numero cardinale
numero cardinale
numero cardinale o cardinale, nell’accezione elementare il termine indica la quantità degli elementi di un insieme finito e, in quanto tale, è sinonimo di numero naturale. Il concetto si estende a insiemi qualunque e in tale accezione allargata il numero naturale è definibile come classe di equivalenza di insiemi dotati della stessa → cardinalità. Il numero cardinale di un insieme A è indicato con |A|. I numeri cardinali estendono i numeri naturali, i quali coincidono con i numeri cardinali finiti; un numero cardinale non finito è detto transfinito. È possibile introdurre delle operazioni di calcolo per i numeri cardinali, in modo da estendere le operazioni di addizione, moltiplicazione e potenza definite nell’insieme dei numeri naturali. Si pone a tal fine:
• |A| + |B| = |A ⋃̇ B| (somma di cardinali)
• |A| ⋅ |B| = |A × B| (prodotto di cardinali)
• |A|B = |AB| (elevazione a potenza di cardinali)
dove A e B sono arbitrari insiemi e dove ⋃̇ e × indicano rispettivamente le operazioni di unione disgiunta e di prodotto cartesiano tra insiemi, mentre AB indica l’insieme di tutte le applicazioni da B in A; si ottiene così l’aritmetica dei numeri cardinali.
Se α è un numero ordinale, allora si definisce il numero cardinale corrispondente card(α) come la cardinalità di un qualsiasi insieme ordinato che possiede α come tipo d’ordine. La trasformazione card così definita tra la classe dei numeri ordinali e quella dei numeri cardinali risulta essere suriettiva, ma non iniettiva: per esempio, i due ordinali transfiniti ω = {0, 1, 2, ..., n, ...} e ω + 1 = {0, 1, 2, ..., n, ..., ω} determinano ambedue lo stesso numero cardinale, che coincide con ℵ0 (aleph zero). In generale, due numeri ordinali hanno la stessa cardinalità se e solo se sono entrambi compresi tra due stessi ordinali iniziali ωα e ωα + 1 (eventualmente uguali al primo, ma minori del secondo): questo permette di definire, per ogni ordinale iniziale ωα, il numero cardinale ℵα come il numero cardinale card(ωα) (dove si pone ω0 = ω). Si ottiene in questo modo una corrispondenza biunivoca dei numeri cardinali transfiniti con i numeri ordinali iniziali e di conseguenza con i numeri ordinali stessi (i quali indicizzano gli ordinali iniziali).
Il teorema di Cantor (→ Cantor, teorema di) afferma che per ogni numero cardinale ne esiste uno maggiore: qualunque sia A, il numero cardinale dell’insieme A è minore del numero cardinale dell’insieme delle parti di A, indicato con ℘ (A), ed è |℘ (A)| = 2|A|. Il numero cardinale dell’insieme dei numeri naturali (e così pure dell’insieme degli interi, dell’insieme dei razionali e dell’insieme dei numeri reali algebrici, che sono tutti equipotenti) si indica con ℵ0 (alef zero), e ogni insieme che ha questo numero cardinale è detto numerabile. L’insieme dei numeri reali non è numerabile: indicando con ℵ1 il suo numero cardinale, risulta ℵ1 = 2ℵ0. L’ipotesi del continuo consiste nel supporre che ℵ1 sia il più piccolo numero cardinale transfinito superiore a ℵ0, l’ipotesi del continuo generalizzata consiste nel supporre che, per ogni numero cardinale transfinito α, il successivo sia 2α (→ continuo, ipotesi del).
Un numero cardinale β è detto cardinale limite se non è il successore di alcun cardinale che lo precede (questo è per esempio il caso di 0, ℵ0 e ℵω); esso è detto invece cardinale limite forte se, per ogni numero cardinale λ che lo precede, vale 2λ < β: ogni cardinale limite forte è in particolare un cardinale limite. Un numero cardinale α è detto regolare se non è esprimibile come una somma di numeri cardinali minori di α, indicizzata da un insieme di cardinalità minore di α: in altri termini, se
è una famiglia di cardinali minori di α, con |I|< β, allora
Un numero cardinale regolare è detto debolmente inaccessibile se è un cardinale limite, è detto inaccessibile se è un cardinale limite forte. Per esempio, ℵ0 è un cardinale inaccessibile. L’esistenza di cardinali inaccessibili diversi da ℵ0 non è dimostrabile nella teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel con l’aggiunta dell’assioma della scelta (ZFC; → Zermelo-Fraenkel, teoria di). Tuttavia, essa è consistente con tale sistema di assiomi, vale a dire non porta a contraddizioni; dunque l’esistenza di numeri cardinali inaccessibili è indecidibile in ZFC. Spesso si richiede che un cardinale debolmente inaccessibile sia maggiore di ℵ0.
Nella teoria degli insiemi NBG (→ Neumann-Bernays-Gödel, teoria di) si definisce la cardinalità di un insieme, ma le classi proprie non hanno cardinalità.