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omografia

Enciclopedia della Matematica (2013)
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omografia


omografia o collineazione, corrispondenza biunivoca tra due spazi proiettivi di uguale dimensione Sn e Sn′ definita da equazioni del tipo

formula

dove h è un numero reale non nullo, xj e xi′ sono le coordinate proiettive omogenee nei due spazi e la matrice A = (aij) ha determinante non nullo. Un’omografia tra due rette proiettive r e r′ è una corrispondenza biunivoca tra i punti delle due rette che conserva il → birapporto di quattro punti allineati. Una omografia tra due spazi proiettivi Sn e Sn′, di dimensione n ≥ 2, è una corrispondenza biunivoca tra i punti dei due spazi che conserva gli allineamenti, cioè trasforma terne di punti allineati di Sn in terne di punti allineati di Sn′. Il termine è spesso utilizzato come sinonimo di → proiettività, anche se il termine «proiettività» è generalmente riservato al caso in cui Sn e Sn′ sono sovrapposti. Se Sn e Sn′ sono due spazi proiettivi di dimensione n, allora esiste un’unica omografia tra essi che trasforma n + 2 punti di Sn, a n + 1 a n + 1 non appartenenti a un medesimo iperpiano. Se Vn+1 è lo spazio vettoriale a partire dal quale è stato costruito lo spazio proiettivo Sn, allora ogni proiettività di Sn (omografia di Sn in sé) è indotta da un automorfismo di Vn+1.

Nel caso di spazi sovrapposti è possibile classificare proiettivamente le omografie in base alla configurazione degli elementi uniti, cioè di quegli elementi o insiemi che corrispondono a sé stessi. Un’omografia tra piani sovrapposti, diversa dall’identità, ha in generale tre soli punti uniti. Se possiede più di tre punti uniti allora ha una retta di punti uniti ed è detta omologia piana (→ omologia). Un’omografia tra spazi sovrapposti, diversa dall’identità, ha in generale quattro punti uniti. Se possiede più di quattro punti uniti si possono presentare diversi casi. Può avere una retta di punti uniti e, in tal caso, è detta omografia assiale; può avere due rette sghembe di punti uniti e, in tal caso, è detta omografia biassiale; può avere un piano di punti uniti e, in tal caso, è detta omologia spaziale (→ omologia). Nell’omografia biassiale la retta passante per due punti corrispondenti A e A′ interseca ciascuna delle rette unite. Indicati con U e V tali intersezioni, il birapporto (UVAA′ ) assume un valore costante, detto caratteristica dell’omografia. Se questa vale −1, la trasformazione si dice omografia armonica. L’insieme delle omografie di uno spazio proiettivo in sé forma un gruppo. Lo studio delle proprietà delle figure invarianti per omografia costituisce l’oggetto della geometria proiettiva.

Vedi anche
geometria In senso ampio e generico, ramo della matematica che studia lo spazio e le figure spaziali. Cenni storiciL’antichità - L’origine della g. è legata a concreti problemi di misurazione del terreno (nacque a scopi agrimensori nella zona del delta del Nilo); si trattava quindi essenzialmente di una g. empirica, ... punto Matematica Insieme alla retta e al piano, uno degli enti fondamentali della geometria, la cui nozione intuitiva corrisponde all’idea di una posizione sulla retta, nel piano o nello spazio (si tratta cioè di una figura non scomponibile in parti e priva di dimensioni); nella geometria euclidea, la nozione, ...
Tag
  • CORRISPONDENZA BIUNIVOCA
  • COORDINATE PROIETTIVE
  • GEOMETRIA PROIETTIVA
  • SPAZIO PROIETTIVO
  • SPAZIO VETTORIALE
Altri risultati per omografia
  • omografia
    Enciclopedia on line
    In geometria, corrispondenza biunivoca senza eccezioni tra gli elementi (di solito i punti) che costituiscono due spazi proiettivi Pn e P′n aventi la stessa dimensione, la quale faccia corrispondere a forme di prima specie di uno di essi forme di prima specie dell’altro. È detta anche proiettività. Un’o. ...
Vocabolario
omografìa
omografia omografìa s. f. [comp. di omo- e -grafia]. – 1. Il fatto di essere omografo, di essere scritto nello stesso modo: un equivoco dovuto all’o. di due cognomi. 2. In matematica, in partic. in geometria, corrispondenza biunivoca senza...
omogràfico
omografico omogràfico agg. [der. di omografia] (pl. m. -ci). – Relativo a una omografia, o consistente in una omografia: corrispondenza o., lo stesso che omografia.
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