NUMERO

NUMERO (lat. numerus; gr. άειϑμος)

Matematica. - Nell'uso comune i numeri vengono adoperati:1. per indicare il posto occupato da un oggetto in una serie ordinata (esempio: il soldato, che nella fila occupa il posto numero 3; il giorno 7 del mese; ecc.); 2. per rispondere alla domanda: quanti oggetti in un gruppo?; 3. come rapporti di grandezze della stessa specie o misura dell'una rispetto all'altra (esempio: 3 metri, 25 minuti, ecc.).

I numeri presi nelle accezioni1. o 2. sono i numeri naturali: 1, 2, 3,..., rispettivamente concepiti come ordinali o come cardinali. Invece l'uso 3. conduce a un'estensione del concetto di numero per cui accanto ai numeri naturali (interi) s'introducono dapprima i numeri frazionari o fratti e poi gl'irrazionali. D'altra parte lo sviluppo dell'algebra ha portato anche altre estensioni del concetto di numero: i numeri relativi (negativi accanto ai positivi) in luogo dei numeri assoluti, e infine anche i numeri immaginarî e a più unità (v. immaginario).

La storia del concetto di numero comprende, da una parte, l'analisi critica del significato dei numeri naturali e dei principi che stanno a base dell'aritmetica, e d'altra parte l'analisi e la giustificazione delle diverse estensioni cui si è innanzi accennato.

Le definizioni del numero nell'antichità. - Le definizioni del numero che ci sono offerte nell'antichità classica si riferiscono sempre ai numeri naturali; non già che non si prendessero in considerazione, accanto agl'interi, anche i numeri fratti, bensì doveva sembrare ovvio che questi non costituiscono una specie nuova di numeri, ma rispondono a un computo in cui è cambiata l'unità (che diventa una parte aliquota della precedente); cosicché le questioni relative al concetto di tali numeii si riconducevano a questioni intomo al significato dell'unità.

Le definizioni che ci sono conservate riguardano sempre il numero cardinale. Talete di Mileto dava questa definizione, che avrebbe appreso dagli Egiziani: "numero è una collezione di unità", νονάδων σύστημα (Iambl., In Nicon. Ar. Introd., 10, 8-10). Questa definizione si ritrova presso i Pitagorici. Essa è anche presentata in forme diverse; per es., Moderato (neopitagorico dei tempi di Nerone) diceva: "numero è una progressione della pluralità, che comincia dall'unità e, regredendo, finisce all'unità" (Stob., Ecl., I, 8).

Eudosso di Cnido, nel sec. IV a. C., dice: "numero è una pluralità definita", πλῆϑος ὡρισμένον (Iambl., op. cit., 10, 17); Aristotele: "numero è una pluralità che si misura dall'unità" (Met., IX, 6); Euclide: "unità è ciò secondo cui ogni cosa è detta uno. Numero è una pluralità composta di unità" (Elem., VII, termine 2).

Queste definizioni sono sostanzialmente equivalenti, e si ritroveranno nella storia successiva delle matematiche fino ai nostri giorni. Ma conviene fermarsi su due punti essenziali. Anzitutto, l'unità è messa dai Greci fuori della serie dei numeri. Ragionevolmente, dice Aristotele, l'uno è riguardato non essere esso medesimo un numero, perché il principio della misura non si deve confondere con la cosa misurata (Met., XIII, 1). In secondo luogo, le discussioni che si fanno attualmente sulla natura o sul significato dei numeri hanno qualche riscontro in quelle dei pensatori greci sulla natura o sul significato dell'unità. La definizione affatto convenzionale che ne abbiamo trovata in Euclide sembra tradurre la volontà del matematico di portarsi sopra un terreno logico, fuori d'ogni controversia metafisica; ma questo stesso proposito suppone tutta una critica filosofica precedente.

Fino dai primi pitagorici si affaccia l'idea che il numero debba avere un significato più profondo di quello che accada nell'uso empirico di esso, quando numeriamo gli oggetti distinti che formano un gruppo, o le parti d'un tutto; e che, insomma, la divisione in parti, procedendo oltre il limite arbitrario o pratico dell'uso comune, debba fare capo a un limite indivisibile, che sia principio o elemento di tutte le cose, cioè unità o monade, in senso assoluto. Questa idea viene ad attribuire ai numeri un significato cosmico e si concreta in una teoria monadica della materia, per cui la materia stessa è concepita come riunione di punti estesi. Inoltre la stessa teoria implica anche una concezione delle figure geometriche come formate di punti (lo spazio essendo identificato con la materia). Tale costruzione pitagorica ha lasciato larga traccia negli sviluppi successivi del pensiero filosofico e matematico, sebbene la scoperta delle grandezze incommensurabili dovesse invalidarne la ipotesi fondamentale. Quando la critica eleatica ebbe riconosciuto il significato veramente razionale degli enti geometrici (e in specie la non estensione del punto), la concezione filosofica del "numero essenza delle cose" ebbe a subire, entro la scuola pitagorica, una evoluzione in senso idealistico. E quindi anche il concetto stesso dell'uno e del numero vennero ad assumere un significato ideale, dandosi risalto all'astrazione che separa il numero dalle cose numerate.

Così Platone (Repubblica, 525 c) vuole che la scienza dei numeri sia insegnata "non alla volgare maniera, occupandosene a scopo di compravendita, come mercanti e rivenditori, ma in guisa che l'intelligenza possa contemplare la natura dei numeri" ragionando "intorno ai numeri considerati in sé, e non accettando di ragionare, se altri ricorra a numeri associati a corpi visibili e tangibili".

I numeri (come le figure geometriche) diventano dunque "idee" o "forme", enti d'un mondo intelligibile che si pensa come una realtà fuori del pensiero e sovrapposta alla realtà sensibile.

Questa concezione (che rientra nella teoria platonica delle idee) sembra preparata dalle riflessioni dei pitagorici precedenti, per i quali - secondo Teone Smirneo (ed. Dupuis, p. 31) - "il principio di tutto ciò che è uno è la monade, di tutto ciò che è due è la diade, di tutto ciò che è tre è la triade, ecc."; e di cui Teone stesso spiega le vedute, dicendo che "l'unità è l'idea dell'uno intelligibile, che è indivisibile, ecc."; "l'uno è l'essenza dell'unità; è qualcosa di assoluto e d'immutabile; è definito, è termine, mentre le unità sono indefinite e indeterminate". Il riflesso metafisico di tali vedute si scorge nelle discussioni sull'uno-tutto del Parmenide platonico e nelle speculazioni dei neoplatonici.

I numeri nel Medioevo e nel Rinascimento. - Le definizioni del numero sopra riferite passano nelle scuole medievali attraverso Boezio, il quale dice: "numerus est unitatum collectio, vel quantitatis acervus ex unitatibus profusus" (Institutio Arith., ed. Friedlein, Lipsia 1867, p. 13). E l'unità è pur concepita da lui come ente incorporeo, indivisibile, ecc., conforme alle nozioni dei ncopitagorici e dei neoplatonici.

Ancora lo scrittore bizantino del secolo XI, Michele Psello, riprendeva da Teone e da altri neoplatonici le definizioni che si trovano nel Compendio del quadrivio: "omnium numerorum principium est unitas, innumerus fons numerorum. Est enim numerus multitudo ex unitatibus constituta".

Nemmeno si trova un concetto nuovo tra gli Arabi. Muḥammad ibn Mūsà, detto al-Khuwārizmī (v.) dice: "omnem numerum ah uno compositum esse inveni. Unus itaque inter omnes consistit numerus" (trad. di Gherardo Cremonese, in G. Libri, Histoire tlcs Sc. Math., nota XII al vol. I, p. 253).

Poco dopo (inizî del sec. XIII) Leonardo Pisano, nel Liber Abbaci (p. 2), definisce il numero "unitatum perfusa collectio, sive congregatio unitatum, quae per suos in infinitum ascendit gradus", facendo così esplicito accenno all'infinità della serie dei numeri.

Frattanto si ravviva, alla fine del secolo, lo studio d'Euclide, che G. Campano da Novara traduce dall'arabo e a cui dedica il primo commento. Al libro VII sono premessi alcuni principî generali che, secondo il commentatore, costituirebbero gli assiomi e i postulati della scienza dei numeri. Gli assiomi portano che: la parte è minore del tutto; equimultipli di numeri eguali sono eguali e viceversa; l'unità è parte d'ogni numero, e questa parte prende nome dalle quantità di unità da cui il numero è formato; ogni parte è tanto minore, quanto più grande è il numero da cui prende nome, e viceversa; se un numero ne divide un altro, divide anche ogni suo multiplo; se un numero ne divide altri due, divide anche la loro somma e la loro differenza.

I postulati di Campano sono quattro: di qualsiasi numero si possono prendere quanti si vogliano numeri eguali o multipli; dato un numero qualsiasi, se ne può prendere un altro che lo superi di quanto si vuole; la serie dei numeri è infinita; nessun numero può essere diminuito all'infinito.

Non è il caso di arrestarsi a criticare la scelta di questi principî, che da una parte non enunciano affatto le proprietà elementari dei numeri, e d'altra parte involgono inutili ripetizioni; ma è interessante il rilievo dato all'ultimo postulato, di cui l'antore si vale nella dimostrazione dell'irrazionalità della sezione aurea, anche perché questo postulato di Campano ha acquistato importanza nelle ricerche critiche più recenti.

Per analogo motivo conviene segnalare la scoperta del principio d'induzione completa, di cui Euclide fa uso soltanto implicito (Elem., IX, prosa 8, 9) e che è stato messo in esplicito rilievo da F. Maurolico nella prefazione agli Arithneticorum libri duo (Venezia 1575), come è stato notato da G. Vacca. Si tratta del principio logico per cui, argomentandosi da n a n +1, si conclude che una proposizione è valida per tutti i numeri quando sia stabilita per i primi e si riconosca che dal valere fino al numero n segue che essa vale ancora per n + 1. Maurolico verifica, in generale, la cosa per i primi cinque numeri e quindi soggiunge "et argumentatio a quinto loco ad alia quaevis loca transfertur ad conclusionem propositi".

Numeri astratti e numeri concreti. - Pure adottando la definizione del numero data da Euclide, i matematici del Rinascimento richiamano volentieri l'antica distinzione pitagor; co-platonica fra unità e numeri concreti e astratti. Così N. Tartaglia (General Trattuto di Numeri e Misure, Venezia 1556, carte 1-2): "Bisogna avertire che sopra al numero vi son quelle medesime due sorte di considerationi, dette sopra delle unità, cioè una secondo il Naturale e l'altra secondo il mathematico. Il Naturale considera il detto numero sì secondo la ragione come secondo l'essere, congionto con quelle materie sensibili numerate...; ma il Mathematico poi considera il detto numero sì come una moltitudine composta da unitade mathematice, cioè astratte da ogni materia sensibile".

Tuttavia qui appare una differenza interessante. Considerare i numeri come "astratti da ogni materia sensibile secondo la ragione" non significa ritornare alla veduta ontologica dell'ideologia platonica: non invano è passata la controversia del nominalismo contro il realismo nelle scuole medievali.

Anche più esplicitamente il significato dell'astratto come puro prodotto del pensiero è affermato dal Descartes: (Principm philosophiae naturalis, VIII, Parigi 1905, p. 27): "Ita etiam cum numerus non in ullis rebus creatis, sed tantum in abstracto, sive in genere consideratur, est modus cogitandi dumtaxat; ut et alia omnia quae universalia vocamus... Ita cum videmus duos lapides, nec ad ipsorum naturam, sed ad hoc tantum quod duo sint attendimus, formamus ideam eius numeri quem vocamus binarium; cum postea duas aves, aut duas arbores videmus...; repetimus eandem ideam quam prius, quae ideo est universalis; ut et hunc numerum eodem universali nomine binarium appellamus" (I, nn. 58-59).

Con questi chiarimenti i concetti dell'unità e del numero vengono spogliati, per i matematici, da ogni significato metafisico. Sotto l'influenza della filosofia empirica inglese dei secoli XVII e XVIII prevale anzi la considerazione dei numeri concreti; l'unita diventa una cosa materiale, sola o considerata come sola. Questa veduta appare nei più diffusi trattati, per esempio in Adriano Mezio: "unitas vero est qua unumquodque dicitur unum, sive id corporeum, sive incorporeum fuerit ut unus angulus, unum animal, unus lapis..." (Arithmetica, 1624 e 1640, p. 1); A. G. Kastner: "Numero intero è una moltitudine di cose della stessa specie" (Anfangsgrùnde der Arithmetik, 1758, p. 21); F. Soave: "Unità vuol dire una cosa sola o considerata come sola, per es., un uomo, un cavallo..." (Elementi di aritmetica, 1786).

Queste definizioni empiristiche si ripetono in trattati del secolo XIX: p. es., in G. Novi, R. Baltzer, J. A. Serret, ecc. Si vedrà più innanzi , in qual senso, nella critica dei principî dell'aritmetica si farà valere di fronte alla concezione empirica la veduta razionalistica.

Estensioni del concetto di numero. - I costruttori delle matematiche moderne mentre accolgono, come abbiamo visto, il concetto tradizionale del numero intero, portano invece nuove idee per ciò che concerne le sue diverse estensioni, in rapporto agl'interessi dell'analisi e della meccanica. Il concetto dei numeri assoluti (positivi) si generalizza in quello dei numeri relativi, con l'introduzione dei negativi; il concetto del numero fratto, che si usa nella misura delle grandezze, viene esteso con l'introduzione degli irrazionali.

I numeri negativi sembrano trarre origine dal progresso formale del calcolo algebrico. Già nel periodo ellenistico Diofanto ha occasione di osservare che nello sviluppo del prodotto (a − b) (c − d) si deve porre (− b) (− d) = + (bd), e d'altra parte il matematico indiano Brahmagupta (sec. VI d. C.) porge alcune regole pratiche per l'addizione di crediti e debiti. Ma tracce più definite d'un vero Bhāskarā (nato nel 1114), che distingue il valore positivo e negativo della radice quadrata e scrive indifferentemente, in una somma, i numeri negativi prima dei positivi. Dagl'Indiani sembra provenire quel che sui numeri negativi viene portato all'Europa dagli Arabi.

I numeri negativi appaiono in Europa nei secoli XV e XVI, presso L. Pacioli, N. Chuquet, G. Cardano, M. Stifel. Siccome questi matematici si riferiscono al concetto del numero cardinale mentre i numeri negativi hanno significato naturale soltanto nell'uso ordinale, così essi non esitano a ritenerli aestimationes falsae nut fictae o numeri surdi. Ma è notevole l'uso che lo Chuquet insegna a farne come esponenti: l'introduzione delle potenze a esponente negativo, che fa seguito a quella degli esponenti fratti di N. Oresme, si trova nella sua Triparty en la science des nombres (1484).

Un uso più libero dei numeri negativi ricorre in Th. Harriot (1600) e in R. Descartes (Géométrie, 1637), che con la rappresentazione analitica dei punti del piano prepara la più larga interpretazione estensiva dei numeri ordinali, come ascisse, che determinano i segmenti orientati in versi opposti, sopra la retta. Quindi I. Newton afferma esplicitamente: "Quantitates vel affirmativae sunt, seu nihilo maiores, vel negativae, seu nihilo minores. Sic in rebus humanis possessiones dici possunt bona positiva, debita vero bona negativa. Et ad eundem modum in Geometria, si linea versus quamdam plagam quamvis ducta affirmativa habeatur, negativa erit quae versus plagam oppositam ducitur".

Già qui, e più largamente nella stessa scuola di Newton con C. Maclaurin, e in Francia con S.-F. Lacroix e con A.-L. Cauchy, i numeri relativi appaiono, dunque, non solo come "quantità orientate", sì anche come "quantità da aggiungere o da togliere", o, per usare il linguaggio dei logici contemporanei, come "operatori".

Quanto ai numeri irrazionali, giova ricordare che la scoperta di segmenti (o grandezze) incommensurabili risale ai Greci (v. incommensurabile), che svilupparono anche una completa teoria dei rapporti, la quale si attribuisce a Eudosso di Cnido ed è esposta nel libro V di Euclide. Tuttavia per i Greci i rapporti d'incommensurabili restarono sempre distinti - e quasi contrapposti - ai numeri.

È difficile fissare il momento in cui a codesti rapporti si è cominciata a estendere la denominazione di "numeri". Verosimilmente questo passo è in relazione con la decadenza dello spirito di rigore, che tende a sostituire la veduta del rapporto esatto con un numero conveniente approssimato. Certo è che presso Gherardo di Cremona (1114-1187) si trova l'espressione numeri irrationales. mentre Leonardo Pisano (nel Liber Abbaci del 1202) parla degli stessi numeri come numeri ficti e numeri surdi (presumibilmente traducendo con quest'ultimo termine l'arabo aṣamm, applicato per l'appunto dai matematici arabi a designare le radici irrazionali): l'aggettivo vuol smentire il sostantivo, ma prepara le menti ad accoglierlo in un senso più esteso.

Più tardi M. Stifel (nell'Arithmetica integra, 1544), a proposito delle teorie del libro X di Euclide, riprende il nome di numeri irrationales, e aggiunge la veduta che questi numeri occupino un posto nella serie ordinata dei numeri, preludendo così alla teoria ordinale di R. Dedekind (v. sotto).

Con Descartes compare l'uso d'indicare i rapporti di grandezze con una semplice lettera, su cui si calcola come sui numeri. Newton dirà esplicitamente: "Per numerum non tam multitudinem unitatum, quam abstractam quantitatis cuiusvis ad aliam eiusdem generis quantitatem, quae pro unitate habetur, rationem intelligimus. Estque triplex: integer, fractus et surdus. Integer quem unitas metitur, fractus quem unitatis pars submultiplex metitur, et surdus cui unitas est incommensurabilis". Che effettivamente le operazioni sui rapporti si possano ritenere come operazioni su "numeri", soddisfacenti alle medesime proprietà formali, è stato dimostrato rigorosamente assai più tardi, per es., da J. -M. -C. Duhamel e da H. G. Zeuthen. C'è qui un'esigenza logica che doveva essere sollevata soltanto nel periodo critico, apertosi col sec. XIX.

Revisione critica del concetto delle matematiche nel sec. XIX. - Il sec. XIX porta una revisione critica di tutti i concetti e i principî delle matematiche, la quale s'inizia, da una parte, con la ricerca del significato empirico dello spazio e con lo sviluppo della geometria non euclidea (G. Saccheri, C. F. Gauss, N. I. Lobačevskij, J. Bólyai, B. Riemann, H. Helmholtz, ecc.) e, d'altra parte, con l'affinamento logico dei metodi che costituiscono l'analisi infinitesimale.

C'è in questo movimento una reazione alla tesi di Kant, che ritiene spazio e tempo come forme a priori della sensibilità, conferendo valore necessario e rigoroso ai relativi assiomi. In contrapposto a questa tesi si riconosce nell'ordine spaziale una realtà fisica: non già un ordine delle cose in sé, come era apparso a Leibniz, ma un ordine delle cose sensibili; e si solleva, per la prima volta, il dubbio sulla validità assoluta dei principî della geometria, chiamandone a giudice l'esperienza.

Tali vedute essendo accettate anche da matematici filosofi, il cui pensiero si accosta al criticismo kantiano, l'a priori viene per questi ridotto al puro tempo (o alla successione temporale, intuizione fondamentale della vita del nostro pensiero), da cui si fa dipendere la nozione dei numeri naturali (W. Hamilton). Così la scienza dei numeri - che è l'aritmetica - viene concepita a priori e sciolta da ogni legame con la geometria e con i suoi postulati, attinenti all'esperienza. Ispirandosi a siffatti criterî, la scuola di Berlino, nell'ultimo quarto del secolo XIX, promuove l'aritmetizzazione delle matematiche, da cui derivano come conseguenza:

1. le teorie analitiche dei numeri fratti, negativi, irrazionali, che riconducono al semplice concetto dei numeri naturali tutti i numeri reali;

2. l'esame più profondo degli assiomi che stanno a base dell'aritmetica dei numeri naturali.

Teorie analitiche dei numeri negativi e fratti. - In varî modi si possono ricondurre ai numeri interi naturali (assoluti) la definizione dei numeri interi negativi e quella dei numeri fratti. Rispondono all'uopo la teoria delle coppie, la teoria degli operatori e quella delle congruenze. La prima teoria si riattacca a H. Hankel (1867) ed è stata sviluppata da O. Stolz (1885) e da J. Tannery (1886), ripresa poi, con lievi varianti, da diversi logici matematici (B. Russell, A. Padoa, E. Maccaferri, ecc.). I numeri relativi a − b si lasciano definire in funzione della coppia (a, b), quando si convenga di ritenere eguali due coppie (a, b) e (c, d) per cui sia

Il concetto astratto della coppia, in rapporto a codesta eguaglianza, porge appunto il numero relativo a − b. Le operazioni sui numeri relativi si definiscono mediante le formule

provando che se è

si ha anche

In modo simile si svolge la teoria delle coppie per le frazioni. Qui si assumono eguali due coppie (a, b) e (c, d) per cui sia ad = bc. La frazione a/b è il concetto astratto della coppia (a, b) in rapporto all'eguaglianza sopra definita. Sarà, in specie, a/b = ar/br. La somma e il prodotto delle frazioni vengono definite dalle formule

dove occorre provare che se è

anche

In luogo che come "coppie", o meglio come "rapporti (aritmetici o geometrici) di coppie", i numeri relativi e fratti si possono introdurre analiticamente come "operatori" su numeri convenienti. Quest' idea prende forma con Ch. Méray (1889), che ha riguardato appunto le frazioni come "fattori fittizî", e l'anno appresso ha esteso lo stesso concetto ai numeri relativi. Più tardi l'idea è stata accolta e sviluppata da G. Peano e dalla sua scuola. Ecco come si procede. I numeri relativi s' introducono come "numeri da sommare e da togliere da numeri naturali sufficientemente grandi". Così, dopo aver osservato che, per x abbastanza grande, esiste sempre x + a − b, si pone, per definizione,

e quindi

se

Qui occorre avvertire che l'eguaglianza sopra scritta per un certo x ha per conseguenza

per qualunque y che renda possibili le operazioni indicate; e la condizione di eguaglianza si traduce in

Come si vede, lo sviluppo della teoria riporta alla teoria delle coppie: le dimostrazioni da dare sono le stesse, ma le definizioni di somma e prodotto vengono qui spogliate del loro carattere artificioso; invero anche la definizione del prodotto riesce condizionata dal postulare la proprietà distributiva rispetto alla somma. Un procedimento analogo vale per definire come operatori le frazioni: si definisce a/b mediante il prodotto x.a/b = xa/b, nell'ipotesi che xa sia divisibile per b.

Finalmente accenniamo all'interpretazione dei numeri relativi e fratti in ordine alle congruenze. Quest'idea è stata sviluppata da L. Kronecker (1887), il quale, del resto - valendosi dell'introduzione delle indeterminate dovuta a C. F. Gauss - non ha fatto che riprendere una veduta affacciata da A. -L. Cauchy per l'immaginario (1847). Nota dunque il Kronecker che l'eguaglianza di due numeri relativi

ehe porta

si riduce alla congruenza

e così il numero relativo a - b si può surrogare con a + bx, considerato rispetto al modulo x + 1.

In modo analogo si interpretano le relazioni di eguaglianza delle frazioni, sostituendo l'unità frazionaria 1/b, con una indeterminata e ponendo al posto di a./b l'espressione ax considerata rispetto al modulo bx -1.

Teorie analitiche dei numeri irrazionali. - A differenza dei numeri razionali, la cui definizione importa solo un numero finito di numeri interi (anzi 2 soli), la definizione dei numeri irrazionali porta necessariamente alla considerazione di un'infinità di interi. Tuttavia essa può essere svolta in maniera puramente analitica in rapporto ai principali algoritmi del calcolo approssimato: serie, frazioni continue, valutazioni comunque progredienti per difetto e per eccesso. In questo senso si hanno le teorie di K. Weierstrass, di G. Cantor e di G. Peano. Ma la teoria più perfetta, che traduce in forma analitica l'antica dottrina dei rapporti d'Euclide, è quella di R. Dedekind, per cui i numeri irrazionali (e in generale i numeri reali) vengono definiti come numeri ordinali, secondo il posto che essi occupano nell'insieme ordinato dei numeri razionali, cioè come "sezioni".

Il Dedekind parte dall'osservazione che il rapporto A : B tra due grandezze (per es., due segmenti) incommensunbili (v. incommensurabile) dà luogo a dividere le frazioni nt/n i in due classi: quelle per cui m/n 〈 A : B e quelle per cui m/n > A : B. Il rapporto irrazionale risponde così a una sezione nel campo delle frazioni m/n, cioè a una partizione di queste in due classi tali che ciascuna frazione della prima classe sia inferiore a ciascuna frazione della seconda (mentre tutte le frazioni sono contenute o nell'una o nell'altra classe).

Questa partizione definisce il numero irrazionale; e le regole con cui si opera sui rapporti (corrispondenti alle proprietà formali del calcolo algebrico) si traducono quindi in regole di formazione delle classi che rispondono alla somma e al prodotto di due numeri irrazionali.

Il Dedekind insiste sul fatto che la definizione così data del numero irrazionale si basa su una convenzione arbitraria, laddove l'esistenza di una grandezza (per es., di un segmento), che abbia per misura un dato irrazionale, richiede un vero postulato: quello che egli stesso ha introdotto sotto il nome di "postulato della continuità" (v. continuità).

Qui conviene aggiungere che, qualora si modifichi la nostra nozione abituale della continuità della grandezze, lasciando cadere il postulato d'Archimede che ne dipende, si presentano "sistemi di giandizze non archimedee" e quindi numeri non archimedei, tra i quali si trova l'infinito e l'infinitesimo attuale. La costruzione di siffatti numeri è stata data, per la prima volta, da G. Veronese (1891) e poi, in maniera già chiara e puramente formale, da T. Levi-Civita (1893) e da D. Hilbert (1899).

I numeri naturali ordinali e il principio d'invarianza del numero. - In confronto alle teorie formali che riconducono il concetto dei numeri in senso esteso ai numeri interi naturali, ha valore filosofico più profondo l'analisi del significato di questi numeri.

Si distinguono, come già notammo, due sensi del numero naturale: come numero cardinale - numero degli oggetti di una classe -, e come numero ordinario - numero d'ordine di un oggetto in una successione -. I matematici della scuola di Berlino ritengono che il numero ordinale sia psicologicamente acquisito prima del numero cardinale, e anzi che l'idea che ci formiamo del numero degli oggetti di una classe derivi dal contare, che è disporre gli oggetti medesimi in una successione ordinata: per qualunque ordinamento, il posto occupato dall'ultimo oggetto contato sarà sempre il medesimo. C'è, qui, un principio da giustificare, cui E. Schröder (1873) ha dato nome di principio d'invarianza del numero. Il Kronecker (1887) introduce esplicitamente questo principio come un postulato per la classe dei numeri 1, 2, 3, 4,...; Il Helmholtz (1887) ritiene di darne la dimostrazione, facendo appello alla possibilità di ottenere con successive trasposizioni qualunque sostituzione sopra n lettere; dove, in verità, egli usa implicitamente un altro principio che dovrebbe pure essere giustificato, cioè il principio d'induzione. Il punto critico della questione sta in ciò: che la deduzione del principio d'invarianza del numero deve far capo alla nozione della classe finita, escludendo l'ipotesi di classi costituite da un numero infinito di elementi. Una classe deve dirsi finita quando i suoi elementi possono disporsi in un ordine perfetto, cioè tale che un suo qualsiasi sottogruppo di elementi possegga sempre un primo e un ultimo elemento. Allora si dimostra rigorosamente (con J. Rey-Pastor e F. Enriques) che tutti i possibili ordinamenti della classe sono egualmente perfetti e che per ciascuno di essi gli ultimi elementi hanno sempre egual posto; ed è questo il principio d'invarianza dello Schröder.

I numeri e l'infinito. - La critica del concetto di numero, cui si è innanzi accennato, muove dalle idee critiche ed empiriche, accolte in generale dai matematici della scuola di Berlino: Weierstrass, Kronecker, Helmholtz. Il senso di quella critica è invero di mettere in evidenza le esperienze psicologiche elementari e i principî secondo cui la nostra mente trae, dai gruppi di oggetti sensibili, la nozione del loro numero.

Ma di fronte a questa posizione altri pensatori matematici, ispirati al razionalismo, si sono posti il problema in forma diversa, tenendo presenti alla mente, non già i gruppi di oggetti sensibili, bensì gruppi di enti quali si vogliano, comunque pensabili, che possano essere egualmente finiti o infiniti.

La teoria degli insiemi elaborata da G. Cantor (v. insieme) ha appunto il significato di una critica assolutamente generale e razionale dei principî dell'aritmetica. Il Cantor mostra che, lasciata cadere l'ipotesi restrittiva del finito, i numeri naturali dànno luogo a due diverse estensioni: come ordinali e come cardinali. Come ordinali trasfiniti vi è luogo a definire i numeri d'ordine degli elementi in una successione bene ordinata, cioè tale che per ogni suo sottogruppo esista sempre un primo elemento; ed è notevole che la proprietà del buon ordinamento si riduca insomma al postulato che "ogni gruppo di numeri ammette un minimo", che vedemmo già riconosciuto da N. Campano. Per i cardinali infiniti (o potenze di insiemi) vi è luogo a considerare una serie di infiniti di grado crescente, in cui il primo grado è occupato dagli insiemi numerabili.

Sorge quindi il problema di definire i numeri naturali nel quadro dei numeri più generali (comunque infiniti); e a questa domanda si legano poi i dibattiti dei logici-matematici contemporanei intorno alla natura puramente logica dei principî dell'aritmetica (G. Frege, B. Russell) o alla dimostrazione logica della compatibilità dei suoi assiomi (D. Hilbert).

Per un aspetto, almeno, queste ricerche critiche hanno condotto a un risultato matematico positivo: da esse infatti la teoria dei numeri naturali ordinali riesce chiarita nei suoi principî, specialmente ad opera di H. Grassmann, R. Dedekind e G. Peano.

Se si considera, con un'estensione comunque grande, la serie dei numeri ordinali (comprendente i trasfiniti), la serie dei numeri ordinali finiti (numeri naturali) risulta la minima serie infinita che sia contenuta in essa: per codesta serie (minimo infinito ordinale) il principio d'induzione (v. induzione) esprime una proprietà che il Dedekind dà come teorema, e che il Peano riprende come postulato o definizione, atta ad escludere l'esistenza dei trasfiniti. Quindi lo sviluppo algoritmico delle operazioni aritmetiche riceve uno sviluppo formale assai semplice ed elegante, a partire da un sistema di definizioni induttive, secondo la via indicata dal Grassmann.

Non possiamo indugiarci sulle varianti o sui perfezionamenti, che hanno subito queste teorie, e tanto meno sulle innumerevoli questioni cui esse hanno dato luogo. Ma ci limiteremo a indicare un contributo notevole che alla critica di esse ha recato M. Pieri (Sugli assiomi dell'Aritmetica, in Atti Acc. Gioenia, Catania 1908), notando che il postulato d'induzione si può dedurre dal postulato di Campano (buon ordinamento della serie dei numeri), quando vi si aggiunga la proposizione che "ogni numero, salvo il primo, ha un precedente ben determinato".

Bibl.: Trattazioni generali: F. Enriques, I numeri reali, in Questioni riguardanti le matematiche elementari, I, Bologna 1924; D. Gigli, Aritmetica generale, in Enciclopedia delle matematiche elementari, I, Milano 1930. - Per notizie storico-bibliografiche: E. Bortolotti, Definizioni di numero, in Period. di mat., 1922; A. Natucci, Il concetto di numero e le sue estensioni, Torino 1923. - Fra le innumerevoli trattazioin speciali basterà ricordare: Gli elementi di Euclide e la critica antica e moderna, pubblicati per cura di F. Enriques, V-IX, Bologna s.a. (1930); R. Dedekind, Essenza e significato dei numeri. Continuità e numeri irrazionali, trad. e note storico-critiche di O. Zariski, Bologna s.a. (1926). Si veda inoltre la bibliografia della voce insieme.

Grammatica.

Numero è una categoria grammaticale che oppone nelle lingue moderne l'unità alla pluralità: un cane con desinenza -e, molti cani con -i; egli ama con desinenza -a, essi amano con desinenza -ano. Categoria comune al nome e al verbo, ma, come mostrano gli esempî citati, morfologicamente indipendente in ciascuna delle, due classi. In francese la distinzione del numero è ridotta in gran parte a valore grafico all'interno della parola: chien, chiens; aime, aiment. Essa viene sostituita dalla differenza dell'articolo le, la al singolare, les al plurale; e, nel verbo, possibilmente dal pronome: il aime, ils aiment. In inglese invece, il plurale è validamente indicato nel nome dalla desinenza -s che ha una portata internazionale e viene talvolta introdotta anche in italiano: films, sports. Ma questa vitalità del plurale inglese per mezzo di una aggiunta, in confronto dell'italiano in cui si ha sostituzione di desinenze, mostra uno sviluppo ulteriore, assai lontano dall'equilibrio originario, nel quale singolare e plurale compaiono come le due facce di uno stesso oggetto. Solo i pronomi personali in tutte queste lingue rappresentano la differenza di numero con mezzi semantici e non morfologici: io, noi; tu, voi.

L'unità e la pluralità, che solo costituiscono oggi la categoria del numero, sono il risultato di un procedimento storico che ha avvicinato e in gran parte confuso tre ordini di differenze: l'opposizione di numeri determinati: un cane, due cani, tre cani; l'opposizione di individuale o "singolativo" e di collettivo: la parola comprende parecchie sillabe, la parola efficace dell'oratore; l'opposizione fra ciò che è interno all'io e ciò che appartiene all'esterno, al non io: amo proprio soltanto dell'io, amiamo comune all'io e a una parte del non io.

L'opposizione di numeri determinati acquista risalto dalla nota persistenza del numero duale in greco: questo non rappresenta senz'altro il numero determinato due, ma più propriamente la coppia: perciò per tradurre gli occhi basta dire ὄσσε, perché si tratta di una coppia, per tradurre due dei occorre dire δύο ϑεώ col numerale. Dunque il duale greco rappresenta, oltre che un'opposizione aritmetica, anche un'opposizione di singolativo e collettivo. Alcune lingue dell'Australia sud-orientale hanno singolare, duale, triale, plurale: nelle Nuove Ebridi si trova addirittura singolare, duale, triale, quattrale, plurale. Ma la struttura grammaticale delle forme fa apparire come primitiva l'opposizione di singolare e plurale: i "numeri" secondarî sarebbero dei derivati del plurale, rappresenterebbero un processo di arricchimento opposto a quello d'impoverimento delle lingue indoeuropee. Rimane aperto il problema se in ambienti in cui la numerazione regolare si arrestava a tre, e la differenza dei tre numeri era eminentemente differenza di qualità, questa triplice distinzione della numerazione non poteva riflettersi in una triplice distinzione del "numero" grammaticale.

L'importanza della distinzione di "singolativo" e "collettivo" dal punto di vista grammaticale risalta invece in forma negativa. Le lingue indoeuropee formavano il plurale soltanto delle parole indicanti esseri animati: le parole indicanti esseri inanimati distinguevano un singolare e un collettivo che aveva la desinenza in -a. Sicché l'opposizione di iugum e iuga non era in origine opposizione di singolare e di plurale, ma di singolare singolativo e di singolare collettivo. Questi nomi in -a sono stati per tutto il tempo della latinità considerati veri plurali: ma nello svolgimento ulteriore, la categoria dei nomi dal singolare in -a li ha attratti di nuovo, e noi abbiamo collettivi come la frutta o la legna senza pensare che con questo siamo ritornati a uno stato di cose antichissimo. L'opposizione di singolativo e collettivo ricompare in italiano attraverso forme diverse di plurale: le braccia, le membra (collettivi), i bracci di mare, i membri di un'accademia (singolativi). Ma un'espressione morfologica questa opposizione non la raggiunge più. Inconvenienti formali nascono così quando si hanno dei nomi numerali collettivi: un milione di uomini perì o perirono impone la scelta fra due forme verbali che rendono il singolare o il plurale, non si adattano a indicare il collettivo.

Il numero, come elemento morfologico, è inoltre strumento di differenziazione affettiva. Quando un autore, parlando di se in un libro, usa il plurale, intende attenuare la propria personalità, sommergere in qualche modo il suo io in una pluralità: come abbiamo detto nel capitolo precedente rispetto a, come ho detto. Ma il plurale in luogo del singolare può anche avere lo scopo di accentuare l'affettività dell'espressione, anche se questa, codificata da un uso secolare, assume l'aridità di una formula: è il caso del plurale di maestà che compare nella formula classica abbiamo decretato e decretiamo. Qui il plurale non sommerge, ma assomma nel capo le singole individualità del suddito. Di nuovo come moderatore della intensità affettiva compare il plurale nelle formule più o meno di cortesia con cui ci si rivolge alle persone: il voi dell'italiano, dei francese, dell'inglese, il loro del tedesco. Se, per svolgimento storico particolare, in una data regione, il valore del plurale si è trasformato per indicar soggezione o si è sdoppiato indicando insieme altezza e sottomissione dell'interpellato, come è il caso del voi italiano nelle espressioni voi sire al re e passate alla prigione alla recluta, questo esorbita dalla categoria del numero e rientra nel continuo fabbisogno di forme, proprio di quelle parti della morfologia, logorate dall'incessante pressione degli elementi affettivi.

Numeri indici semplici e composti.

I numeri indici sono valori statistici che modernamente si sostituiscono talora ai dati risultati dalla rilevazione per rendere più evidenti le variazioni subite dalla frequenza di un fenomeno collettivo attraverso intervalli di tempo o nella successione di istanti, o fra diverse zone o fra diverse sezioni della massa di casi oggetto d'indagine. I numeri indici si formano generalmente istituendo dei rapporti aritmetici fra i dati rispetto a cui si svolgono le comparazioni. I rapporti, abitualmente, si moltiplicano per 100 o per altra potenza di 10. Se si tratta dello studio cronologico di un fenomeno, la serie dei numeri indici si forma mettendo in rapporto le singole cifre annuali con la cifra propria dell'anno iniziale o con la cifra di un altro anno avente particolare importanza o significato storico (p. es., 1913 o 1919) o con la cifra media di un gruppo di anni. Il termine costante di confronto è detto "base della serie" e assume in questa l'entità di 100 (o altra potenza del 10).

È riprodotta, a titolo esemplificativo, dal Compendio statistico per l'anno 1932 (edito dall'Istituto centrale di statistica del regno d'Italia) una tabella contenente dati indicanti, per alcune cause di morte, il numero medio annuale (per ciascun triennio dal 1887-89) dei casi per milione di abitanti. I dati sono tradotti in numeri indici aventi per base il triennio iniziale.

La frequenza dei casi di morte ha variato assai diversamente, attraverso il quarantennio, a seconda delle cause. La nozione di questa diversità dinamica si presenta molto più evidente quando si considerano le serie dei numeri indici.

La scelta della base ha naturalmente grande importanza: essa dipende dal fine che si propone lo statistico; se, p. es., giova considerare il fenomeno in confronto con l'entità assunta alla vigilia della guerra mondiale, si adotta la base 1913. Se il fenomeno subisce spostamenti sensibili in vario senso nei successivi anni, conviene l'adozione di una media poliennale anziché di un dato annuale.

Col decorrere del tempo può accadere che convenga sostituire una base a un'altra. P. es., per i casi di morte, il costante riferimento al remoto triennio 1887-89 potrebbe oramai risultare privo d'interesse: potrebbe convenire fare invece riferimento al triennio immediatamente precedente la guerra mondiale; all'uopo è sufficiente dividere gl'indici calcolati secondo la vecchia base (1887-89) per l'indice proprio del triennio di nuova base (1911-13), moltiplicando il risultato per 100. Per il fenomeno considerato nell'ultima colonna (quello dei suicidî) si dividono gl'indici della serie contenuta nella tabella per 168 e si ha senz'altro la nuova serie seguente:

Invece di formare numeri indici con una data base fissa costante, si possono formare numeri indici a base mobile, per i quali il rapporto per ciascun termine della serie è formato col termine immediatamente precedente, quale confronto che spesso presenta il massimo interesse. Di nuovo, rispetto ai suicidî, si ottengono gl'indici a base mobile seguenti:

Simili indici riescono specialmente appropriati rispetto a fenomeni la cui dinamica abbia uno svolgimento periodico: questi indici pongono in evidenza le fasi in cui il fenomeno subisce incrementi o decrementi variamente sensibili, lungo i successivi cicli. Tali indici sono adattabili alle varianti convenienze del calcolatore, in quanto moltiplicandoli successivamente fra loro si trasformano in indici a base fissa. Così, ad es., moltiplicando fra loro 90 e 107 (gl'indici a base mobile per gli anni 1929 e 1930) e dividendo il prodotto per 100 si ha l'indice 96 per l'anno 1930, secondo la base 1926-28: secondo tale base, gl'indici per gli ultimi tre termini della serie diventano 100, 90, 96. Una simile trasformazione in indici a base fissa, si può operare quando che sia, anche soltanto per una parte dei termini.

La formazione di numeri indici si presenta vantaggiosa quando si costruiscono più serie attinenti a sezioni o modalità di un fenomeno o a più fenomeni, con l'intento di comparare il rispettivo andamento attraverso il tempo (o lo spazio). Tale è il caso esemplificato, rispetto alla frequenza dei casi di morte, per alcune cause aventi speciale importanza. La tabella mette in grande evidenza la graduale diminuzione della mortalità per difterite e per malaria; la scomparsa di quella per pellagra; l'andamento prevalentemente crescente nei decessi per mali cardiaci; la frequenza quasi costante delle morti accidentali, salvo le accentuazioni determinate da cataclismi naturali; la tendenza declinante nei casi di omicidio, con qualche accentuazione occasionata da turbamenti politico-sociali; si palesa infine quanto siano divenuti più frequenti i suicidî, poiché sul finire del quarantennio i numeri indici si aggirano sul livello di 200.

I complessi di serie di numeri indici devono essere formati con uniformità di criterî rispetto ai dati statistici per cui si devono calcolare gl'indici, rispetto alla scelta della base, ecc., così da rendere significativi, logici, agevoli i confronti.

I complessi di indici possono essere formati anche rispetto a fenomeni dissimili fra loro, ma tali che, considerati unitamente, sistematicamente nel loro svolgimento dinamico, possano dare la nozione delle variazioni che avvengono in una "situazione", in uno "stato". Così, ad es., possono essere formati dei complessi di serie di numeri indici destinati a seguire le variazioni nel grado di benessere economico di una popolazione, nel generale movimento degli affari in un mercato, nello stato di civiltà di un paese, nel grado di cultura di una classe sociale o di una popolazione. In questi casi può accadere che si considerino contemporaneamente indici relativi a decine di fenomeni. Talora questi indici non sono tutti univoci: p. es., nello studio sulla dinamica nel benessere economico, l'incremento nella produzione industriale e l'incremento nel numero dei fallimenti o nei protesti cambiarî, non hanno analogia di significato; così ancora nello studio sulla condizione di una popolazione nei rispetti morali si presenta discordanza di significato fra indici che segnano fra un anno e un altro incremento nella entità delle elargizioni benefiche e quelli che segnano incremento nella delinquenza o nei suicidî. In simili casi, rispetto ai fenomeni per cui la variazione positiva ha significato antitetico a quello della generalità degli altri, gl'indici devono essere computati, non già rispetto ai dati assoluti, ma ai loro reciproci.

I varî fenomeni raffigurati dai singoli indici costituenti un "complesso" sono talvolta legati da vincoli più o meno rigidi di successione cronologica nelle variazioni. Le serie d'indici, tradotte graficamente in curve, mostrano "sequenze" nei movimenti di ascesa e di discesa: talora si formano delle onde che si susseguono, spesso con diversa lunghezza e diversa altezza. Quando l'esperienza del passato mostra l'esistenza di una certa regolarità in queste sequenze, e finché dura tale regolarità, la considerazione contemporanea delle varie curve può addurre a previsioni sul futuro svolgimento di certi fenomeni: le variazioni che avvengono per prime sono sintomi premonitori rispetto a quelle che abitualmente susseguono. Una tale funzione previsiva hanno qualche volta esercitato taluni degli indici utilizzati per lo studio dell'andamento del movimento degli affari: qualche volta, si è constatata una certa successione di movimenti nelle curve raffiguranti lo svolgimento del mercato finanziario, in confronto con quelle relative al mercato monetario e poi con quelle relative al mercato delle merci; ma questa utilizzazione dei confronti fra le curve a scopo previsivo non è sempre sicura perché, data la grande variabilità attraverso il tempo del sistema causale dei fenomeni economici, sequenze che si ravvisino lungo un dato intervallo di tempo possono non verificarsi più posteriormente (v. barometro economico).

Talora lo studio sintetico della dinamica di fenomeni complessi si basa non soltanto sul semplice accostamento e confronto di più serie di numeri indici, ma sulla formazione di un'unica serie riassuntiva. In tal caso alle serie di indici singoli fa riscontro una serie generale di indici composti. Ciascun termine di questa è il risultato della sintesi dei corrispondenti termini delle varie serie di indici singoli. Rispetto alla formazione degl'indici composti si devono essenzialmente risolvere tre problemi: a) determinazione dei fenomeni singoli da considerare; b) scelta del metodo per la sintesi; c) determinazione dell'importanza relativa dei singoli fenomeni, nella formazione del dato sintetico. Sono tre problemi che vanno risolti in relazione ai caratteri proprî della materia studiata e qualche volta anche alle possibilità pratiche dell'elaborazione statistica.

Per il problema a, l'assortimento dei fenomeni singoli da osservare può, talora, essere limitato alla considerazione di una parte dei casi, parte che si può ritenere approssimativamente rappresentativa dell'andamento generale: così, ad esempio, indici composti relativi alle variazioni degli scambî commerciali di un paese con l'estero possono talvolta limitarsi alla considerazione di un numero non grande di voci alimentanti le più cospicue correnti di scambî, trascurando l'analisi per le numerosissime voci secondarie, che dànno ciascuna luogo a movimenti poco importanti. Però, la limitazione del campo di osservazione può addurre a risultati incerti.

Quanto al problema b, la determinazione dell'indice composto qualche volta ha luogo con la semplice designazione di un "valore di posizione", p. es. del termine mediano nella graduatoria degl'indici singoli (dal minimo al massimo). Più spesso l'indice composto è il risultato di un calcolo nella cui formazione tutti gl'indici singoli intervengono; di solito è una media, aritmetica, o geometrica, o additiva, o armonica, o quadratica, ecc. Queste varie medie hanno ciascuna un proprio significato e particolari proprietà matematiche, che le rendono diversamente appropriate al calcolo degl'indici composti, secondo il tipo dei fenomeni studiati, la loro variabilità attraverso il tempo (o lo spazio), il numero dei dati considerati, e qualche volta anche secondo le applicazioni concrete degl'indici composti formati; talora sulla scelta dell'una o dell'altra media hanno qualche influenza considerazioni pratiche, relative alla laboriosità dei conteggi.

Riguardo al problema c, talvolta, nel calcolo dell'indice composto, si assegnano agl'indici relativi ai singoli fenomeni, per la loro sintesi, dei coefficienti destinati ad attenuare le differenze della loro variabilità, per accentuare nella sintesi l'efficacia degl'indici poco variabili e attenuarla per quelli molto dinamici, così da evitare che i primi abbiano poca o nulla influenza sul dato cumulativo. Più spesso il coefficiente di ponderazione nella formazione della media vuole corrispondere esattamente o approssimativamente all'importanza che il fenomeno singolo ha nella fenomenologia complessiva. Molte volte criterî logici di ponderazione risultano dalle circostanze proprie dei fenomeni esaminati: così nella formazione d'indici relativi agli scambî commerciali con l'estero, coefficienti di ponderazione possono essere formati in base al valore delle importazioni o delle esportazioni delle singole merci. Talvolta si presentano contemporaneamente più criterî logici di ponderazione fra i quali può sembrare difficile la scelta, così da tornare conveniente la formazione di coefficienti cumulativi: così, ad es., per un indice composto destinato a raffigurare la dinamica della produzione industriale di un paese, nella determinazione dei coefficienti per i singoli rami di industria si può tenere conto, rispetto a ciascun ramo, del valore dei prodotti, del numero degli operai occupati, del numero o potenzialità dei motori attivi, della quantità di energia motrice impiegata, del valore degl'impianti, ecc. La determinazione di coefficienti di ponderazione riescirebbe molto ardua e inevitabilmente arbitraria quando si volesse fare una sintesi dei complessi d'indici, già esemplificati, destinati a seguire variazioni nel grado di benessere economico, nella civiltà, nella cultura, nello stato morale di una popolazione: non esistono criterî oggettivi su cui basare una graduatoria logica della importanza delle singole manifestazioni di questi caratteri nella vita collettiva. Le difficoltà di operare razionali ponderazioni adducono talora alla adozione di criterî empirici, grossolani, e spesso anche all'apparente assenza di ponderazione, cioè all'adozione della media semplice, nella quale a tutti i fenomeni si assegna la stessa importanza.

L'importanza comparativa dei singoli fenomeni considerati, rispetto alla formazione dell'indice composto, non rimane sempre invariata attraverso il tempo cui si riferisce la serie del numero indice composto: essa può variare, p. es., di anno in anno o anche per intervalli minori. Da tale variabilità deriva talora:1. la necessità di cambiare attraverso il tempo i coefficienti di ponderazione per il calcolo dell'indice medio; 2. la necessità di effettuare talvolta determinazioni provvisorie approssimative dei coelncienti, quando non sono tempestivamente noti i dati statistici su cui basare a titolo definitivo il coefficiente. Riguardo al punto 1. si può notare che la sostituzione frequente dei coefficienti di ponderazione rende talvolta incerto il significato delle variazioni segnate dagli indici: tali variazioni possono derivare contemporaneamente sia da spostamenti nell'intensità del fenomeno, sia da spostamenti nella sua importanza proporzionale in confronto con gli altri fenomeni considerati; ad esempio, se si forma un numero indice composto destinato a raffigurare le variazioni nel livello delle quotazioni delle azioni trattate presso la Borsa di Roma, e se all'indice singolo relativo a ciascuna azione si assegna un coefficiente corrispondente alla quantità dei titoli scambiati in ogni mese, le variazioni dell'indice composto possono derivare contemporaneamente sia da spostamenti nelle quotazioni, sia da spostamenti nel volume totale e nella composizione della massa dei titoli scambiati presso la Borsa. Si deve però notare che sull'altezza di una media ponderata influiscono più fortemente le grandezze dei termini che quelle dei coefficienti. Riguardo al punto 2. notiamo che la difficoltà non sorge per le serie che si costruiscono per lo studio di fenomeni svoltisi in passato, ma sorge molto spesso per lo studio del tempo attuale.

Talvolta la serie grezza di dati statistici, destinata alla formazione della serie di numeri indici singoli (sia agli effetti dello studio isolato, sia agli effetti della costituzione di un complesso di serie o della formazione di un indice composto), deve subire una particolare elaborazione, per l'eliminazione dei presunti effetti di cause ritenute perturbatrici agli effetti della proposta indagine. Così, ad es., nella formazione dei complessi di serie d'indici destinati allo studio dell'andamento generale degli affari, talora i dati grezzi (o gli stessi indici singoli) vengono assoggettati a elaborazioni per eliminare, in via approssimativa, gli effetti di circostanze stagionali o di movimenti a lungo decorso.

La formazione di serie di numeri indici, iniziatasi in modo sporadico e rudimentale nel sec. XVIII, è divenuta più frequente nel sec. XIX, ed è molto usata dopo la guerra mondiale, specie nella statistica economica.

La più nota applicazione dei numeri indici è quella destinata alla raffigurazione e allo studio della dinamica nei prezzi (v.).

Numeri sacri.

La sacralità del numero rimonta alla mentalità primitiva per la quale esso non è qualche cosa di astratto, ma è sempre legato con l'immagine degli oggetti che offrono al primitivo occasione più frequente di computo; in uno stadio di progredita cultura può anche provenire dalle proprietà aritmetiche. Presso i gruppi di cultura inferiore i numeri più conosciuti, e individuati con un nome, non vanno oltre la decina, e sono dotati di un valore magico-mistico che rimane ad essi aderente, e li fa servire come da schema d'inquadramento, anche quando con il progresso culturale e lo sviluppo delle conoscenze matematiche i numeri finiscono per avere come proprio soltanto il valore aritmetico.

Gli stessi numeri non sono ugualmente sacri per tutte le genti, perché non è tanto un motivo psicologico, e quindi generale, che determina la loro sacralità, quanto sono circostanze speciali quelle che hanno condotto i varî gruppi umani a fissarsi piuttosto sopra un numero che sopra un altro. Certo però la contemplazione del cielo (astrologia) è stata una delle cause maggiori che ha determinato e sviluppato la credenza al valore sacro di alcuni numeri.

Diamo qui l'elenco dei principali numeri sacri.

Uno. - Base della numerazione, di valore prevalentemente filosoficomistico, dalla monade di Pitagora all'Uno di Plotino e dei neoplatonici.

Tre. - È per eccellenza il numero sacro nelle religioni e nel folklore. Nell'Oriente semitico è consacrato dalla triade babilonese Anu, Bel, Ea, corrispondente alle tre grandi divisioni del mondo: cielo, terra e acqua. Da un punto di vista più speculativo che naturistico la trimurti indù raggruppa Brahma, Visnu e Siva, rispettivamente il creatore, il conservatore e il distruttore. Anche presso gli Ebrei il 3 è sacro: David deve scegliere 3 piaghe (carestia di 3 anni, fuga di 3 mesi, peste di 3 giorni); Elia si stende 3 volte sul fanciullo morto, 3 volte infonde acqua sull'olocausto, ecc. Presso i Greci e i Latini il 3 regola le norme del rituale: triplice libagione, triplice pronunzia di parole mistiche, 3 gli animali del sacrificio suovetaurile, triplice la circumambulazione lustratoria, triplice la chiamata del morto (conclamatio), triplice la circumambulazione del rogo di Pallante, 3 (e multiple di 3) sono le offe che gli Arvali offrono nel grande rito di maggio.

Anche nel cristianesimo il 3 domina: a parte la SS. Trinità e il valore mistico del suo esemplarismo nell'universo, triplice fu la tentazione di Gesù, 3 giorni stette nel sepolcro, S. Paolo mediante una triplice orazione vince una triplice tentazione. Nella liturgia si ha il triplice Agnus Dei, il triplice Sanctus, il triplice Mea culpa, il triplice Domine non sum dignus. È appena da ricordare il valore che il 3 e i suoi multipli, specie il 9, hanno nella Divina Commedia e nel Convito (II, 4, 1 segg.; 15, 1 segg.) di Dante.

Quattro. - Il 4 ha un grande valore mistico presso i Pellirosse dell'America Settentrionale: Navajos, Zuñi, Sioux, Cheroki, Salish, ecc., valore determinato dai 4 punti cardinali, ai quali punti corrispondono colori, dei, animali, qualità fisse. Questa medesima considerazione dei punti cardinali ha reso sacro il 4 anche per i Babilonesi e gli Ebrei, presso i quali si parla dei 4 fiumi del Paradiso, di 4 specie di pestilenza, di 4 giorni di lutto che annualmente si celebrano dalle vergini d'Israele per la figlia di Iefte, ecc.

Sette. - È per eccellenza il numero astrologico, sacro ai Babilonesi per i 7 pianeti (corrispondenti ai 7 giorni della settimana), 7 mali spiriti, le 7 mura del mondo infero; sacro agli Ebrei, che lo hanno adottato specialmente nell'apocalittica: i 7 cieli, i 7 fiumi della terra, le 7 isole, le 7 montagne donde soffia il gelo; ma anche nella liturgia: i 7 altari, le 7 fonti sacre, i 7 bracci del candelabro, le 7 unzioni d'olio, le 7 coppie di animali puri che entrano nell'arca, ecc. Nella mitologia indù abbiamo i 7 oceani, i 7 rši, i 7 Aditya, i 7 cavalli del sole, i 7 pozzi da cui le donne sterili traggono l'acqua per lavarsi e ottenere così figliolanza, i 7 pozzi entro cui bisogna successivamente guardare per guarire l'idrofobia, ecc. Anche nel cristianesimo il 7 è numero altamente simbolico: i 7 sacramenti, i 7 doni dello Spirito Santo. La credenza nella sacralità del 7 ha dato poi origine nell'epoca classica e ha prolungato in quella cristiana la credenza nell'anno climaterico, in quell'anno della vita cioè che è un multiplo di 7, specialmente il 49 (7 × 7) e il 63 (7 × 9).

Dieci. - È sacro in quanto somma di 3 e di 7, è la base del sistema decimale e ha finito perciò per rappresentare il numero tondo o perfetto. 10 sono i comandamenti, 10 le piaghe d'Egitto, 10 i talenti e 10 le vergini della parabola di Gesù; nella liturgia ebraica 10 sono le tende del tabernacolo, 10 cubiti sono alti i cherubini del tempio, 10 sono i bacini di bronzo, 10 le corna della bestia nell'apocalittica. Anche per Dante il 10 (e il 100) sono numeri perfetti.

Dodici. - Ha un carattere sacro perché forma la base del sistema numerale dei Sumeri che era sessagesimale e che dai Sumeri passo ai Babilonesi. 12 sono i segni dello zodiaco, 12 i mesi dell'anno, 12 le ore delgiorno, 12 le porte del paradiso; 12 le tribù d'Israele, 12 i bovi bronzei che sostengono il grande bacino del santuario israelitico, 12 i pani di proposizione, 12 gli apostoli, 12 le stelle attorno al capo della donna vestita di sole nell'Apocalisse.

Quaranta. - È un numero simbolico adottato per periodi di aspettativa e di penitenza. 40 sono i giorni del diluvio, 40 gli anni che gli Ebrei passano nel deserto, 40 i giorni che Mosè passò sul Sinai, 40 i giorni del digiuno di Elia e di quello di Gesù, 40 i giorni annunziati da Giona per la distruzione di Ninive, 40 i giorni dalla risurrezione all'ascensione.

Settanta. - La sua sacralità deriva dall'essere multiplo di 7: le 70 nazioni della tavola etnografica del Genesi, i 70 anziani d' Israele, i 70 anni (o settimane di anni) dell'apocalittica, i 70 (o 72) discepoli di Gesù..

Talora i numeri si trovano inquadrati in tutta una costruzione di carattere metafisico, com'è il caso di Pitagora e della sua scuola in cui non solo il mondo materiale ma anche quello spirituale furono considerati in funzione dei numeri; o come si verifica in Cina, dove dal principio massimo (Thai-ki) vengono i 2 principî Yang e Yin (cielo e terra), da cui le 4 immagini o forme (sole, luna, stelle, piante), da cui gli 8 trigrammi o kua che sono gli elementi dell'universo (spazio celeste, vapori, calore e luce, fulmine, vento, acque, montagne, terre). Ai quali 8 kua corrispondono anche qualità morali, animali, parti del corpo umano, gradi di parentela, ecc.

Bibl.: P. Bongi, Mysticae numerorum significationis liber, Bergamo 1585; H. Usener, Dreiheit, in Rhein. Mus., n. s., LVIII, pp. 1-48, 161-208, 324-364; Buckland, Four as a sacred number, in Journ. Am. Inst., XXV, pp. 96-99; von Adrian, Die Siebenzahl im Geistesleben der Völker, in Mitt. der anthr. Gesellsch. in Wien, 1901, p. 225 seg.; W. H. Roscher, Die Siebenzahl, in Philologus, 1901, p. 360 segg.; id., Die Zahl 40 im Glauben der Semiten, in Abhandl. sächs. Ges. Wiss., XXVII (1909), p. 105; J. M. de Groot, The religious system of China, I, Leida 1892-1907, p. 317 segg.; L. Lévy-Bruhl, Les fonctions mentales dans les sociétés inférieures, Parigi 1910, pp. 204-260.