numero periodico
numero periodico
numero periodico numero decimale illimitato le cui cifre decimali si ripetono definitivamente (vale a dire “da un certo punto in poi”) sempre nello stesso ordine. Più precisamente, un numero è detto periodico se esistono due interi positivi p e m (detti rispettivamente lunghezza del periodo e lunghezza dell’antiperiodo) tali che, per ogni numero naturale q > m, la q-esima cifra decimale coincide con la (q + p)-esima. Se m = 0, allora il numero è detto periodico puro, altrimenti il numero è detto periodico misto. Il sistema delle p cifre decimali che si ripetono all’infinito è detto periodo del numero, il sistema delle m cifre decimali che precedono il periodo è detto invece antiperiodo. Un numero periodico è scritto indicandone la parte intera, seguita dalle cifre dell’antiperiodo e poi dalle cifre del periodo con una sopralineatura, a indicare che esse si ripetono infinite volte nello stesso ordine. In una diversa notazione le cifre del periodo sono indicate tra parentesi. Per esempio il numero periodico puro 3,39393939... è indicato in forma compatta come 3,3̅9̅ (che si legge «tre virgola trentanove periodico»); similmente il numero periodico misto 3,72393939..., con antiperiodo 72 e periodo 39 è indicato in forma compatta come 3,723̅9̅ (che si legge «tre virgola sette due trentanove periodico»). È in uso anche un altro modo di indicare il periodo, racchiudendolo tra parentesi: con tale notazione il numero 3,723̅9̅ è scritto come 3,72(39). La lunghezza del periodo della rappresentazione decimale del numero a /b è il minimo numero naturale k per il quale b è divisore di 10k − 1. Per ogni numero razionale la rappresentazione decimale è periodica (includendo il caso di rappresentazione finita, con periodo zero). Viceversa, ogni allineamento decimale periodico (escluso il caso di periodo uguale a 9) rappresenta un ben preciso numero razionale (→ frazione generatrice). Quando si passa da un numero periodico, di periodo diverso da 0, alla sua frazione generatrice, il numero di cifre del periodo indica il numero di 9 che, a denominatore, si devono anteporre a tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo.