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Runge-Kutta, metodo di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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Runge-Kutta, metodo di


Runge-Kutta, metodo di locuzione che indica una famiglia di metodi numerici per la risoluzione di equazioni differenziali i quali, per la stima dell’integrale soluzione dell’equazione, usano il metodo di quadratura noto come metodo di → Cavalieri-Simpson. Tutti i metodi di Runge-Kutta che risolvono numericamente il problema di → Cauchy y' = ƒ(x, y) con la condizione iniziale y' (x0) = y0 possono essere ricondotti alla formula generale:

formula

dove Φ(xi, yi, h) è detta funzione incremento. In Φ compaiono i valori della pendenza della curva integrale calcolati in punti diversi e indicati con k1, k2, ..., ki; h è il passo dell’integrazione. Il valore di k1 = ƒ(xi, yi) viene usato per il calcolo di k2 in un punto intermedio tra xi e xi+1; k1 e k2 si utilizzano per calcolare k3 e così via con iterazioni successive. A seconda del tipo di funzione incremento che si usa (ossia di quanti valori di k si utilizzano), si ha un metodo di Runge-Kutta di ordine differente. Nel metodo di Runge-Kutta del primo ordine la funzione incremento si scrive Φ = ƒ(xi, yi) e il metodo si riduce in pratica al metodo di → Eulero. All’aumentare dell’ordine del metodo, aumenta la precisione dell’approssimazione, ma anche la complessità del calcolo. Il metodo più usato è del quarto ordine, perché non richiede calcoli troppo complicati e dà risultati molto precisi. Per determinare il valore y1 a partire dalle condizioni iniziali y' (x0) = y0, si approssima la pendenza della curva integrale nei punti di rispettiva ascissa

formula

Il metodo richiede il calcolo di quattro valori di k:

formula

e analogamente:

formula

Si osservi che nel calcolo di ki compare il valore precedente ki−1. Per integrare la y' (x0) tra x0 e xi, si utilizza il metodo di Cavalieri-Simpson:

formula

Si assume poi come stima del termine centrale la media tra i valori di k2 e di k3:

formula

L’approssimazione di y1 risulta quindi:

formula

Successivamente, dall’approssimazione così ottenuta di y1 si può ricavare y2, da questa y3, e così via. Si consideri per esempio l’equazione differenziale y′ = −2y, con condizione iniziale y(0) = y0 = 1. Si vuole stimare il valore y(1), utilizzando il metodo di Runge-Kutta di ordine 4, con un passo di integrazione h = 0,5. Dopo il primo passo di integrazione si ottiene la stima per y(0,5):

formula

dove

formula

Ripetendo il procedimento con il valore

formula

si ottiene l’approssimazione desiderata:

formula

Confrontando il risultato ottenuto con il valore della funzione y = e−2x, che è l’esatta curva integrale dell’equazione differenziale data, y ≅ 0,135335, si ottiene un errore assoluto pari a 0,00529 e un errore relativo pari al 3,9%: un risultato apprezzabile, considerato che è stato ottenuto con due soli passi di integrazione. Diminuendo il passo di integrazione, per esempio ponendo h = 0,1, con calcoli analoghi a quelli precedentemente effettuati, si può verificare che gli errori relativi diminuiscono sino a un valore dello 0,005%.

Tag
  • EQUAZIONE DIFFERENZIALE
  • PROBLEMA DI → CAUCHY
  • METODO DI → EULERO
  • ASCISSA
Vocabolario
mètodo
metodo mètodo s. m. [dal lat. methŏdus f., gr. μέϑοδος f., «ricerca, indagine, investigazione», e anche «il modo della ricerca», comp. di μετα- che include qui l’idea del perseguire, del tener dietro, e ὁδός «via», quindi, letteralmente...
metodista
metodista s. m. e f. e agg. [der. di metodo; nel sign. 1, dall’ingl. methodist, der. di method «metodo»] (pl. m. -i). – 1. Nome dato, dapprima dai loro avversarî, a coloro che, nel primo Settecento, aderirono al movimento religioso propagato...
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