ARMA/ARIMA, modelli di

ARMA/ARIMA, modelli di

Il modello ARMA (acronimo di Autoregressive Moving Average, «autoregressivo e a media mobile») estende il modello autoregressivo considerandone gli errori come serialmente correlati. Formalmente si dice che una serie storica y_t segue un modello ARMA(p, q) se soddisfa la relazione:

y_t=a₀+a₁y_t−1+...+a_py_t−p+ε_t,

dove

ε_t

=u_t+b₁u_t−1+...+b_qu_t−q

è detto processo a media mobile di ordine q o MA(q) (MA sta per Moving Average: ➔ MA) e dove gli errori u_t sono un rumore bianco, cioè una successione di variabili aleatorie incorrelate a media zero e varianza finita. Il modello ARMA può essere considerato come un modo per approssimare le autocovarianze di y_t. La ragione è che qualunque serie temporale y_t con covarianza finita può essere scritta come un AR (➔ autoregressivo, modello) o come un MA con errori incorrelati, sebbene i modelli AR o MA possano richiedere un ordine infinito. Un processo stazionario può essere scritto nella forma di una media mobile. Questo risultato, noto come teorema di rappresentazione di Wold, è uno dei risultati fondamentali alla base dell’analisi delle serie storiche stazionarie. In alcuni casi le autocovarianze possono essere meglio approssimate utilizzando un modello ARMA (p, q) con p e q piccoli piuttosto che un modello AR puro con solo pochi ritardi. Dal punto di vista pratico, tuttavia, la stima dei modelli ARMA è più difficile della stima dei modelli AR, e i modelli ARMA sono più difficili da estendere al caso di regressori addizionali (modelli ADL, ➔ autoregressivo, modello) rispetto ai modelli AR.

In generale, una volta scelto l’ordine (p, q), i parametri di un modello ARMA (p, q) possono essere stimati per es. attraverso lo stimatore di massima verosimiglianza. Come per il modello autoregressivo, la scelta dell’ordine del modello deve rispondere alle esigenze contrapposte di un buon adattamento ai dati e di parsimonia nel numero di parametri da stimare. Nel caso in cui i dati evidenzino la presenza di non stazionarietà, è talvolta possibile rimuovere tale non stazionarietà attraverso la trasformazione in differenze prime, y_t−y_t−1. Il modello ARMA (p, q) applicato ai dati così trasformati prende il nome di modello ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average) con parametri (p, 1, q). La trasformazione dei dati in differenze prime può essere applicata d≥0 volte, ottenendo così il modello ARIMA(p, d, q). In particolare, il modello ARIMA(p, 0, q) coincide con il modello ARMA(p, q). Un semplice esempio di modello ARIMA è dato dalla passeggiata aleatoria y_t=y_t−1+u_t, che è un ARIMA(0, 1, 0).