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bisezione, metodo di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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bisezione, metodo di


bisezione, metodo di (per la risoluzione di una equazione) procedimento numerico iterativo per la determinazione di una soluzione di un’equazione ƒ(x) = 0, all’interno di un intervallo chiuso [a, b] dove la funzione ƒ è continua e nei cui estremi assume valori di segno opposto. Poiché una soluzione dell’equazione è uno zero per la funzione, l’esistenza di almeno uno zero in tale intervallo è garantita dal teorema di esistenza degli zeri (→ zeri di una funzione, teorema di esistenza degli); a meno che la funzione non sia monotòna, il metodo non garantisce che la soluzione trovata sia l’unica nell’intervallo considerato.

Il procedimento consiste nel dividere l’intervallo assegnato in due sottointervalli mediante il punto medio c e, se la funzione ƒ non si annulla in c (nel qual caso c è una soluzione), nel considerare quello dei due sottointervalli nei cui estremi ƒ assume valori di segno opposto; in tale sottointervallo si ripete il procedimento. Procedendo in questo modo o si perviene, dopo un numero finito di iterazioni, a un punto in cui ƒ è nulla oppure si genera una successione di intervalli [an, bn], ciascuno ottenuto dimezzando il precedente, i cui estremi convergono a una soluzione dell’equazione.

Se per esempio, ƒ(a) < 0 e ƒ(b) > 0 allora, ponendo a = a0 e b = b0 si determinano il punto medio dell’intervallo

formula

e il valore ƒ(c0) che la funzione assume in quel punto. Si ha che:

• se ƒ(c0) ha segno diverso da ƒ(a0), cioè se ƒ(a0) · ƒ(c0) < 0, uno zero della funzione si trova nel sottointervallo di sinistra [a0, c0], per cui si può procedere con l’iterazione ponendo a1 = a0 e b1 = c0 e calcolando il punto medio

formula

• se ƒ(a0) · ƒ(c0) > 0, uno zero si trova nel sottointervallo di destra [c0, b0], per cui si sceglie a1 = c0 e b1 = b0;

• se ƒ(a0) · ƒ(c0) = 0 allora c0 è uno zero.

Il metodo procede scegliendo il sottointervallo opportuno nei cui estremi la funzione assume segni opposti. Nell’esempio in figura, alla prima e seconda iterazione si sceglie l’intervallo a destra, mentre dopo la seconda, si considera l’intervallo di sinistra, poiché la funzione assume agli estremi c2 e b valori entrambi positivi; si calcola così c3. Se non risulta per qualche i, ƒ(ci) = 0, si viene a costruire una successione di sottointervalli, ciascuno contenuto nel precedente e di ampiezza pari alla sua metà

formula

Poiché la soluzione è sicuramente contenuta all’interno dell’intervallo, l’errore assoluto che si commette con questo metodo è

formula

Tale errore è massimo quando la soluzione esatta si trova in prossimità di uno degli estremi, mentre è minimo quando la soluzione è prossima al centro dell’intervallo stesso. Per una stima dell’errore relativo del metodo di bisezione, poiché non si conosce il valore esatto della soluzione cercata, se ne considera una stima attraverso la quantità

formula

Nel metodo di bisezione è sempre possibile controllare il limite superiore dell’errore: tale caratteristica, unita alla convergenza della successione delle approssimazioni, rende questo metodo uno dei più affidabili.

METODO DI BISEZIONE (PER LA RISOLUZIONE DI UNA EQUAZIONE)

Vedi anche
radice Anatomia e medicina La porzione d’impianto di un organo in accrescimento (r. del pelo, r. dell’unghia), oppure l’elemento morfologico che dà fissità a un organo (r. del dente, della lingua) o che ne costituisce il tratto iniziale (r. dei nervi), o, infine, struttura che dà origine ad altre (r. della ... calcolo numerico Parte dell’analisi matematica che si occupa della ricerca di algoritmi per la risoluzione numerica di problemi quali l’approssimazione di funzioni e l’integrazione di equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali, quando questi problemi non siano risolubili per via analitica. Generalità Il ... convergenza Antropologia Insieme di rassomiglianze e parallelismi esistenti fra elementi culturali elaborati da popolazioni differenti e lontane. Secondo la teoria della c. sostenuta nella seconda metà del 19° sec. da A. Bastian e R. Andree, ciò sarebbe dovuto alla fondamentale unità del pensiero umano (Elementargedanken) ... equazione Matematica Definizioni Si chiama e. un’uguaglianza tra due espressioni contenenti una o più variabili ovvero una o più funzioni o anche enti di natura più generale ( incognite dell’e.); se essa è soddisfatta, qualunque sia la determinazione delle variabili o delle funzioni o degli enti che sono presenti ...
Tag
  • TEOREMA DI ESISTENZA DEGLI ZERI
  • METODO DI BISEZIONE
  • INTERVALLO CHIUSO
Vocabolario
bisezióne
bisezione bisezióne s. f. [comp. di bi- e del lat. sectio -onis «divisione»]. – Operazione mediante la quale si divide in due parti uguali un angolo piano (o un diedro). In trigonometria, formule di b., formule che consentono di calcolare...
mètodo
metodo mètodo s. m. [dal lat. methŏdus f., gr. μέϑοδος f., «ricerca, indagine, investigazione», e anche «il modo della ricerca», comp. di μετα- che include qui l’idea del perseguire, del tener dietro, e ὁδός «via», quindi, letteralmente...
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