media

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Misura anche nota come ‘valore medio’. Il concetto di m. assume connotazioni diverse a seconda del contesto. Dato un insieme di n numeri, si definisce come loro m. la quantità x̄̄=Σ_ix_i/n. La m. così definita è anche chiamata m. aritmetica. Se a ciascun numero x_i è assegnato un peso diverso da 1/n, si ottiene la media ponderata x._w‒=Σ_iw_ix_i, in cui i numeri w_i sono chiamati pesi. ● Se {x₁,...,x_n} sono i valori possibili di una variabile aleatoria discreta X (➔ variabile aleatoria), si definisce m. o valore atteso di X  la m. ponderata E(X)=Σ_ip_ix_i , dove il peso p_i è uguale alla probabilità che X assuma il valore x_i. Si noti che, invece della notazione x., in questo caso si usa la notazione μ_x oppure E(X), dove la lettera E deriva dall’inglese expectation, cioè valore atteso.

Se X è una variabile aleatoria continua, la definizione di m. è analoga, ma la somma è sostituita da un integrale, mentre i pesi sono proporzionali alla densità f della distribuzione (➔ distribuzione di probabilità). In questo caso, E(X)=ʃx.(x)dx.

Infine, se {x₁,...,x_n} sono n osservazioni su una variabile ottenute con campionamento casuale semplice (➔ campione statistico) da una popolazione data, allora la m. Σ_iⁿx_i/n è detta m. campionaria. Poiché il campione è costituito da n repliche di una stessa variabile aleatoria, la m. campionaria è anch’essa una variabile aleatoria e può anche essere vista come la m. associata alla distribuzione empirica indotta dal campione (➔ distribuzione empirica). Si dimostra che, sotto condizioni molto generali, la m. campionaria è uno stimatore (➔) non distorto della m. della popolazione da cui il campione è stato estratto.

Proprietà della media

La m., comunque definita, gode di due importanti proprietà matematiche: linearità e monotonia (➔ monotono). Si considerino due variabili aleatorie X e Y con m. finita. La m. è lineare perchè, data una qualunque combinazione lineare di X e Y, Z=aX+bY dove a,b sono due numeri qualsiasi, allora E(Z)=a E(X)+b E(Y). La m. è monotona poichè, se per es. X≥Y con probabilità 1, allora E(X)≥E(Y).

Media condizionata

Date due variabili aleatorie X e Y, definite sullo stesso spazio di probabilità (➔), la m. condizionata di Y dato X=x è la m. della distribuzione condizionata di Y dato X=x e si indica con μ(x) oppure E(Y∣X=x). La m. condizionata di Y dato X=x è semplicemente un numero e, in generale, varia al variare di x. Si definisce m. condizionata di Y dato X la variabile aleatoria μ(X)=E(Y∣X). Tale variabile aleatoria ha m. uguale a E[μ(X)]=E[E(Y∣X)]=E(Y), un risultato noto come legge delle medie iterate. Per es., siano X e Y due variabili aleatorie con distribuzione congiunta gaussiana, medie μ_x e μ_y, varianze σ²_x e σ²_Y, e covarianza Cov(X,Y)=ρσ_xσ_y. In questo caso μ(X)=μ_y+(x−μ_x)ρσ_y/σ_x, cioè la m. condizionata è lineare in x. Segue se serve da questa espressione che E[μ(X)]=μ_y.