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ordine di grandezza

Enciclopedia della Matematica (2013)
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ordine di grandezza


ordine di grandezza intuitivamente definibile come la misura della “grandezza” di un numero, data dalla potenza di 10 a esso più vicina, può essere rigorosamente definito a partire dalla sua scrittura in → notazione scientifica. Poiché la notazione scientifica di un numero reale a è: sign(a) ⋅ m ⋅ 10k con m ∈ R, 1 ≤ m < 10, e k ∈ Z, l’ordine di grandezza si definisce come la potenza 10z più vicina ad a, essendo z tale che:

formula

Se 1 ≤ m ≤ 5 l’ordine di grandezza di a è 10k; se invece 5 < m < 10, l’ordine di grandezza di a è 10k+1. In pratica, per calcolare l’ordine di grandezza di un numero reale positivo si può procedere nel modo seguente:

• si scrive il numero in notazione scientifica;

• si arrotonda il numero, scrivendolo senza parte decimale; per fare ciò si considera la prima cifra dopo la virgola decimale: se è uguale a 0, 1, 2, 3, 4, allora il numero prima della parte decimale si lascia inalterato; se è uguale a 5, 6, 7, 8, 9, allora il numero prima della parte decimale è aumentato di 1. Così, arrotondando: 4,81 ⋅ 103 diventa 5 ⋅ 103; 7,52 ⋅ 104 diventa 8 ⋅ 104; 2,41 ⋅ 10−3 diventa 2 ⋅ 10−3; 9,49 ⋅ 105 diventa 9 ⋅ 105 mentre 9,5 ⋅ 106 diventa 10 ⋅ 106 = 1 ⋅ 107;

• se il numero intero è 1, 2, 3, 4, 5 allora l’ordine di grandezza è la potenza di 10 che si legge nella scrittura ottenuta; altrimenti, l’ordine di grandezza si ottiene aumentando di 1 l’esponente di 10. Negli esempi precedenti gli ordini di grandezza dei numeri sono rispettivamente 103, 105, 10−3, 106 e 107.

Nell’esecuzione di una procedura algoritmica iterativa, è molto utile stimare l’ordine di grandezza dell’errore dei risultati parziali ottenuti in modo da determinare la condizione d’arresto della procedura stessa. Detti xn e xn+1 i valori ottenuti da due successive iterazioni di calcolo, si considera la loro differenza in valore assoluto: se si vuole ottenere un risultato con un errore di ordine di grandezza inferiore a 10−k, occorre arrestare il calcolo quando la differenza tra due successivi valori ottenuti è appunto minore di 10−k, cioè quando en+1 = |xn − xn+1| < 10−k. Si supponga, per esempio, che il metodo iterativo fornisca per una data variabile x i valori x1 = 1,8; x2 = 1,81; x3 = 1,817; x4 = 1,8168. La stima dell’errore in ciascun passo è:

• e2 = |1,8 − 1,81| = |−0,01| = 1 ⋅ 10−2 (ordine di grandezza 10−2);

• e3 = |1,81 − 1,817| = |−0,007| = 7 ⋅ 10−3 (ordine di grandezza 10−2);

• e2 = |1,817 − 1,8168| = |0,0002| = 2 ⋅ 10−4 (ordine di grandezza 10−4).

Se si vuole ottenere un risultato con un errore dell’ordine di grandezza minore di 10−3 è sufficiente fermare il calcolo quando |xn − xn+1| < 10−3; il che corrisponde al quarto passo dell’iterazione.

Vedi anche
Titano Il maggior satellite di Saturno e il secondo in ordine di grandezza, dopo Ganimede, dell’intero Sistema solare. Fu scoperto da C. Huygens nel 1655. Ha diametro di 5150 km, massa di 1,4∙1023 kg e densità di 1,9 g/cm3. Il semiasse maggiore dell’orbita misura 1.222.000 km, il periodo di rivoluzione è di ... aritmetica Matematica Parte della matematica che riguarda lo studio dei numeri, in particolare dei numeri interi. Il termine fu usato per la prima volta dai pitagorici, per indicare la scienza astratta dei numeri, contrapposto a λογιστική (logistica), che era invece la parte pratica del calcolo numerico: ma nell’uso ... lega Materiale composto da due o più elementi chimici di cui quello presente in maggiore quantità deve essere un metallo. Fra i metalli, soltanto rame e piombo possono essere utilizzati non legati, tutti gli altri sono utilizzati in lega. Generalità Una l., per essere considerata tale, deve possedere almeno ... Albert Einstein Fisico (Ulma 1879 - Princeton 1955). Trascorsi i primi anni della sua vita a Monaco, dopo un breve soggiorno a Milano Einstein si trasferì con la famiglia in Svizzera. A Zurigo completò gli studî secondarî e frequentò l'università conseguendo nel 1905 il dottorato. Nel 1909 ottenne il primo incarico ...
Tag
  • ORDINE DI GRANDEZZA DI UN NUMERO
  • NOTAZIONE SCIENTIFICA
  • METODO ITERATIVO
  • NUMERO REALE
Vocabolario
ordine
ordine órdine s. m. [lat. ōrdo ōrdĭnis]. – 1. a. Disposizione regolare di più cose collocate, le une rispetto alle altre, secondo un criterio organico e ragionato, rispondente a fini di praticità, di opportunità, di armonia, e sim.: mettere,...
unità
unita unità s. f. [dal lat. unĭtas -atis, der. di unus «uno»; in alcuni dei sign. concreti, ha risentito l’influenza dell’ingl. unit (che in inglese è distinto da unity)]. – 1. a. Il fatto, la condizione e la caratteristica di essere uno,...
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