matrice

matrice

matrice [Der. del lat. matrix -icis "utero, madre"] [LSF] Raro nel signif. di cosa da cui se ne trae un'altra, indica in genere, concret., la struttura principale di un corpo, nella quale eventualmente sia presente o sia dispersa qualche altra cosa (m. amorfa, cristallina, ecc.). ◆ [ALG] (a) Generic., tabella di numeri o simboli matematici avente un determinato scopo o significato. (b) Specific., l'ente costituito da una tabella comprendente r╳c simboli (elementi) a doppio indice, arc, ordinati per r righe e c colonne e racchiusi entro parentesi tonde secondo lo schema seguente: a₁ a₁...... a₁ a₂ a₂...... a₂ ( .................... ) ar1 ar2...... arc ;tale ente è indicato anche, brevem., con la locuz. m. r╳c o con il simb. (arc); si parla di m. rettangolare oppure di m. quadrata a seconda che r sia diverso da c oppure uguale a c; si dice anche che una m. quadrata ((ann), o m. n╳n) è di ordine n. Si ricorre largamente a m. non soltanto per esprimere sinteticamente certi enti (per es., un tensore di rango 2 e in questo caso la m. s'identifica spesso con il tensore, per cui, per es., m. degli sforzi in un solido sollecitato equivale a tensore degli sforzi, ecc.) oppure per esprimere sinteticamente i risultati di certe operazioni (per es., la soluzione di un sistema di n equazioni lineari in n incognite), ma anche, generalizzando il concetto, per introdurre enti utili in questioni particolari (per es., le m. di ordine infinito introdotte da D. Hilbert nella teoria delle equazioni integrali). ◆ [ALG] [FAF] Nella logica matematica: (a) espressione priva di quantificatori, contraddistinta da un punto esclamativo collocato subito dopo di essa; precis., data una espressione predicativa in forma normale prenessa, la m. è ciò che resta dell'espressione se si cancella il prefisso; (b) nome dato talvolta alle tavole della verità. ◆ [ELT] Dispositivo costituito da più elementi circuitali, in genere identici, collegati in modo da formare una struttura simile a quella di una m. matematica, cioè a righe e colonne: per es., le m. di elementi di memoria che costituiscono i piani delle memorie di calcolatori elettronici e le m. di elementi fotosensibili che costituiscono un fotorivelatore bidimensionale (v. fotorivelatore: II 742 f). ◆ [ALG] M. aggiunta (o, assolut., aggiunta s.f.): di una m. data A, è la m. A∗ i cui elementi a∗ik sono i complessi coniugati degli elementi aki di A; gode della proprietà Ax✄y=x✄A∗y, dove ✄ è il prodotto hermitiano tra le grandezze vettoriali indicate. ◆ [ALG] M. antisimmetrica: lo stesso che m. emisimmetrica (v. oltre). ◆ [ALG] M. coniugate: due m. A e B, di ordine n, tali che esista una m. unitaria C di ordine n per cui A=C-1BC. ◆ [FSD] M. cristallina: lo stesso che reticolo cristallino. ◆ [ALG] M. degenere: lo stesso che m. singolare (v. oltre). ◆ [MCQ] M. densità: v. misura in meccanica quantistica, teoria della: IV 8 f. ◆ [INF] M. di acquisizione, o dei dati grezzi: l'insieme dei dati numerici riferentisi alla misura di una data grandezza rilevata nei singoli elementi (pixel, voxel, ecc.) in cui sia stata scomposto un campo di osservazione; per es., v. diagnostica medica per immagini: II 111 a. ◆ [ALG] M. diagonale: una m. quadrata (ann) avente non nulli soltanto gli elementi della diagonale principale. ◆ [ALG] M. diagonale unitaria: m. diagonale per cui sia aiia-ii=1 per ogni i. ◆ [ALG] M. di connessione: v. classi caratteristiche: I 629 b. ◆ [INF] M. di controllo: v. informazione teoria della: III 201 d. ◆ [FAT] M. di densità di un atomo: v. atomo: I 315 c. ◆ [ELT] M. di diffusione: v. microonde, circuiti a: III 828 c. ◆ [EMG] M. dielettrica: la m. 3╳3 che esprime il tensore di suscettività dielettrica o di costante dielettrica di un materiale elettricamente lineare: per es., v. dielettrico: II 124 Tab. 5.4. ◆ [ELT] M. di microcanali: m. molto compatta di un gran numero di fotorivelatori, caratteristica dei fotomoltiplicatori channeltron: v. fotorivelatore: II 739 a. ◆ [ELT] M. d'impedenza di una giunzione: v. microonde, circuiti a: III 827 d. ◆ [ELT] M. dinamica, diretta, d'ingresso e d'uscita: v. sistemi, teoria dei: V 317 a. ◆ [FSN] M. di reazione T: v. matrice S: III 646 c. ◆ [ELT] M. di stampa ad aghi: tipo di testina per stampanti di calcolatori elettronici contenente un reticolo di aghi retrattili disposti a m. e identificati ciascuno da una coppia di indici; ogni carattere da stampare è ottenuto con la pressione simultanea, sul nastro di stampa, di alcuni soltanto di tali aghi, secondo una configurazione predisposta nella memoria della stampante o definita direttamente dal calcolatore cui questa è collegata. ◆ [ALG] M. di transizione: v. sistemi, teoria dei: V 318 c. ◆ [ALG] M. di trasferimento: v. sistemi, teoria dei: V 319 e. ◆ [ALG] M. di una forma quadratica, o alternante, o hermitiana, Σhk ahkxhyk (nei tre casi è ahk=akh, ahk=-akh, ahk= a-kh): è la m. formata con i coefficienti della forma, cioè la m. (ahk); essa risulta, nei tre casi, una m. simmetrica, emisimmetrica, hermitiana rispettivamente. ◆ [ALG] M. emisimmetrica: m. quadrata in cui valgono le relazioni ahk=-akh, cioè tale che elementi di posto simmetrico rispetto alla diagonale abbiano valori opposti; una m. emisimmetrica di ordine dispari ha determinante nullo. ◆ [ANM] M. fondamentale di un'equazione differenziale lineare: v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 452 b. ◆ [ELT] M. fotosensibili monolitiche e ibride: v. fotorivelatore: II 743 d. ◆ [ANM] M. funzionale: (a) m. i cui elementi sono funzioni; (b) lo stesso che m. jacobiana (v. oltre). ◆ [INF] M. generatrice: v. informazione, teoria dell': III 201 c. ◆ [ALG] M. identica, o m. identità: una m. diagonale (v. sopra) i cui elementi valgano 1; ha simb. I e si può rappresentare anche come (δnn), essendo δnn il simbolo di Kronecker; valgono le proprietà A✄I=I✄A=A, cioè I è l'elemento neutro rispetto alla moltiplicazione di matrici. ◆ [ANM] M. infinita regolare: v. armonica, analisi: I 126 b. ◆ [ALG] M. inversa: di una m. quadrata M, di elementi mhk, è la m. che ha per elementi i complementi algebrici mkh della m. trasposta di M, ognuno diviso per il determinante di M. ◆ [ANM] M. jacobiana: delle funzioni f₁, f₂ ..., fn rispetto alle loro variabili x₁, x₂, ..., xm, è la m. costituita dalle derivate parziali delle fk rispetto alle xh (→ jacobiano: Determinante j.). ◆ [ANM] M. limitata definita positiva: v. variazioni, calcolo delle: VI 468 a. ◆ [ALG] M. nulla: quella i cui elementi sono tutti nulli. ◆ [ALG] M. ortogonale: una m. che sia uguale all'inversa della sua trasposta; interviene nelle trasformazioni di coordinate cartesiane ortogonali. ◆ [ALG] M. prodotto: → matriciale: Calcolo matriciale. ◆ [ALG] M. quadrata e rettangolare: v. sopra: [ALG] (b). ◆ [FSN] M. S: m. che in un processo di collisione tra particelle descrive la connessione tra i loro stati iniziali e finali; fu introdotta da J.A. Wheeler nel 1937 per lo studio delle reazioni nucleari: v. matrice S. ◆ [ALG] M. simmetrica: m. quadrata i cui elementi soddisfano la condizione arc=acr, cioè sono uguali gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale. ◆ [ALG] M. singolare: m. quadrata con determinante nullo. ◆ [ALG] M. somma: → matriciale: Calcolo matriciale. ◆ [ALG] M. trasposta: di una m. data, quella che si ottiene dalla m. data scambiando le righe con le colonne. ◆ [ALG] M. unità: m. diagonale avente tutti gli elementi uguali a 1, lo stesso che m. identica o m. identità (v. sopra). ◆ [ALG] M. unitaria: m. quadrata M a elementi complessi (in partic. reali), tale che MM-1 sia la m. identica (M-1 indica la trasposta della complessa coniugata di M). ◆ [ALG] Algebra delle m.: l'insieme Mn(Γ) delle m. quadrate n╳n a elementi in un corpo Γ, costituenti un anello rispetto alle operazioni di somma e di prodotto e per le quali si può definire un prodotto per un elemento qualsiasi x∈Γ, intendendo la m. xM come la m. ottenuta moltiplicando per x ogni elemento della m. M; si tratta di un'algebra a base finita e associativa. ◆ [ANM] Analisi delle m.: concerne m. i cui elementi siano funzioni, anziché numeri. ◆ [ALG] Calcolo delle m.: lo stesso che calcolo matriciale (←). ◆ [ALG] Caratteristica di una m.: lo stesso che rango della m. (v. oltre). ◆ [ALG] Determinante di una m. quadrata: valore numerico associato, secondo certe regole, alla m.: → determinante. ◆ [ALG] Diagonale principale di una m. quadrata (ann): la diagonale formata dagli elementi a₁, a₂,..., ann; diagonale secondaria è quella formata dagli elementi am1, am-1,2, ..., a₁. ◆ [ALG] Diagonalizzazione di una m.: → diagonalizzazione. ◆ [ALG] Equazione caratteristica di una m.: v. oltre: Teoria delle matrici. ◆ [MCQ] Meccanica delle m.: la meccanica quantistica nella formulazione originale di Heisenberg: → meccanica. ◆ [EMG] Metodo delle m.: v. ottica delle particelle: IV 377 a. ◆ [ANM] Numero di condizionamento delle m.: v. calcolo numerico: I 409 c. ◆ [ALG] Ordine di una m. quadrata: il numero delle sue righe o, che è lo stesso, delle sue colonne. ◆ [ALG] Rango di una m.: è l'ordine massimo dei minori non nulli estraibili dalla m., lo stesso che caratteristica della m.; si ha al proposito il seguente teorema di Kronecker: condizione necessaria e sufficiente perché una m. abbia caratteristica p è che: (a) esista in essa un minore D, di ordine p, che non sia nullo; (b) siano nulli (oppure non esistano) tutti i minori di ordine p+1 i quali contengono elementi di D. ◆ [ALG] [ANM] Teoria delle m.: trova un uso sempre più ampio nelle più diverse applicazioni: sono perciò di grande importanza tutti i procedimenti che riguardano calcoli numerici sulle matrici. Tra i problemi che si presentano con maggiore frequenza ricordiamo la risoluzione di sistemi lineari, il calcolo della m. inversa di una m. data e quello di determinare gli autovalori e gli autovettori di una matrice. A tale riguardo ricordiamo che, data una m. quadrata A d'ordine n, si dicono autovalori di A le radici dell'equazione caratteristica: det (A-xI)=0, ove I è la m. unità, det indica il determinante e il primo membro è detto polinomio caratteristico della m.; se x₁ è un autovalore, esiste un vettore v(vl, ..., vn) tale che Av=xlv: esso si dice autovettore relativo all'autovalore xl. La ricerca degli autovettori e degli autovalori di una m. è indispensabile in problemi come l'esame e la classificazione di una applicazione lineare tra spazi vettoriali e la risoluzione di un sistema di equazioni differenziali lineari. Sono perciò importanti i metodi che consentono di determinare rapidamente gli autovalori e gli autovettori; senza entrare in dettagli ci limitiamo a dire che sono di due tipi, e precis. i metodi diretti, che consistono in procedimenti di successive eliminazioni di incognite, e i metodi iterativi, che si possono applicare quando nella m. gli elementi della diagonale principale sono, in valore assoluto, molto maggiori degli altri; sia gli uni che gli altri sono ben adattabili alle esigenze degli elaboratori elettronici. ◆ [ANM] Traccia di una m. (quadrata): indicata con il simb. Tr, è la somma degli elementi della diagonale principale.