oscillazioni di betatrone e di sincrotrone
oscillazioni di betatrone e di sincrotrone
Negli acceleratori, piccole oscillazioni delle particelle intorno all’orbita ideale. La curvatura delle traiettorie descritte dagli elettroni in un anello di collisione dipende dall’intensità del campo magnetico lungo la circonferenza e dall’energia delle particelle. Siccome quest’ultima aumenta di una quantità ∆E ogni qualvolta il fascio passa attraverso una serie di cavità risonanti, il cui campo elettrico è modulato a una ben determinata frequenza, occorre far variare il campo magnetico in modo che le particelle percorrano sempre le stesse traiettorie. Il moto di una particella carica sottoposta all’azione di campi elettrici e magnetici che costituiscono, insieme al sistema di vuoto e alle cavità di radiofrequenza, gli elementi essenziali di un acceleratore, può essere rappresentato come la somma del moto di un punto in equilibrio che ruota nell’anello con velocità angolare ωο costante e delle oscillazioni che una particella di ugual impulso ma di diversa direzione descrive intorno al punto di equilibrio. Queste oscillazioni, dette di betatrone, avvengono rispettivamente nei piani orizzontale e verticale. Uno dei problemi importanti della dinamica dei fasci è evitare che le particelle abbiano ampiezze di oscillazioni trasverse più grandi delle dimensioni della camera a vuoto, in quanto, in questo caso, le particelle del fascio sono perse a tutti gli effetti e il numero di particelle accumulate nell’anello diminuisce considerevolmente e di conseguenza diminuisce la luminosità e la frequenza con cui vengono prodotti i processi fisici che si esaminano. Molti fenomeni fisici influenzano la dinamica delle particelle, riducendo la vita media del fascio e il numero di urti per unità di tempo. In generale tali fenomeni sono prodotti da non linearità introdotte nel sistema, quali, per es., i meccanismi di diffusione di particelle, di imperfezione dei campi elettrici e magnetici dell’acceleratore e così via. Nonostante la non linearità del sistema, si ottengono nei collider vite medie di parecchie ore nel caso degli elettroni e di parecchi giorni nel caso di sistemi non dissipativi, quali i fasci di protoni. Gli elettroni costituiscono un sistema dissipativo poiché perdono energia sotto forma di radiazione di sincrotrone. La stabilità delle orbite è raggiunta impiegando, oltre ai dipoli, anche un altro tipo di magneti, i quadrupoli, che creano le forze di richiamo necessarie per rendere stabili le traiettorie delle particelle. Poiché l’ampiezza delle oscillazioni di betatrone è inversamente proporzionale alla loro frequenza angolare ωβ, quest’ultima è scelta in modo che il suo valore sia grande rispetto alla frequenza di rotazione (ωο) del fascio nell’anello. Valori elevati del rapporto ωβ/ωο si ottengono distribuendo opportunamente quadrupoli che focalizzano nel piano orizzontale e quadrupoli che focalizzano nel piano verticale. Va tenuto presente che un quadrupolo magnetico focalizza in un piano e defocalizza nel piano perpendicolare a esso. Una particella elettricamente carica, che descrive una traiettoria circolare in un campo magnetico, irraggia energia elettromagnetica; sotto l’effetto dell’irraggiamento le dimensioni traverse dei fasci di particelle, specialmente se elettroni o positroni, diminuiscono esponenzialmente nel tempo. La potenza media istantanea emessa sotto forma di radiazione elettromagnetica è data dalla
dove ϱ è il raggio di curvatura della traiettoria, E è l’energia della particella carica, c è la velocità della luce e Cγ una costante che vale
La quantità re è il raggio classico della particella ed è inversamente proporzionale alla sua massa a riposo m. Per gli elettroni o positroni Cγ=8,85×10−5 m GeV−3, mentre per i protoni Cγ=7,759×10−18 m GeV−3. Questa grande differenza numerica spiega perché la perdita di energia a causa dell’emissione di sincrotrone sia trascurabile, a parità di energia, nel caso dei protoni, mentre va presa in considerazione nel caso di acceleratori di elettroni. In generale il sistema di radiofrequenza deve, oltre che accelerare il fascio, anche restituirgli l’energia ceduta all’ambiente esterno sotto forma di luce di sincrotrone. Il sistema di accelerazione consiste, in linea di principio, di una o più cavità il cui campo elettromagnetico oscilla alla frequenza angolare ωRF, tipicamente alcune centinaia di MHz, scelta in modo da essere un multiplo della frequenza angolare ωo corrispondente a quella dell’orbita sincrona la cui energia è uguale all’energia nominale Eo. Le particelle con energia diversa da quella nominale oscillano attorno a differenti orbite di equilibrio lungo la circonferenza. Queste oscillazioni che avvengono nella direzione longitudinale sono le oscillazioni di sincrotrone e sono descritte dall’equazione del moto di un oscillatore smorzato sottoposto a un forza di natura stocastica, a causa dell’emissione stocastica dei fotoni. I fasci di particelle sono distribuiti in piccoli pacchetti. L’equazione che descrive il moto longitudinale attorno alla particella sincrona è l’equazione di un pendolo. Nel piano definito dall’energia e dalla coordinata longitudinale si ottengono punti fissi, che sono stabili, e curve che separano la zona di equilibrio stabile dalla zona in cui il moto non è più periodico. Tali curve sono le separatrici del moto. In condizioni particolari, da evitare nel caso di un acceleratore, si possono ottenere moti caotici. Le oscillazioni longitudinali sono generalmente lineari nella coordinata longitudinale. La regione stabile può essere aumentata se si aumenta l’ampiezza del campo elettrico. Le oscillazioni di betatrone nel piano orizzontale sono accoppiate alle oscillazioni longitudinali del moto di sincrotrone, poiché la traiettoria curvilinea descritta dalla particella nel piano orizzontale dipende dall’energia totale. I termini non lineari accoppiano tra loro, in generale, i modi normali del sistema. Il sistema di accelerazione, è formato da più cavità opportunamente distribuite lungo la macchina, i cui parametri di funzionamento sono tali che la particella, percorrendo milioni di volte la traiettoria nell’anello, sia sempre in sintonia con il campo accelerante con grande precisione. Il sistema di accelerazione a radiofrequenza svolge inoltre il ruolo importantissimo di concentrare longitudinalmente le particelle in pacchetti compatti.
→ Acceleratori circolari di particelle