modulo proiettivo
modulo proiettivo
Classe di tutti i moduli su un fissato anello A con omomorfismi di moduli come morfismi (frecce) forma una categoria abeliana, usualmente indicata con i simboli A-mod o ModΑ. Un omomorfismo tra A-moduli è un omomorfismo f:M→N di gruppi abeliani (commutativi) che commuti con la moltiplicazione per elementi di A, ovvero f(am)=af(m). Dati due omomorfismi f1,f2:M→N, la loro somma è definita da (f1+f2)(m)=f1(m)+f2(m). Questa operazione definisce una struttura di gruppo commutativo all’insieme HomΑ(M,N) di tutti gli omomorfismi di M in N, per ogni coppia di A-moduli, e di conseguenza la categoria A-mod è detta appunto abeliana. Sulla categoria A-mod sono definiti due importanti funtori, comunemente indicati Hom e ⊗Α. Il primo ha valori nella categoria dei gruppi abeliani e associa alla coppia di A-moduli M e N il gruppo abeliano HomΑ(M,N). Per f:M1→M e g:N→N1, le applicazioni f′:HomΑ(M,N)→ HomΑ(M1,N) e g′:HomΑ(M,N)→HomΑ (M,N1) sono definite nella maniera ovvia e il funtore Hom è controvariante nel primo argomento e covariante nel secondo. Il funtore ⊗Α porta invece una coppia M,N, dove M è un A-modulo destro e N sinistro, nel prodotto tensoriale M⊗ΑN. Un modulo proiettivo M è definito dalla richiesta che il funtore HomΑ(M,X) (considerato come funtore in X a M fissato) sia esatto. Questo significa che per ogni successione esatta X1α→ X2β→ X3→0 la successione
HomΑ(M,X1)→ α * HomΑ(M,X2) β*→
β* → HomΑ(M,X3)→0
è a sua volta esatta. Il più importante esempio di moduli proiettivi è fornito dai cosiddetti moduli liberi. Ogni A-modulo è inoltre immagine per un morfismo suriettivo (epimorfismo) di un A-modulo proiettivo. I moduli proiettivi sono dunque in un senso specifico universali.