MATEMATICA

MATEMATICA (XXII, p. 547 e App., II, 11, p. 276)

Gli sviluppi più recenti della m. saranno qui presi in esame soprattutto nelle loro linee generali e nei loro mutui rapporti; per una più particolareggiata analisi dei progressi realizzati nei singoli rami più importanti rinviamo invece ad altre voci di questa medesima Appendice (algebra; equazioni; geometria; gruppo; topologia; varietà, ecc.).

È da notare anzitutto che, relativamente, si sono avuti cambiamenti più profondi nelle matematiche applicate anziché in quelle pure, soprattutto in conseguenza dell'entrata in uso delle moderne, grandi calcolatrici elettroniche (v. calcolatrici, macchine, in questa App.) che, fra l'altro, stanno rivoluzionando le prospettive professionali dei giovani matematici, non più limitate, come dianzi avveniva, essenzialmente all'ambito dell'insegnamento. Nelle matematiche pure invece si sono sviluppate ed accentuate alcune tendenze generali già chiaramente discernibili nel primo terzo del secolo attuale. Una di tali tendenze è la sempre più spinta specializzazione, comune a tutte le scienze molto progredite. Però, mentre nella m. del principio del secolo si aveva quasi esclusivamente una specializzazione dei ricercatori secondo i varî campi di studio, ora si comincia a delineare una specializzazione nella specializzazione, nel senso che, di un certo problema, taluni studiano solo certi aspetti (per es. questioni esistenziali) e altri i rimanenti aspetti (per es. calcolo numerico delle soluzioni, ecc.). In connessione con ciò comincia anche a delinearsi - sia pure in misura non confrontabile con quello che avviene in altre discipline, per es. in fisica - una certa tendenza al lavoro en équipe, scarsissima nei matematici nati nel secolo scorso.

Un'altra caratteristica della matematica moderna, molto accentuatasi in questi ultimi anni, è la tendenza alla generalità attraverso l'astrazione; che, del resto, entro certi limiti è un carattere essenziale dell'intera matematica. Invero, anche una formuletta di algebra elementare, quale per es. (a+ b) (a−b) = a²−b² è, in certo senso, una formula "astratta", in quanto prescinde completamente dal valore dei due numeri indicati con a e con b. Ora però si va molto più avanti, osservando per es. che, per la validità della precedente formula, non è per nulla richiesto che a e b siano proprio dei numeri. Essi potrebbero invece essere degli "enti" di natura qualsiasi, purché possano per essi definirsi due operazioni analoghe all'ordinaria somma e all'ordinario prodotto, ecc. Nasce così l'Algebra astratta (o moderna che dir si voglia) per la quale rinviamo alla voce algebra, in App. II, 1, p. 125 e in questa Appendice.

Questa tendenza all'astrazione trova la sua più conseguente estrinsecazione nel bourbakismo: una recente scuola matematica francese, che mira ad una ricostruzione spietatamente logica ed astratta dell'intera m., senza nulla concedere all'intuizione ed alla tradizione. Si tratta, in fondo, di un programma non molto dissimile da quello dell'italiano Peano (XXVI, p. 566) quando intraprese il suo Formulario mathematico. Ma il tentativo dei bourbakisti sembra destinato a miglior successo - anche perché appoggiato su di una équipe continuamente rinnovellantesi invece che sulle forze di un singolo - e, sotto lo pseudonimo di N. Bourbaki (App. II, 1, p. 441), sono finora usciti 25 fascicoli (alcuni in più edizioni) dell'opera suaccennata, che coprono già buona parte di quei rami della m. (critica dei fondamenti, teoria dei gruppi, ecc.) più congeniali alla mentalità degli iniziatori del movimento. Non si tratta però soltanto di una nuova presentazione di cose già note, ma vi sono anche novità, per es. l'importante constatazione che, talvolta, teorie matematiche apparentemente molto lontane l'una dall'altra, hanno la stessa struttura, cioè la stessa ossatura logica.

In questi studî sui fondamenti e la struttura delle matematiche, negli ultimi decennî è stato particolarmente importante l'influsso della scuola viennese (del cosiddetto Wiener Kreis) e, in ispecie, quello di K. Gödel (ora negli Stati Uniti) che ha, fra l'altro, dimostrato che non è possibile decidere sulla compatibilità logica di un certo sistema ipotetico-deduttivo (per es. dell'aritmetica) senza uscire dal sistema stesso; ciò che sposta la questione al sistema ampliato, e così via di seguito. Benché si tratti di un risultato sostanzialmente negativo, esso si è rivelato assai fecondo ed ha molto contribuito a rafforzare il convenzionalismo (v. matematica, App. II, 11, p. 276) da tempo predominante in Logica matematica in cui, ad esempio, coesistono indirizzi che accettano il cosiddetto principio del terzo escluso, e altri che lo rifiutano. In Italia questi studî sono principalmente e proficuamente coltivati da L. Geymonat e dalla sua scuola.

In analisi è divenuto abituale distinguere un indirizzo "classico" riallacciantesi direttamente ai metodi già in auge alla fine dell'Ottocento, e un indirizzo "moderno" affine al bourbakismo, in cui si fa continuo uso della teoria degli insiemi (XIX, p. 358) e, ora, soprattutto degli spazî astratti (App. II, 11, p. 874).

Nell'indirizzo classico si nota soprattutto il modo - assai diverso da quello del primo Ottocento - con cui viene impostato il basilare problema dell'integrazione delle equazioni differenziali (v. equazioni, in questa App.) e il sempre più frequente intervento, sotto la spinta delle applicazioni, di problemi ed equazioni non lineari che, in ispecie, non sono evitabili nella teoria dei servomeccanismi. Un altro ramo dell'analisi classica che ha fatto considerevoli progressi negli ultimi decennî è l'analisi asintotica, cioè lo studio dell'andamento di certi integrali definiti o di certe soluzioni di equazioni differenziali, ecc. al tendere all'infinito (o ad altro speciale valore) della variabile indipendente o di certi "parametri". Tale studio deve la sua importanza anzitutto al fatto che, talvolta, le rappresentazioni asintotiche sono le sole cose semplici ed espressive in questioni di loro natura intricate, p. es. nello studio della distribuzione dei numeri primi. In secondo luogo, le rappresentazioni asintotiche permettono spesso di "legalizzare" (dando loro un preciso significato in certi passaggi al limite) delle formule approssimate che - per quanto indispensabili nelle applicazioni - da un punto di vista rigoristico "non significano niente" quando non sia possibile assegnare un confine superiore dell'errore che le affetta.

Nell'indirizzo moderno si ha, come si è già accennato, un sempre più frequente ricorso ad opportuni spazî astratti, fra cui prevalgono decisamente gli spazî di Banach, che sono spazî lineari (v. App. II, 11, p. 874) in cui è definita una norma, cioè tali che ad ogni loro elemento ϕ è associato un numero reale non negativo, solitamente indicato con ∥ ϕ ∥, facente le veci della distanza di un punto dall'origine in un consueto spazio euclideo. Per es. nello spazio (detto Hilbertiano e denotato spesso con L₂) costituito dalle funzioni ϕ(x) integrabili (nel senso di Lebesgue) insieme col loro quadrato in un intervallo (a, b), si assume come norma la quantità

Gli spazî di Banach devono la loro peculiare importanza al fatto di soddisfare ad un minimo d'ipotesi che consentono d'istituire in essi un "calcolo" in certo qual modo analogo a quello consueto e, in ispecie, consentono l'estensione del basilare concetto di limite.

Tuttavia in essi non sono escluse delle sorprese, per es. si constata che l'accennato spazio hilbertiano non è compatto (App. II, 11, p. 874), cioè contiene dei sottospazî che, benché dotati di infiniti elementi, sono privi di elementi di accumulazione (XIX, p. 359).

Negli spazî astratti hanno particolare importanza le operazioni lineari, di cui forniscono un semplicissimo esempio i funzionali lineari della forma

dove ϕ(x) denota una qualsiasi funzione dello spazio L₂ ed f(x) una certa funzione fissa di questo stesso spazio. La ragione della qualifica "lineare" è che si ha, qualunque siano le costanti c₁ e c₂:

Sorge da qui un problema che ha dato origine ad una delle più notevoli acquisizioni dell'Analisi contemporanea: il concetto di distribuzione di L. Schwartz, uno dei bourbakisti. Il problema è questo: un funzionale lineare, cioè un funzionale per cui vale la [2], è sempre della forma [1]? Non è difficile persuadersi che, in generale, la risposta è negativa, epperò solo in casi speciali ad un siffatto funzionale &out;f è associata una funzione f(x) dello spazio L₂ che ne consente la rappresentazione integrale [1]. Ebbene, anche quando ciò non si verifica, si dirà che al funzionale &out;f è associata una certa distribuzione f che, in particolare, andrà identificata con la funzione f(x) quando sussiste la [1]. Si giunge così ad una importante generalizzazione del fondamentale concetto di funzione che, fra l'altro, ha permesso di legalizzare finalmente (quali particolari distribuzioni) le cosiddette funzioni impulsive che, per quanto assai utili in alcune applicazioni, erano sempre rimaste cosa ostica alla maggioranza dei matematici, che preferivano ignorarle.

Alla geometria sono dedicate altre voci di questa stessa Appendice. Tuttavia non è qui possibile passarla completamente sotto silenzio. Osserveremo in primo luogo, che, in geometria, negli ultimi tempi si è ulteriormente accentuata la già preesistente tendenza a svuotare gli enti geometrici di ogni contenuto intuitivo, fino al punto che oggi non si sa più rispondere, se non in modo scherzoso ed evasivo, alla pur legittima domanda: "Che cosa è la geometria?". Per es. non corre dubbio che la topologia, intesa come analysis situs (III, p. 87), cioè come studio delle proprietà invarianti delle figure in trasformazioni biunivoche e bicontinue dello spazio ambiente, sia di pertinenza della geometria. Invece si suole piuttosto inquadrare nell'analisi la topologia astratta (v. App. II, 11, p. 1004), cioè lo studio di proprietà di spazî astratti del genere di quella più sopra accennata, riguardante la non compattezza degli spazî hilbertiani.

Del resto anche in geometria algebrica, una delle province centrali del territorio geometrico, assistiamo attualmente ad una così intima fusione con l'algebra moderna, che talvolta si resta perplessi nel classificare come "geometria" alcuni recenti risultati in tale campo. D'altro lato, è stata però proprio tale simbiosi della geometria con l'algebra che ha permesso di chiarire certe questioni dianzi un po' nebulose, e di risolvere alcuni problemi che erano sul tappeto da circa mezzo secolo: p. es. la congettura di Severi (del 1909) sull'uguaglianza dei due generi aritmetici di una varietà algebrica, ecc. Altri celebri problemi restano invece ancora da risolvere, p. es. quello dello scioglimento delle singolarità delle varietà algebriche di dimensione superiore a tre, cioè qualcosa di analogo alla possibilità (da tempo dimostrata) di trasformare birazionalmente una curva algebrica in una priva di singolarità.

Notiamo infine che - anche pel potente e duraturo impulso dato ad essi dalla teoria della relatività - fervono sempre gli studî di geometria differenziale, sia come studio di spazî a connessione affine, proiettiva, ecc., sia come teoria geometrica delle equazioni differenziali, vuoi ordinarie vuoi a derivate parziali.

Nel vastissimo campo delle matematiche applicate, il fatto nuovo più importante verificatosi in questi ultimi anni è, come si è già accennato, l'entrata in uso delle calcolatrici elettroniche. Per comprenderne l'importanza basti pensare che le recentissime imprese astronautiche non sarebbero state certo possibili se, accanto a tante altre cose, non si fossero avute queste macchine, che permettono di calcolare rapidamente la traiettoria di un missile e di prevedere l'effetto di correzioni impresse ad essa mediante congegni telecomandati.

Rinviando alla voce calcolatrici, macchine per tutto quanto riguarda le calcolatrici elettroniche, ricordiamo soltanto che la loro progettazione e il loro funzionamento coinvolgono problemi di grande interesse anche dal punto di vista della matematica pura. Basti ricordare che esse, oltre ad effettuare le operazioni aritmetiche in tempi estremamente brevi, sono "macchine a programma" cioè consentono di eseguire tutta una serie di successive operazioni aritmetiche e "logiche" (per es. vedere qual è il più grande di certi numeri ecc.) senza intervento diretto dell'operatore. La conseguente necessità di predisporre un opportuno "programma" apre un campo vastissimo alla tecnica della programmazione (v. calcolatrici, macchine, in questa App.) che già oggi impiega gran parte dei matematici non prevalentemente addetti a compiti didattici. Correlativamente si presenta il problema della formazione professionale di tali matematici, problema che in Italia è appena adombrato, perché i nostri corsi universitarî sono stati organizzati avendo di mira altri scopi, e cioè principalmente la preparazione di insegnanti per le scuole secondarie e superiori.

Altro enorme impulso alle matematiche applicate deriva anche dal sempre più massiccio impiego di metodi probabilistici e statistici nei campi più svariati. Con ciò la matematica ha trasbordato dal suo primitivo campo d'applicazione: le scienze esatte estendendosi alla biologia, alla medicina e perfino alla filologia ! Naturalmente, non tutte queste nuove conquiste sono perfettamente consolidate - per es. la cosidetta ricerca operativa (v. operativa, ricerca, in questa App.) impiega talvolta metodi matematici sproporzionati ai modesti risultati raggiungibili in molti suoi problemi - ma, nel complesso, sono stati realizzati progressi indiscutibili, ad esempio in biologia, col chiarimento del processo d'insorgenza della resistenza dei microbi agli antiobiotici, e in varî capitoli della cibernetica o teoria dell'informazione (v. cibernetica, in questa App.). Questi progressi sono stati resi possibili, fra l'altro, dal fatto che il Calcolo delle probabilità - che, per lungo tempo, si era quasi esclusivamente occupato dello studio di eventi fra loro indipendenti - in epoca recente ha cominciato, più realisticamente, a prendere in considerazione anche eventi fra loro dipendenti, servendosi all'uopo principalmente dell'utile schematismo delle catene di Markoff (v. probabilità, calcolo delle, App. II, 11, p. 611).

Nel campo delle applicazioni alla fisica vi è poi stato un cambiamento di concezioni che giova porre in evidenza. Invero - mentre nelle sue applicazioni alla fisica classica la matematica aveva pur sempre il carattere di un ausilio, prezioso quanto si vuole ma sempre ausilio - nelle applicazioni alla fisica atomica le cose sono completamente diverse, in quanto molti risultati fondamentali di questa scienza non possono addirittura venir correttamente concepiti ed enunciati che in termini matematici. In altre parole, i recenti sviluppi della fisica hanno data una giustificazione quasi letterale delle nota frase galileiana che "il libro della natura è scritto in caratteri matematici".

Però i rapporti fra i matematici e i fisici, gli ingegneri, ecc. lungi dall'essere stretti e frequenti così da assicurare la più feconda collaborazione sono purtroppo informati, in quasi tutto il mondo, a reciproca incomprensione. Ciò è, in parte, conseguenza di quella superspecializzazione della scienza moderna di cui già si è detto. Ma per un altro verso il fatto va attribuito ai non pochi matematici contemporanei che non mostrano di preoccuparsi affatto della facile comprensibilità di quello che hanno da dire. Si direbbe anzi che si compiacciano di essere il più possibile astrusi e difficili, facendo uso di uno stile dommatico e autoritario, che disdegna di fornire spiegazioni sul perché di definizioni e ragionamenti, anche di quelli che, a prima vista, possono sembrare gratuiti ed artificiosi. Questo, a lungo andare, potrebbe portare a conseguenze assai spiacevoli, nel senso che i fisici e i tecnici finiranno col foggiarsi una poco solida m. di emergenza per loro uso e consumo; mentre la m. pura vedrà inaridirsi quella che, in tutta la sua storia, è stata la sorgente più ricca delle sue più belle teorie: il contatto con la realtà fisica.

Bibl.: Si indicano poche opere recenti che - oltre a quelle segnalate in App. II, ii, p. 276 - possono aiutare a farsi un'idea generale della m. contemporanea e dei suoi più recenti sviluppi. F. Le Lionnais, Les grands courants de la pensée mathématique, in Cahiers du sud, 1948; Naturforschung u. Medizin in Deutschland 1939-46 (rendiconti "Fiat" sui progressi delle scienze in Germania durante la seconda guerra mondiale; alla matematica sono dedicati i volumetti 1-7), Wiesbaden 1948-53; R. Courant e H. Robbins, What is mathematics?, trad. ital., Torino 1950; J. B. Newmann, The world of mathematics, I-IV, New York 1956; La matematica nell'URSS nei 40 anni dal 1917 al 1957 (in russo), I-II, Mosca 1959.