matrice esponenziale

Enciclopedia della Matematica (2013)

matrice esponenziale o esponenziale di una matrice, per una matrice quadrata A, di ordine n a coefficienti reali o complessi, è una matrice quadrata anch’essa di ordine n, indicata con e^A, ottenuta con il seguente sviluppo in serie di potenze:

dove la potenza della matrice A è calcolata mediante l’usuale prodotto righe per colonne. Questa serie di matrici è convergente e, quindi, la matrice esponenziale è ben definita. La funzione esponenziale è un caso particolare di matrice esponenziale: quello in cui n = 1 e la matrice A si riduce così a un numero reale o complesso. La matrice esponenziale gode di proprietà del tutto analoghe a quelle della funzione esponenziale. In particolare valgono, tra le altre, le seguenti proprietà:

• se A è la matrice nulla, allora e^A = I_n, matrice identica;

• e^A ⋅ e^−A = I_n

• e^xA ⋅ e^yA = e^(x+y)A

• se AB = BA, allora e^A ⋅ e^B = e^A+B

• se X è invertibile, allora

dove A^T indica la matrice trasposta di A. Si veda anche → matrici, serie di.