operatori compatti
operatori compatti
Operatori lineari su uno spazio di Hilbert ℋ vicini in un senso opportuno agli operatori di dimensione finita, ovvero agli operatori che mandano ℋ in un sottospazio di dimensione finita. Gli operatori compatti giocano un ruolo importante in numerose appliacazioni, in primo luogo nella teoria delle equazioni intergrali. Più precisamente, un operatore di uno spazio di Hilbert ℋ (con prodotto scalare (∙,∙) che induce una norma ∣∣∙∣∣) in sé si dice compatto o completamente continuo se trasforma ogni insieme limitato in un insieme la cui chiusura nella topologia indotta dal prodotto scalare è compatta. In uno spazio di Hilbert a dimensione finita ogni operatore lineare è compatto, poiché trasforma ogni insieme limitato in uno limitato e in un tale spazio la chiusura di ogni insieme limitato è compatta. Ciò non è più vero in dimensione infinita: la palla unitaria (l’insieme degli x∈ℋ tali che (x,x)≤1) è chiusa e limitata ma non compat ta. Segue immediatamente che l’operatore identità su uno spazio di Hilbert di dimensione infinita non è compatto, mentre lo sono per definizione gli operatori di dimensione finita. Questi ultimi permettono di formulare rigorosamente la caratterizzazione iniziale: un’operatore è compatto se esiste una successione di operatori con immagine di dimensione finita convergente a esso nella norma degli operatori. Notiamo che tali definizioni hanno senso anche nel caso di operatori su uno spazio di Banach (normato e completo) E. Ogni operatore compatto hermitiano su uno spazio di Hilbert ℋ è diagonalizzabile, nel senso che esistono dei numeri complessi λifi0 (gli autovalori, i=1,2,...) e dei proiettori ortogonali P0 e Pi (proiettori su spazi di autovettori corrispondenti agli autovalori λi, i=1,2,...) con PiPj=0 per ifij (e P0Pi=0 per ogni i) tali che
Il proiettore P0 proietta sul sottospazio KerA={x∈ℋ tali che Ax=0}, il quale può essere di dimensione infinita; i proiettori Pi al contrario proiettano su sottospazi di dimensione finita. Come stabilisce il teorema di Hilbert-Schmidt, è inoltre possibile trovare una base ortonormale per ℋ di autovettori di A. In generale la sommatoria è su un numero infinito di termini, ma vale la seguente proprietà: per ogni δ>0 esiste solo un numero finito di autovalori con modulo maggiore di δ.