numero

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nùmero [Der. del lat. numerus] [LSF] Oltre che nei vari signif. propri della matematica, alcuni dei quali sono ricordati oltre, il termine è usato in varie discipline fisiche anche come sinon. di costante (per es., n. di Avogadro per costante di Avogadro) e, non propr., come sinon. di grandezza fisica adimensionata (per es., come si usa nella meccanica dei fluidi con il n. di Froude, di Mach, di Nusselt, ecc.; v. anche oltre: N. puro); per i n. non ricordati nel seguito si rinvia al termine di qualificazione. ◆ [ALG] Secondo una prima definizione elementare, ciascuno degli enti astratti (propr., n. naturali: v. oltre) che indicano la proprietà di un insieme di oggetti quando non si consideri la natura degli oggetti medesimi (per una definizione assiomatica, v. oltre: N. naturali); tali enti sono ordinati, costituendo la serie dei n. naturali (1,2,3,...), in modo tale che, presi due n. successivi e due insiemi in corrispondenza con essi, l'insieme relativo al n. che è più avanti (n. più grande) nella detta serie ha più elementi di quello relativo al n. che è più indietro (n. più piccolo). Gli enti così definiti (n. cardinali) possono essere utilizzati anche per contraddistinguere ciascuno degli elementi di un insieme per il posto occupato in una successione (n. ordinali). ◆ [FSD] N.-c: espressione abbrev. per indicare un n. che commuta. ◆ [PRB] N. casuale: lo stesso che variabile causale scalare: v. PROBABILITÀ CLASSICA: IV 584 b. ◆ [FME] N. CT: → CT. ◆ [ALG] N. decimali: sono costituiti da una parte intera (un n. intero) e da una parte decimale (un n. minore del-l'unità, le cui cifre indicano, nell'ordine, decimi, centesimi, ecc.), separate da una virgola (secondo l'uso ufficiale in Italia e, in genere, nell'Europa continentale) oppure da un punto (uso anglosassone, che peraltro va diffondendosi per il peso che hanno i calcolatori elettronici scientifici e che presenta qualche vantaggio tecnico: proprio per motivi tecnici quest'uso è stato adottato in questa Enciclopedia). ◆ [ALG] N. decimali periodici: n. decimali illimitati la cui parte decimale è costituita da una o più cifre che si ripetono indefinitamente (periodo, indicato con una sopralineatura o con parentesi), eventualmente precedute da una o più cifre che non si ripetono (antiperiodo), quali, per es., 0.666...=0.6-=0.(6) e 1.558 787 878... =1.5587-=1.55(87); si tratta di n. razionali, in quanto esprimibili sempre mediante la loro frazione generatrice, come, per es., 0.6-=2/3 e 1.5587-= 15432/9900= 2572/165. ◆ [MCC] N. di giri: locuz. tecnica impropria per frequenza di rotazione. In partic., n. di giri specifici: v. MACCHINE A FLUIDO: III 505 a. ◆ [EMG] [MCC] N. d'onde: locuz., dal-l'ingl. wavenumber, per indicare il n. di lunghezze d'onda contenute nell'unità di lunghezza, pari all'inverso della lunghezza d'onda λ e quindi equivalente alla locuz. propria frequenza spaziale; impropria è la locuz. n. d'onda, cattiva traduz., priva di signif. fisico, dell'anzidetto termine ingl. wavenumber; ancora impropr., la locuz. è talora usata per indicare non 1/λ, ma 2π/λ, cioè la pulsazione spaziale. ◆ [FSN] N. d'onde di betatrone: v. ACCELERATORI DI PARTICELLE: I 8 b. ◆ [ASF] N. d'oro: → ORO. ◆ [ALG] N. illimitato: n. costituito da infinite cifre; possono essere tali n. sia razionali (i n. decimali periodici) che irrazionali (per es., π, exp 1, ecc.). ◆ [ALG] N. interi: estensione dei n. naturali, ottenuta considerando anche i n. interi negativi e lo zero, secondo la successione ...-2, -1, 0, 1, 2,..., e detti anche n. interi relativi; l'insieme dei n. interi costituisce un anello commutativo, euclideo, principale, ordinato, nonché un dominio di integrità, ed è indicato con il simb. Z (dal ted. Zahl "numero"). ◆ [ALG] N. interi di Gauss, o interi di Gauss: i n. complessi A+iB, con i unità immaginaria e A, B n. interi ordinari, costituenti un insieme indicato con il simb. Z[i] per ricordare che si tratta di un un anello ottenibile da quello dei n. interi aggiungendo i; hanno proprietà particolari nell'ambito della teoria dei n., quale, per es., quella secondo la quale ogni intero di Gauss può sempre decomporsi in fattori primi, e anzi in un solo modo; si chiamano poi norma di un intero di Gauss A+iB il n. naturale A2+B2 e interi di Gauss associati di esso i tre n. -A-iB e ±(A-iB). ◆ [ALG] N. naturali: oltre alla definizione elementare (v. sopra: [ALG]) i n. naturali, che sono gli interi non affetti da segno, possono essere definiti assiomaticamente (G. Peano) in termini di tre nozioni primitive (cioè non definite): quella di n. naturale, quella di successore e quella di zero (0). Gli assiomi di Peano sono allora: (a) 0 è un n. naturale; (b) se x è un n. naturale, allora il successore di x, che si denota x+1, è un n. naturale; (c) non esiste un n. naturale del quale 0 sia il successore; (d) se x e y sono n. naturali con successori uguali, allora x e y sono uguali; (e) se per ogni n. naturale x è data una relazione logica φ(x) e se φ(0) è vera e la verità di φ(x) implica quella di φ(x+1), allora le relazioni φ(x) sono vere per ogni x. ◆ [ALG] N. perfetti di Mersenne: v. oltre: N. primi. ◆ [ALG] N. perfetto: (a) di prima specie: un n. naturale che sia pari alla somma dei suoi divisori (eccettuato il n. stesso), come, per es., 6 (=1+2+3), che è il più piccolo dei n. perfetti; la teoria di essi presenta ancora dei problemi insoluti, in quanto, per es., non si sa se esistono n. perfetti dispari, mentre si sa che quelli pari sono dati dalla formula 2n-1(2n-1), dove n e 2n-1 devono essere n. primi; (b) di seconda specie: un n. naturale che sia uguale al prodotto dei suoi divisori (escluso il n. stesso); anche per essi manca una formula generale, pur sapendosi che se p è un n. primo, certamente p3 è un n. di questa specie e tale è anche il prodotto di due n. primi; il minore dei n. perfetti che siano contemporaneamente di prima e di seconda specie è 6 (=1+2+3=1╳2╳3). ◆ [ALG] N. primi tra loro: sono due n. naturali che non hanno nessun divisore in comune (eccettuato 1), e cioè, equival., sono n. primi oppure il loro massimo comune divisore è 1 oppure il loro minimo comune multiplo è uguale al loro prodotto; sono tali, per es., due n. naturali consecutivi. ◆ [STF] [ALG] N. primo: un n. naturale che sia divisibile soltanto per sé stesso (dando 1) e per 1 (dando sé stesso). La ricerca dei n. primi e della loro distribuzione è stato un tema costante nella storia della teoria dei n. (per l'antichità, ricordiamo il crivello di Eratostene): si è dimostrato, per es., che i n. primi sono infiniti. Molte altre questioni rimangono invece aperte; non si sa, per es., se esistono infinite coppie di n. primi gemelli P₁ e P₂, ossia tali che P₂-P₁=2 (come, per es., 11 e 13, 17 e 19, 29 e 31, ecc.), o se esistono infiniti n. primi di Marsenne, ossia n. primi p della forma p= 2n-1, con n n. primo. Un altro filone di ricerca tende a costruire una funzione, e anzi preferibilmente un polinomio, che, per valori interi, assuma solamente valori primi (anche se non è possibile che tali valori esauriscano l'insieme dei n. primi). I risultati più importanti a tutt'oggi noti riguardano le funzioni n2-n+1 e n2-79n+1601, che danno n. primi rispettiv. per n intero e minore di 41 e per n intero e minore di 80. La celebre congettura di Goldbach, enunciata nel 1742 in una lettera a Eulero, afferma che ogni n. pari si può ottenere come somma di due n. primi (eventualmente in più modi, come 100=11+89=17+83= 29+71=41+59=47+53). Essa non ha ancora ricevuto una dimostrazione generale ma non è stata neppure confutata. La congettura di Goldbach non si estende ai n. dispari: si è tuttavia dimostrato che ogni n. dispari abbastanza grande è somma di tre n. primi dispari. Il risultato più forte nella direzione della congettura di Goldbach è quello ottenuto da J.R. Chen (1973): ogni n. intero pari sufficientemente grande è somma di n. primi e di un n. che ha al più due fattori primi; la dimostrazione di questo risultato di Chen richiede gli strumenti più raffinati dell'aritmetica analitica. Se si dispongono i n. da 1 a n2 (con n≥2) in una tabella quadrata di n righe e n colonne in modo che nella prima riga compaiano i n. da 1 a n, nella seconda quelli da n+1 a 2n e così via, si ritiene (congettura di Sierpinski, 1958) che in ogni riga della tabella si presenti almeno un n. primo. La proprietà è stata accertata per n≤4500 ma non è dimostrata in generale. Una celebre identità, scoperta da Eulero, è poi la seguente: Σn=∞n=1 n-s=:(1-p-s)-1, ove s è un qualsiasi n. reale maggiore o uguale a 2 e, a secondo membro, il prodotto infinito è calcolato per tutti i valori primi di p. Questa identità di Eulero per i n. primi riassume, in realtà, infinite relazioni (una per ogni valore di s) ed è tanto più sorprendente perché in essa i n. primi compaiono al secondo membro ma non al primo; la funzione di s espressa da ciascuno dei due membri di essa fu poi considerata da Riemann anche per valori complessi della s: si tratta della celebre funzione zeta di Riemann. Allo stesso Eulero è dovuto un teorema (teorema di Eulero sui n. primi) che afferma che la serie Σ(1/p) degli inversi dei n. primi è divergente. Si studia, infine, la classica funzione π(x) pari al n. dei n. primi non superiori a x, la cui conoscenza equivale perciò a conoscere la distribuzione dei n. primi. Il problema è uno dei più difficili e a tutt'oggi una espressione analitica della π(x) non è stata trovata. Si conosce però il "comportamento asintotico" della funzione π(x) che è messo in luce dal famoso teorema fondamentale dei n. primi: il n. NN di n. primi ≤N è, asintoticamente per Ν→∞, NN² NN0=N/lnN, nel senso che il rapporto dei due membri tende a 1; in partic., la densità dei n. primi contenuti in [1, N] tende a zero per N→∞. Una forma più precisa del teorema fondamentale dei n. primi è il teorema di Hadamard e De la Vallée Poussin, secondo il quale δ(N)=|NN-NN(0)|/| Li(Ν)|≤0exp[-c(lnN)1/2], dove c>0 è un'opportuna costante e Li(N) è la funzione logaritmo integrale, Li(N)=∫N₀ dt/lnt. Questo teorema si può dimostrare in base alle proprietà di analiticità della funzione zeta di Riemann. La stessa ipotesi di Riemann (assenza di zeri non banali della funzione zeta di Riemann, con parte reale ≥s₀>1/2) è equivalente all'affermazione che δ(N)≤0(N-1/2 (lnN)2) (o all'affermazione, apparentemente più debole, che δ(N)≤0(Nε-(1/2)) per ogni ε>0). ◆ [MTR] N. puro: locuz. talora usata impropr. per indicare una grandezza fisica adimensionata; a rigore, i n. puri della fisica sono, se proprio si vuole usare tale locuz., (oltre, beninteso, i n. della matematica, qual è, per es., π) i n. approssimati che esprimono le misure di grandezze fisiche, dimensionate o adimensionate che siano: v. UNITÀ DI MISURA, SISTEMI DI: VI 407 a. ◆ [MCQ] N. quantico: n. che concorre a determinare lo stato di una particella o di un sistema di particelle quantistiche (atomo, molecola, popolazioni di elettroni, ecc.); per i vari n. quantici (azimutale, magnetico, principale, ecc.) → QUANTICO. ◆ [ALG] N. razionale: ogni n. che sia esprimibile come rapporto tra n. interi, cioè in forma di frazione, come tale riducibile sempre al rapporto tra due n. primi tra loro (frazione ridotta ai minimi termini: → MINIMO: M. termine). L'insieme dei n. razionali comprende, oltre ai n. frazionari, anche i n. interi (esprimibili come frazioni con denominatore 1 oppure come rapporto tra un n. e un suo conveniente sottomultiplo intero o, inversamente, tra un conveniente multiplo intero di un n. e il n. medesimo). ◆ [ALG] N. reale: generalizzazione del concetto di n. razionale (v. sopra); precis., l'insieme dei n. reali, indicato con R, è ottenuto dall'insieme dei n. razionali per complemento, ossia considerando anche i limiti delle successioni di Cauchy (→ CONVERGENZA: Criterio di c., o di Cauchy) di n. razionali, per cui un n. reale può essere rappresentato come un n. intero relativo seguito da una parte decimale che può essere limitata, illimitata periodica o illimitata aperiodica. Teorie rigorose dell'insieme dei n. reali mediante una costruzione assiomatica sono state studiate a partire dalla fine dell'800, soprattutto a opera di K.Weierstrass, G. Cantor (al quale è dovuta la definizione data sopra, 1871) e J.W. Dedekind. L'insieme dei n. reali può essere messo in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta, e ciò è alla base della geometria analitica e dell'analisi infinitesimale; quando viene dotato delle quattro operazioni razionali R diviene il prototipo di campo archimedeo totalmente ordinato; considerando poi come aperti gli intervalli aperti, R ha una struttura di spazio topologico. ◆ [ALG] N. relativo: n. reale dotato di segno, positivo con il segno più e negativo con il segno meno. ◆ [ALG] N. trascendente: un n. non algebrico (cioè non ottenibile come radice di un'equazione algebrica a coefficienti razionali), come, per es., π ed exp 1. ◆ [PRB] Legge debole dei grandi n.: data una successione Xn di variabili casuali indipendenti e la successione Sn=X₁+ ...+Xn delle loro somme parziali, tale legge è verificata se [Sn-E(Sn)]/n tende in probabilità a ✄, cioè per ogni ε>0 è: limn→∞ P(|Sn-E(Sn)|/n<ε)=1. Vale invece la legge forte dei grandi n. se [Sn-E(Sn)]/n tende quasi certamente a 0, se cioè, per ogni ε>0, tende a 1 la probabilità P(|Sn-E(Sn)|/n<ε, |Sn+1-E(Sn+1)|/n<ε,...) del contemporaneo verificarsi di tutte le diseguaglianze dall'n-esima in poi. Una condizione sufficiente per la validità della legge forte (e a fortiori della legge debole) è (v. sopra) che le Xn siano indipendenti e abbiano la stessa distribuzione di probabilità, con E(Xn)<∞. ◆ [PRB] Legge dei grandi n.: date n variabili casuali identicamente distribuite, x₁,...,xn, è la relazione limn→∞ P(|Σi=ni=1 xi/ n-E(x)|>ε)=0 per ogni ε>0, dove E(x)<∞ è l'aspettazione matematica delle distribuzioni delle xi, come dire che all'aumentare del n. delle prove diventa trascurabile la probabilità di scarti, comunque piccoli, tra la frequenza e la probabilità. Pur essendo un principio estremamente generale, e dunque difficilmente utilizzabile da un punto di vista quantitativo, la legge dei grandi n. (detta anche teorema di Bernoulli) è importante da un punto di vista concettuale, perché mostra in che senso è lecita la definizione frequentistica di probabilità: essa non va confusa con la cosiddetta legge empirica del caso, secondo cui in un gran n. di prove la frequenza approssima la probabilità. Infatti, la prima è un teorema che fa parte della teoria matematica delle probabilità, la seconda è l'espressione della convinzione, basata su considerazioni sperimentali, che ci sia una buona corrispondenza tra quella teoria matematica e l'effettivo andamento dei fenomeni (v. PROBABILITÀ CLASSICA: IV 577 c). ◆ [MCQ] Operatore n.: ha simb. N e, applicato a una grandezza descrivente stati fisici, dà, con i suoi autovalori, il n. degli stati aventi il valore dato dall'argomento dell'operatore medesimo; per es., N(k), con k dato vettore d'onda di fotoni, ha per autovalore il n. dei fotoni con quel vettore d'onda. ◆ [STF] [ALG] Teoria dei n.: indicata una volta con il nome di aritmetica superiore, è lo studio delle proprietà dei n. interi (n. naturali) come, per es., la scomponibilità in fattori primi, le congruenze di primo grado e di grado superiore, la ricerca delle soluzioni intere di equazioni, o di sistemi di equazioni, lineari o algebriche a coefficienti interi (cioè quella parte dell'aritmetica che prende il nome di analisi indeterminata). Molte delle questioni riguardanti proprietà dei n. interi vengono però usualmente studiate ricorrendo alla teoria delle funzioni di variabile reale o di variabile complessa e ad altri elevati capitoli di analisi; si tratta di questioni che s'inquadrano in quel ramo della matematica che si chiama perciò teoria analitica dei numeri. D'altra parte, molti capitoli di teoria dei n. si possono collegare a questioni di carattere prettamente algebrico e anzi, da un punto di vista storico, svariate nozioni di algebra, come, per es., quella di ideale, sono sorte proprio dallo studio dell'aritmetica: si parla perciò di una teoria algebrica dei numeri. Si dà infine il nome di teoria elementare dei n. al complesso di dottrine che si propone lo studio dei n. interi senza l'uso di tecniche di natura partic. elevata (non si deve però credere che i problemi affrontati dalla teoria elementare dei n. siano sempre di semplice soluzione).