metrica
metrica
mètrica [s.f. dall'agg. metrico] [ALG] Generalizzazione, per un insieme astratto, del concetto di misura della distanza dell'ordinario spazio euclideo (v. oltre), consistente in una funzione che associa a ogni coppia di elementi (x, y) dell'insieme un numero reale μ(x, y) positivo o nullo in modo tale che si abbia μ(x, y)=μ(y, x), μ(x, y)=0 se e solo se x coincide con y, μ(x, y)+μ(x, z)≥μ(z, y); l'insieme in cui sia introdotta una metrica diventa allora uno spazio topologico, in quanto vi si può definire il concetto di intorno di un punto; un esempio di m. in uno spazio a n dimensioni, per estensione del caso dello spazio euclideo (in cui il quadrato della distanza tra due punti è dato dalla somma dei quadrati delle differenze delle coordinate dei due punti), è dato da una forma quadratica definita positiva non degenere, funzione delle differenze tra le coordinate di due punti. ◆ [RGR] M. della gravitazione: v. gravitazione: III 97 a. ◆ [RGR] M. di spazio-tempo: v. relatività generale: IV 786 b. ◆ [ALG] M. di una varietà differenziabile finito dimensionale: m. sulla varietà, tale che il quadrato ds2 della distanza infinitesima tra due punti vale ds2=Σaij(x)dxidxj, con i e j da 1 a n, dove n è la dimensione della varietà, x₁, ..., xn sono le coordinate di punto e aij sono i coefficienti di una forma quadratica non degenere. ◆ [ALG] M. ellittica: m. riemanniana nella quale la distanza tra due punti è la lunghezza del più piccolo arco di geodetica che li congiunge (per es., su una superficie sferica tale distanza è quella lungo l'arco di cerchio massimo interessato). ◆ [ALG] M. euclidea: la m. dell'ordinario spazio tridimensionale e la sua diretta estensione multidimensionale. ◆ [RGR] M. fisicamente non equivalenti: v. relatività generale, soluzioni della: IV 806 b. ◆ [RGR] M. hermitiana su un Cn-fibrato: v. fibrati: II 572 c. ◆ [ALG] M. indefinita: m. con forma quadratica ma non definita positiva, lo stesso che m. non riemanniana, per es. la m. dello spazio relativistico (o di Minkowski), nella quale il quadrato della distanza (quadridimensionale) tra due punti è pari alla differenza tra il quadrato della distanza temporale e il quadrato dell'ordinaria distanza spaziale, e può quindi essere positivo, negativo o nullo. ◆ [RGR] M. indotta: v. gravitazionale, dinamica del campo: III 87 a. ◆ [ALG] M. iperbolica normale: lo stesso che m. lorentziana (v. oltre). ◆ [ALG] M. localmente, e globalmente, piatta: v. varietà riemanniane: VI 500 c, d. ◆ [RGR] M. lorentziana: v. varietà riemanniane: VI 497 e. ◆ [ALG] M. proiettiva: m. che si può introdurre in uno spazio proiettivo in modo da renderlo uno spazio metrico; essa si assegna fissando l'assoluto, ossia un'ipersuperficie quadrica nello spazio proiettivo in esame; per es., nel caso del piano si deve fissare una conica Γ e si definisce la distanza di due punti a, b del piano come il logaritmo del birapporto (a, b, x, x'), dove x e x' sono i punti in cui la retta per a e b incontra Γ. L'ordinaria m. del piano euclideo si può ottenere come caso particolare di m. proiettiva in relazione a un'opportuna scelta di Γ. ◆ [RGR] M. relativistica: lo stesso che m. indefinita (v. sopra) e v. anche relatività generale: IV 785 d. ◆ [ALG] M. riemanniana: ogni m. rappresentata da una forma quadratica non degenere definita positiva, per es. quella dello spazio ordinario e a n dimensioni: v. varietà riemanniane: VI 499 c.