emessi, ottenuta mediante variazione del campo magnetico esterno. Le considerazioni fatte si riferiscono alla generazione e all'amplificazione dell'onda di luce cosiddetta "Stokes" a frequenza ω_s = ω₁ − Ω (ω_s e Ω coincidono con ω₂ e ω₃, o viceversa, della trattazione precedente). Questo processo primario, in cui consistono gli effetti Raman e Brillouin propriamente detti e che avviene con un'alta efficienza di trasferimento di energia (superiore al 30%), è sperimentalmente associato alla creazione di altre frequenze Stokes di ordine superiore e antiStokes (solo per effetto Raman) distanziate tra loro della frequenza propria del mezzo Ω. Questi effetti secondari nascono da processi di mixing non lineare a tre onde in cui partecipano inizialmente i campi di frequenze ω₁, ω_s, Ω, con generazione di nuove frequenze ω₁ + Ω, ω_s − Ω dalle quali traggono origine nuovi processi di mixing con creazione successiva di altre frequenze, e così via.

Il processo di assorbimento a 2 fotoni è schematizzato in fig. 2. Due campi {ω₁, k₁} e {ω₂, k₂) interagiscono creando un'onda di polarizzazione {ω = ω₁ + ω₂, k = k₁ + k₂} in risonanza con una transizione propria del mezzo a frequenza Ω. Per ω₁ e ω₂ appartenenti all'intervallo ottico dello spettro, la risonanza in questione corrisponde tipicamente a una transizione tra stati o bande elettroniche o all'eccitazione di un livello eccitonico o di impurezze. La trattazione matematica del processo è simile a quella per l'effetto Raman. Ne risulta tuttavia che, in questo caso, i due fasci di eccitazione subiscono un assorbimento non lineare, ossia un trasferimento di energia all'eccitazione del mezzo, similmente a quanto avviene nei processi di generazione di frequenza-somma e di seconda armonica.

Il coefficiente di assorbimento non lineare ha un'espressione molto simile a quella del guadagno [4]. I processi Raman e di assorbimento a 2 fotoni hanno un rilevante interesse spettroscopico perché nei mezzi dotati di elevata simmetria in cui la parità degli stati è un buon numero quantico, questi accoppiano stati di eguale simmetria tra cui esiste una variazione di numero quantico orbitale Δl = 0, ± 2. Com'è noto, la convenzionale spettroscopia lineare (a 1 fotone) è basata sull'analisi di transizioni tra stati di simmetria opposta conΔl = ± 1. I due tipi di spettroscopia sono quindi da considerare complementari. In molti sistemi di bassa simmetria gli stati accoppiati da effetti Raman o per assorbimento a 2 fotoni possono essere attivi per processi a un fotone. In questo caso gli effetti non lineari del terzo ordine si mescolano con effetti non lineari del secondo ordine: l'effetto Raman da fononi ottici è associato al processo di generazione d'infrarosso coerente e il processo di assorbimento a 2 fotoni a quello di generazione coerente di frequenza-somma. Simultanee applicazioni di tecniche di o. non l. coinvolgenti non linearità di secondo e terzo ordine sono il moderno capitolo della spettroscopia non lineare. La spettroscopia non lineare, ossia la spettroscopia basata sui metodi dell'o. non l., ha acquistato crescente rilevanza per lo studio della struttura della materia. Ciò è anche dovuto alla disponibilità di sorgenti laser accordabili in frequenza in modo continuo in tutto il campo visibile e nel vicino infrarosso.

Generalizzazione. - Non linearità di quarto e quinto ordine sono attualmente oggetto di ricerca sperimentale mediante l'uso di laser ad alta potenza a impulsi ultracorti. L'evidente interesse fisico di tale ricerca per quanto si riferisce alla spettroscopia non lineare dei materiali urta generalmente contro difficoltà interpretative dei risultati, i quali sono prevalentemente condizionati da effetti di ordine inferiore e che difficilmente ricevono un'adeguata spiegazione da una teoria delle suscettività non lineari di complessità crescente con l'ordine delle stesse. L'interesse tecnico di tali effetti è anche minore in quanto somme e differenze multiple di frequenza vengono facilmente ottenute con successive applicazioni di effetti di secondo e terzo ordine in materiali di noto comportamento.

Si vuole ora soltanto accennare ai casi in cui l'espansione di P^NL. in serie di potenze dei campi non è giustificabile. Tali sono i casi cosiddetti di "interazione forte", quali si presentano, per es., in fenomeni di propagazione di impulsi laser in risonanza con un sistema a due livelli. In tali casi, di attuale interesse fisico, l'equazione inomogenea di Maxwell dev'essere risolta in forma chiusa. La teoria di tali processi, che consiste nella sovrapposizione di un problema di propagazione classico e del problema quantistico della risposta microscopica del mezzo, è simile a quella sviluppata per l'interazione di spin magnetici con campi elettromagnetici, con la rilevante correzione relativa al valore delle frequenze di risonanza in gioco. Nel caso ottico un sistema a 2 livelli viene infatti comunemente assimilato a uno spin fittizio. La fenomenologia consiste di effetti "locali" e "non locali" (di propagazione). Effetti locali vanno considerati il processo di spin-eco e il processo di nutazione ottica transitoria. Gli effetti di propagazione sono in generale associati nell'ambito del processo detto di i[trasparenza autoindotta" e della "bistabilità ottica".

Bibl.: W. Born, Principles of optics, New York 1964; N. Bloembergen, Non-linear optics, ivi 1965; P.N. Butcher, Nonlinear optical phenomena, in Bull. 200-Ohio State University, Columbus, Ohio 1965; J. Ducuing, in Quantum optics (a cura di R. Glauber), New York 1967; E. Courtens, in Laser handbook, Amsterdam e New York 1972; Nonlinear spectroscopy (a cura di N. Bloembergen), in Proceedings of the International School "E. Fermi", Varenna 1974.