morfismi

morfismi

Elementi appartenenti a un’arbitraria categoria che hanno il ruolo di mappe da un oggetto all’altro. Spesso, è utilizzata la definizione alternativa di freccia. Esempi di morfismi sono dunque gli omomorfismi di gruppi nella categoria dei gruppi, di anelli nella categoria degli anelli, le applicazioni continue nella categoria degli spazi topologici e così via. Ogni categoria consiste, quindi, di due classi, la prima composta di oggetti e la seconda di morfismi. La classe dei morfismi di una categoria C è usualmente denotata MorC. Qualunque morfismo α di una categoria C ha un unico dominio (oggetto di partenza) A e un unico codominio (oggetto di arrivo) B. Tutti i morfismi con medesimo dominio A e codominio B formano un sottoinsieme Hom_C(A,B) di MorC. Il fatto che α ha dominio A e codominio B può essere espresso con la scrittura α∈Hom_C(A,B) o, facendo uso di frecce, α:A→B. I morfismi di una categoria qualunque C formano un sistema chiuso sotto un’operazione binaria, detta moltiplicazione o composizione. Se infatti α∈Hom_C(A,B) e β∈Hom_C(B,C), esiste un morfismo βα∈Hom_C(A,C). A seconda delle proprietà dei morfismi rispetto a questa operazione, possono essere definite speciali classi. Un morfismo α:A→B è detto monomorfismo se αβ=αβ′ con β,β′∈Hom_C(C,A) implica β=β′, epimorfismo se βα=β′α con β,β′∈Hom_C(B,C) implica β=β′, bimorfismo se è contemporanemente un epimorfismo e un monomorfismo. Un isomorfismo α:A→B è un morfismo dotato di inverso α⁻¹:B→A, ovvero αα⁻¹=id_Β e α⁻¹α=id_Α. Un isomorfismo è sempre un bimorfismo ma il viceversa non è vero in generale.

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