esaustione, metodo di

esaustione, metodo di

esaustione, metodo di tecnica usata dagli antichi geometri greci, in particolare da Eudosso di Cnido e da Archimede, per risolvere problemi geometrici quali la determinazione di aree di figure piane e volumi di solidi a contorni curvilinei o, meglio, per convalidare, dimostrandola, la soluzione proposta. Tale tecnica equivale dal punto di vista logico a un passaggio al limite, ma non fa mai uso di procedimenti infiniti. Ci si limita infatti a dimostrare che la grandezza da determinare non può essere né minore né maggiore di una data grandezza, mediante una riduzione all’assurdo. Per esempio, volendo dimostrare che una certa area (o volume) ha un determinato valore, si suppone che abbia invece un valore minore o maggiore e, considerando una successione di figure inscritte o circoscritte a quella in esame, si dimostra che da entrambe le ipotesi seguirebbe un assurdo. Il metodo consiste sostanzialmente nell’esaurire lo spazio compreso tra le figure interne all’area che si considera e quelle esterne all’area stessa. La tecnica dunque non è costruttiva, ma dimostrativa: bisogna conoscere preventivamente il risultato, ottenuto magari per intuizione o con metodi considerati non ortodossi (per esempio, nel caso di Archimede, mediante il principio della leva, come se le figure fossero composte da bastoncini).

Per esempio, dato un segmento di parabola delimitato da una corda AB, perpendicolare all’asse della parabola, di punto medio H, si considerano le corde parallele ad AB, e si mostra che esse sono tutte bisecate da un diametro VH, essendo V il vertice della parabola. La tangente alla parabola in V è parallela ad AB e con le parallele a VH condotte per A e B determina un rettangolo circoscritto, la cui area è P. Allora per dimostrare che il segmento di parabola dato ha area S pari ai 2/3 di P, Archimede procede così:

• parte dalla constatazione che S è certamente minore di P e maggiore dell’area del triangolo VAB inscritto, che è T = P/2. Dunque la differenza S − T è minore di T;

• mostra poi che, inscrivendo nei due segmenti parabolici restanti, di basi VA e VB, due altri triangoli, la loro area complessiva è uguale a 1/4 di T, e che quindi S > S1 = T + T /4, ma anche S − S1 < T /4;

• inscrivendo altri quattro triangoli nei segmenti restanti, mostra che si copre un’ulteriore area pari aT /16; perciò S > S2 = T + T /4 + T /16, con S − S2 < T /16, e così via;

• mostra poi che, data una progressione geometrica di ragione 1/4, del tipo q0, q1 = q0/4, …, la somma dei primi n termini aumentata di 1/3 dell’ultimo addendo q_n uguaglia i 4/3 del primo termine q0, cioè che q0 + q1 + … + q_n + q_n /3 = (4/3)q0; nel caso in esame, S_n + (1/3)(T /4ⁿ) = (4/3)T;

• ma la quantità R_n = (1/3)(T /4ⁿ) decresce in proporzione geometrica, e mostra, mediante l’assioma di → Eudosso-Archimede, che per n abbastanza grande essa diventa minore di un’area σ presa ad arbitrio;

• a questo punto può dichiarare che l’area del segmento è proprio S = (4/3)T: se infatti assumesse un valore S′ < (4/3)T, si potrebbe trovare n tale che (4/3)T − S_n = R_n < σ = (4/3)T − S′, assurdo perché è sempre S_n < S′;

• analogamente, l’area non può assumere un valore S″ > (4/3)T, perché la differenza S″ − S_n è minore di R_n, ma ciò è incompatibile con il fatto che S_n < (4/3)T implica che S″ − S_n non è mai minore di σ = S″ − (4/3)T;

• non potendo essere l’area né minore né maggiore di (4/3)T, deve valere necessariamente S = (4/3)T.

Il metodo dunque fornisce la dimostrazione di un risultato noto all’autore. Applicato invece al caso dell’area del cerchio, esso permette di ottenere delle stime di π tra cui la famosa 3 + 10/71 < π < 3 + 1/7 (→ Archimede, metodo di (per pi greco)).

Il metodo di esaustione fu così denominato nel 1647 dal matematico fiammingo Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) nel volume Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni (Opera geometrica della quadratura del cerchio e delle sezioni del cono, 1647), che ebbe larga risonanza nel Seicento.