MEMBRANE e LASTRE

MEMBRANE e LASTRE

. In meccanica razionale si designano con questi nomi quei corpi, che si possono schematizzaare in sistemi materiali a due dimensioni, analoghi, rispettivamente, ai sistemi materiali a una sola dimensione, costituiti dai fili e dalle verghe (v. fili e verghe).

Membrane. - Membrana è detto in meccanica ogni sistema materiale perfettamente flessibile, geometricamente rappresentato da una superficie. Un tessuto, una lamina liquida, un velo elastico, ecc., aventi spessore piccolissimo in confronto all'area, e tali da opporre una resistenza assai piccola al piegamento, sono schematizzabili in una membrana. Una membrana si dice inestensibile se, segnata su essa una linea qualsivoglia, l'arco compreso fra due punti di tale linea non varia, comunque si deformi la superficie.

Statica delle membrane. - Una membrana sia in equilibrio sotto l'azione di forze esterne assegnate: si tagli la membrana secondo una sua linea. Perché una delle due parti, in cui risulta decomposta la membrana, stia ancora in equilibrio, basta aggiungere alle altre forze che agiscono su essa il sistema delle forze traducente l'azione della parte contigua. Tale sistema di forze è costituito da forze, sempre tangenti alla membrana, volgenti verso la parte contigua, che agiscono sui singoli elementi del taglio. Il rapporto tra la forza agente su un elemento contenente un punto del taglio e la lunghezza dell'elemento considerato rappresenta, in quel punto, la tensione relativa a quell'elemento. Il problema generale dell'equilibrio di una membrana, assoggettata a forze esteme assegnate e a dati vincoli, consiste nel determinare la superficie, secondo cui si atteggia la membrana, e nel valutare la tensione relativa a ogni elemento di linea tracciata su questa superficie.

Una membrana flessibile sia sollecitata, su ogni elemento dσ della sua superficie σ, da una forza esterna Fdσ, e, su ogni elemento dγ del contorno γ, dalla forza fdγ. Si considerino su σ due famiglie di linee fra loro ortogonali, individuate dai versori u e v. Sia T_u la tensione relativa a un elemento ds_v, avente per normale u. Sia T_v la tensione relativa a un elemento ds_u, avente per normale v. Sussiste la seguente equazione indefinita di equilibrio:

E inoltre la componente di T_u secondo v coincide con la componente di T_v secondo u. L'equazione vettoriale ora scritta equivale a tre relazioni scalari, che si ottengono proiettando la (1), ad es., secondo u, secondo v, secondo la normale a σ. Nelle prime due intervengono elementi geometrici, che dipendono soltanto dalla metrica di σ; nella terza intervengono elementi geometrici che dipendono dalla configurazione della superficie. Accanto alla (1) bisogna porre le condizioni al contorno, che esprimono che le tre forze T_uds_v, T_vds_u, fdγ si fanno equilibrio in ogni punto del contorno stesso. Le equazioni indefinite unite alle condizioni al contorno sono necessarie per l'equilibrio delle membrane (Lagrange, Poisson, Beltrami), ma non individuano, in, generale, la configurazione di equilibrio e le tensioni, se non quando si conosca qualche ulteriore condizione fra le tensioni, o si conosca la deformazione di ogni elemento di membrana in funzione delle tensioni. Così, nel caso di una lamina liquida (ad es., d'acqua saponata), le tensioni sono perpendicolari agli elementi a cui si riferiscono, e quindi T_u = Tu, T_v = Tv: le tensioni sono dunque individuate da un unico scalare T, che si dice tensione superficiale. Se sulla lamina non agisce nessuna forza esterna, astrazion fatta che sul contorno, cioè se F = 0, dalla (1) si deduce che T è costante e che è nulla la curvatura media della lamina. La lamina, nella sua configurazione di equilibrio, si atteggia secondo una superficie di area minima, cioè che ha la più piccola area rispetto alle superficie (non troppo lontane) terminanti al medesimo contorno (J. Plateau, Lagrange).

Se una membrana è tesa su una superficie rigida assegnata la superficie secondo cui essa si atteggia è conosciuta, e tutto è ridotto a determinare le tensioni relative a ogni elemento lineare. Se la superficie rigida è liscia, le due relazioni ottenute proiettando la (1) secondo u e secondo v sono le equazioni indefinite di questo problema. Queste relazioni sono intrinseche, perché in esse compaiono soltanto elementi geometrici che dipendono dalla metrica della superficie, e non dalla sua forma e dalla sua posizione nello spazio.

Dinamica delle membrane. - Lo studio del moto delle membrane si può ricondurre a quello del loro equilibrio aggiungendo (in virtù del principio di d'Alembert) alle forze che determinano il movimento le forze d'inerzia. Particolarmente notevole è il caso delle membrane vibranti. Una membrana omogenea inestensibile giaccia in un piano e sia tesa al contorno da una forza, normale a questo, avente intensità costante f. Se si dà un piccolo spostamento a ogni punto della membrana, perpendicolarmente al suo piano, la deformazione si propaga con velocità eguale alla radice quadrata del rapporto fra f. e la densità superficiale ρ della membrana.

Se x, y, z sono le coordinate cartesiane ortogonali di un punto dello spazio e la membrana, nella configurazione di equilibrio, giace nel piano x. y, i piccoli movimenti trasversali della membrana sono individuati, quando si conosca lo spostamento z in ogni punto e in ogni istante t; la z ubbidisce alla seguente equazione indefinita di secondo ordine:

Se, ad es., si considera una membrana rettangolare, fissata al contorno, l'integrazione della (2) si può fare mediante una doppia serie trigonometrica a coefficienti indeterminati (v. fourier: Serie di F.); lo stato iniziale del movimento determina tali coefficienti. Ogni termine della serie corrisponde a un movimento armonico, la cui frequenza è individuata da una coppia di numeri interi.

Le vibrazioni trasversali di una membrana risultano dalla composizione d'infiniti movimenti armonici, o suoni, di differente intensità, costituenti una scala infinita, discontinua, che dal suono più grave giunge ai più acuti. Lo stato iniziale del movimento determina appunto queste differenti intensità (G. Riccati, Poisson, Poincaré). Queste proprietà spiegano l'ufficio delle membrane che si trovano nell'orecchio, come, ad es., il timpano, e delle varie membrane usate in acustica. A parità di condizioni, in membrane simili, il rapporto delle frequenze dei singoli suoni è reciproco del rapporto di similitudine. Quanto è stato detto per le membrane piane inestensibili si può generalizzare, considerando membrane curve inestensibili o estensibili. In quest'ultimo caso le membrane, oltre che trasversalmente, possono vibrare anche longitudinalmente.

Lastre. - Lastra è detto in meccanica ogni sistema materiale, non perfettamente flessibile, rappresentato geometricamente da una superficie. Esso schematizza, ad es., il caso concreto di una lamina metallica il cui spessore, pur trascurabile nei riguardi della configurazione geometrica, non lo è rispetto agli effetti della sollecitazione.

Statica delle lastre. - Una lastra sia in equilibrio sotto l'azione di una sollecitazione continua superficiale e di un sistema di forze applicate al contorno. Si pratichi un taglio lungo una linea della lastra; perché una delle due parti in cui risulta decomposta la lastra stia ancora in equilibrio, basta aggiungere alle altre forze che su essa agiscono il sistema di forze traducente lazione della parte contigua. Su un elemento di taglio agisce un sistema di forze avente risultante e momento, rispetto a un punto dell'elemento considerato non nulli, in generale, e, a priori, comunque diretti. Il rapporto fra questa risultante e l'elemento al quale si riferisce si dice sforzo risultante; il rapporto fra questo momento e l'elemento al quale si riferisce si dice momento risultante degli sforzi. Perché, per una lastra in equilibrio, sia determinabile la configurazione geometrica e, per ogni elemento di linea su essa tracciata, lo sforzo risultante e il momento risultante degli sforzi, bisogna che sia nota, oltre alla sollecitazione continua sulla superficie della lastra e alla sollecitazione al contorno, la struttura materiale del sistema.

Una lastra sia sollecitata da una forza esterna Fdσ, agente su ogni elemento di superficie σ, e da un sistema di forze agenti sul contorno. Si considerino su σ due famiglie di linee fra loro ortogonali, individuate dai versori u e v. Siano Φ_u e C_u lo sforzo risultante e il momento risultante degli sforzi relativi a un elemento ds_v, avente per normale u; siano Φ_v e C_v lo sforzo risultante e il momento risultante degli sforzi relativi a un elemento ds_u, avente per normale v. Sussistono le seguenti equazioni indefinite di equilibrio:

E inoltre la componente di Φ_u secondo v coincide con la componente di Φ_v secondo u, la componente di C_u secondo u è opposta alla componente di C_v secondo v. Le (3), (4), unite alle condizioni al contorno, non sono, in generale, sufficienti a caratterizzare l'equilibrio della lastra; a esse bisogna aggiungere ulteriori condizioni relative agli sforzi, che soltanto la conoscenza della struttura del sistema può suggerire.

Per una lastra elastica, la cui configurazione di equilibrio, in assenza di sollecitazione attiva, è piana, e che è soggetta soltanto a sollecitazioni normali che non la estendano, ma soltanto la pieghino la struttura materiale del sistema suggerisce che l'energia potenziale della lastra incurvata sia funzione quadratica delle sue curvature (S. Germain, G. R. Kirchhoff).

Se la configurazione della lastra non sollecitata coincide con il piano x, y, la lastra incurvandosi, per azione della sollecitazione continua F, parallela all'asse z (perpendicolare al piano x, y), si atteggia secondo una superficie la cui equazione differenziale si può scrivere sotto la forma (Lagrange):

nella quale L rappresenta un coefficiente d'inflessibilità, dipendente dalla natura della lastra.

Dinamica delle lastre. - Lo studio del movimento delle lastre si riconduce a quello del loro equilibrio, aggiungendo alla sollecitazione le forze d'inerzia. Particolarmente notevole è il caso delle lastre vibranti: siano esse piane, come, ad es., le lamine telefoniche o i diaframmi fonografici, o curve, come, ad es., le campane. Una lastra elastica può essere soggetta a vibrazioni longitudinali e trasversali. Le prime sono analoghe a quelle delle membrane elastiche, le seconde sono più complesse per le lastre che per le membrane. Anche le lastre, come le membrane, dànno, vibrando, una scala infinita, discontinua di suoni, ognuno dei quali si può porre in corrispondenza con una coppia di numeri interi. Le intensità di tali suoni dipendono dalle condizioni iniziali (E. Chladni, Poisson, Kirchhoff). Queste proprietà giustificano appunto l'impiego acustico e telefonico delle lastre.

Sia z l'ampiezza, in ogni istante t, delle vibrazioni trasversali di una lastra piana omogenea, la cui configurazione di equilibrio coincide con il piano x, y; la z soddisfa alla seguente equazione differenziale di quarto ordine:

dove c è una costante che dipende unicamente dalla natura della lastra.

Bibl.: Per la statica delle membrane: E. Beltrami, Sull'equilibrio delle superfici flessibili ed inestensibili, in Mem. dell'Acc. delle sc. di Bologna, s. 4ª, III; B. Finzi, Meccanica dei sistemi continui non euclidei, in Rend. del R. Ist. lomb., LXII. Per la statica delle lastre: J. W. Geckeler, Handbuch der physikalischen und technischen Mechanik, III, i, Lipsia 1927. Per le vibrazioni delle membrane e delle lastre: J. W. S. Rayleigh, The Theory of Sound, Londra 1926, cap. 10°, 10°-A. Per le notizie bibliografiche: Encycl. der math. Wiss., IV, 6, n. 24; IV, 25, nn. 14, 20; IV, 26, nn. 4, 5, Lipsia 1901-1914.