metodo Monte Carlo

metodo Monte Carlo

Metodo che consiste nell’applicazione di procedimenti aleatori per lo studio di proprietà fisiche o di grandezze matematiche complicate. Il procedimento, introdotto da Nicholas Metropolis, deve il suo nome al casinò di Montecarlo, preso come sede prototipo degli eventi aleatori. Oggi possiamo utilmente dividere i procedimenti di tipo Monte Carlo in due classi: Monte Carlo di equilibrio e Monte Carlo cinetico. Il metodo Monte Carlo di equilibrio serve per calcolare (mediante un gran numero di esempi scelti in base a un’accurata valutazione del loro peso statistico, interpretato come probabilità) quantità fisiche o matematiche complesse, che a volte, in linea di principio, si potrebbero valutare in modo esatto, ma con la necessità di impiegare un lunghissimo tempo di calcolo. Anche il metodo Monte Carlo richiede un tempo di calcolo, ma che non cresce rapidamente con la complessità del problema (per es. con il numero di particelle coinvolte); ciò perché non si cerca di prendere esattamente in considerazione tutte le eventualità possibili, ma solo un insieme convenientemente scelto di esse. S’introduce un processo stocastico tale che le medie nel corso del processo stesso o i limiti a cui il processo tende forniscano (esattamente, se il numero di realizzazioni è infinitamente grande) le quantità che si desidera calcolare. In matematica, per effettuare un integrale in una variabile il metodo Monte Carlo è meno efficiente di un metodo classico d’integrazione, come quello di Simpson, ma per effettuare un integrale multiplo con 100 variabili il metodo di Simpson richiederebbe di valutare la funzione in ca. 10¹⁰⁰ punti, cosa che va molto al di là del fattibile; il metodo Monte Carlo risulta pertnato l’unica possibilità. In fisica, il metodo Monte Carlo permette in molti casi di scoprire lo stato di equilibrio a una certa temperatura T di un sistema attraverso un procedimento (dovuto anch’esso a Metropolis) di passi successivi, in cui ogni passo è accettato se fa diminuire l’energia mentre, se la fa aumentare, è accettato solo con una probabilità definita da un fattore di Boltzmann corrispondente alla temperatura T. Il metodo Monte Carlo cinetico simula, invece, un processo fisico che si svolge nel tempo ed è pertanto più delicato. Qui non ci si accontenta di un processo stocastico che descriva in media, o per tempi lunghissimi, la situazione fisica, ma si cerca di ricostruirla passo dopo passo; naturalmente tale ricostruzione è in linea di principio imperfetta (altrimenti sapremmo risolvere il problema esattamente), ma l’errore può essere reso piccolo, e in casi fortunati piccolo a piacere. Per la sua relativa semplicità, il metodo Monte Carlo cinetico consente di studiare processi complicati con tempi di calcolo lunghi (dinamica molecolare, funzionale della densità ecc.), che non potrebbero essere indagati con metodi più raffinati ma più lenti. Così, per es., in uno studio teorico sulla crescita di un cristallo tali metodi vengono tipicamente utilizzati per fornire i parametri che poi entrano come input in un calcolo Monte Carlo con cui sarà descritta complessivamente la crescita.

(A. L.) → Crescita di superfici; Probabilità; Sistemi dispersi