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Archimede, metodo di

Enciclopedia della Matematica (2013)
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Archimede, metodo di


Archimede, metodo di (per pi greco) procedura geometrica formulata da Archimede per il calcolo approssimato di π (da cui anche il nome di numero di Archimede, attribuito a volte a π). Nel metodo di Archimede si considera innanzitutto π come il numero che esprime l’area del cerchio di raggio unitario e, conseguentemente, si costruisce la successione delle aree dei poligoni regolari inscritti in tale cerchio e aventi un numero sempre maggiore di lati. Indicata con an l’area del poligono regolare inscritto nel cerchio di raggio unitario e avente 2n lati, per n = 2, 3, 4, ..., si ha che:

• per n = 2 il poligono ha 22 lati ed è il quadrato avente le diagonali di lunghezza 2,

• per n = 3 si ottiene un ottagono regolare,

• per n = 4 si ha un poligono regolare di 16 lati, e così via.

Si consideri il caso n = 3; sia AB il lato dell’ottagono regolare di centro O, sia H il piede della perpendicolare a OA tracciata da B; si generalizzi quindi il ragionamento per un intero n ≥ 2 qualsiasi.

Poiché OA = OB = 1, BH = sinαn, con αn = 360°/2n, l’area an del poligono regolare di 2n lati risulta:

formula

Si ottiene una successione {an} di valori numerici che approssimano l’area del cerchio. È una successione convergente e π è il valore a cui converge (per n tendente all’infinito). Si noti che per ogni poligono l’ampiezza dell’angolo αn è metà di quella del poligono precedente:

formula

Per la formula di bisezione per il seno:

formula

da cui

formula

dove si è indicato per semplicità sn = sinαn. Si ha così una regola ricorsiva per la costruzione della successione {an}. Nei casi particolari del quadrato e dell’ottagono, si ha:

• per n = 2, a2 = 21 · 1 = 2 (area del quadrato, essendo α2 = 90° e s2 = sin(90°) = 1);

• per n = 3, s3 si ricava da s2 con la formula di bisezione, ed è pari a 1/2, quindi:

formula

(area dell’ottagono inscritto).

Un algoritmo di calcolo per valori approssimati di π può quindi essere costruito introducendo un indice i, tale che 2i è il numero dei lati del poligono considerato, e una variabile l che indica il numero dei lati del poligono che lo precede nella successione di figure; s è una variabile che indica il seno dell’angolo α. Si ha, quindi:

formula

Al crescere di n, la successione delle aree {an} che così si costruisce tende a π. I valori ottenuti sono approssimazioni per difetto di π; si può costruire una successione {An} di sue approssimazioni per eccesso considerando una successione di poligoni regolari circoscritti al cerchio, aventi 2n lati (con n ≥ 2). A partire dalle due successioni {a} e {An}, si può ottenere una migliore approssimazione di π considerando la successione delle medie geometriche dei corrispondenti valori (per difetto e per eccesso) delle due successioni.

METODO DI ARCHIMEDE PER IL CALCOLO DI ¿

Tag
  • POLIGONO REGOLARE
  • OTTAGONO REGOLARE
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  • PI GRECO
Vocabolario
mètodo
metodo mètodo s. m. [dal lat. methŏdus f., gr. μέϑοδος f., «ricerca, indagine, investigazione», e anche «il modo della ricerca», comp. di μετα- che include qui l’idea del perseguire, del tener dietro, e ὁδός «via», quindi, letteralmente...
Disforia di genere
disforia di genere loc. s.le f. Condizione di intensa e persistente sofferenza causata dal sentire la propria identità di genere diversa dal proprio sesso anatomico. ♦ «Come ha appena detto la compagna transgender...». I delegati di fabbrica...
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