ATTUARIALE, MATEMATICA

ATTUARIALE, MATEMATICA (V, p. 316; App. III,1, p. 169)

La m. a. in generale studia i cosiddetti ("rischi", cioè eventi il cui verificarsi, denominato "sinistro", produce un danno economico.

Per es. può considerarsi rischio il raggiungimento in vita di una data età, alla quale un tizio ritiene di non poter più lavorare; o la morte nel periodo di attività; o l'incendio di un immobile; o l'incidente automobilistico che produce danni a terze persone, ecc. La m. a., che aveva ricevuto in un primo tempo un completo aspetto formale solo per quanto riguarda le assicurazioni sulla vita e poi le assicurazioni sociali, ha tratto notevole impulso in questi ultimi anni anche nei problemi delle assicurazioni contro i danni, principalmente per la costituzione, nel seno della International actuarial association, che organizza i congressi quadriennali degli attuari, dell'associazione Actuarial Studies in non-life Insurance (ASTIN) la quale organizza convegni annuali e pubblica una rivista di notevole interesse.

Gli studi di m. a. si suddividono nei seguenti principali campi:

1) La ricerca se un determinato rischio può considerarsi assicurabile. - La risposta è affermativa se è possibile considerare una forma di assicurazione per la quale, in cambio di un equo premio dovuto dall'assicurato, si corrisponda al beneficiario della polizza una somma al verificarsi dell'evento.

Tale somma è per es.: un importo prestabilito se il rischio è la sopravvivenza a una data età o la morte entro una data età; il risarcimento, totale o parziale, del danno al proprietario nel caso che il rischio sia l'incendio di un immobile, ecc.

L'equità del premio non dev'essere intesa in senso puramente finanziario, singolarmente per ogni rischio a posteriori, ma a priori, nel senso del calcolo delle probabilità, come se si trattasse di un gioco d'azzardo. Le caratteristiche perché un rischio sia assicurabile sono principalmente le seguenti: il rischio deve risultare "aleatorio", cioè gli eventi collegati a esso debbono essere per quanto possibile indipendenti dalla volontà umana e imprevedibili; inoltre si deve riuscire a costituire per ogni rischio una "massa di rischi omogenei" in modo che per ogni tipo di sinistro, che può colpire i singoli rischi, si possa determinare una frequenza sinistri (rapporto tra numero di sinistri avvenuti e numero di rischi) che possa essere considerata espressione approssimata della probabilità di ciascuno dei sinistri; il rischio deve risultare anche sufficientemente "stabile nel tempo", in modo da costituire gruppi più numerosi di rischi omogenei e utilizzare le frequenze ottenute per prevedere i risultati dei rischi futuri; infine i rischi debbono essere "indipendenti" tra loro (nel senso del calcolo delle probabilità) o al più presentare una dipendenza limitata, in modo che possa agire la legge dei grandi numeri.

Lo studio dell'assicurabilità di un rischio ha aspetti diversi a seconda che ci si riferisca all'assicurazione libera, nel qual caso si deve arrivare alla personalizzazione massima del premio, in modo che per ciascun possibile assicurato vi sia l'equità a priori tra rischio e premio, per evitare fenomeni di antiselezione, o ci si riferisca all'assicurazione obbligatoria, nel qual caso si può richiedere una minore personalizzazione, compensandosi tra loro i costi di categorie diverse. Anzi, per certi rischi la cui rilevanza sociale è notevole, può pure arrivarsi a una copertura parziale o totale dell'onere diversa dal premio individuale, per es. con la fiscalizzazione (App. III, 1, p. 170).

Gli studi predetti hanno posto in evidenza l'assicurabilità, sia pure con certe cautele, dei noti rischi coperti dalle assicurazioni sulla vita, infortuni, incendi, R.C.A., ecc.

In tali studi, l'evoluzione moderna si basa non solo sul concetto frequentista di probabilità ma anche su quello soggettivo, applicando il punto di vista bayesano (B. de Finetti) e ricorrendo alla teoria della credibilità per la determinazione delle basi tecniche dei premi (A. L. Mayerson e de Finetti).

2) La determinazione delle basi tecniche delle varie forme di assicurazione. - Essa è strettamente legata al punto 1). Le basi tecniche dipendono dalla forma del rischio e da altri parametri:

Per es. nelle assicurazioni sulla vita si debbono considerare il tasso annuo d'interesse e le probabilità di morte, quest'ultime dipendenti dalla forma del contratto (caso vita o caso morte), dallo stato di salute dell'assicurato (rischi normali o aggravati), dall'età alla data di valutazione e dall'età alla data di stipulazione del contratto, eventualmente dall'età in cui l'assicurato è stato colpito da una malattia che l'ha trasformato in un rischio aggravato. Nelle assicurazioni sociali invalidità, vecchiaia e superstiti si debbono considerare, per uno in attività di servizio: le probabilità di cessare dal servizio per morte, o per invalidità o per altra causa e quelle delle varie possibili composizioni familiari; per i pensionati, le probabilità di morte, quelle delle varie possibili composizioni familiari e quelle che una vedova perda il diritto a pensione per nuove nozze; inoltre, il tasso annuo d'interesse, la linea delle retribuzioni, i tassi annui di aumento delle retribuzioni e delle pensioni per variazioni connesse alla scala mobile o alla dinamica salariale. Nelle assicurazioni R.C.A. si deve considerare la legge di distribuzione del numero dei sinistri e la legge di distribuzione dell'importo di un sinistro, mentre nella pratica generalmente si prescinde dalla base tecnica tasso d'interesse, dato il breve intervallo intercorrente di solito tra la data di pagamento del premio e le date di pagamento dei sinistri: questi dipendono tra l'altro: dalla regione in cui l'auto prevalentemente circola; dalla potenza dell'auto; dall'uso (servizio pubblico, servizio privato, ma in questo caso si hanno casi diversi a seconda che l'auto percorra annualmente molti o pochi chilometri, o venga guidata da autisti esperti o principianti, ecc.); dal tipo di copertura della polizza: per es., coloro che tendono ad assicurarsi con una polizza che contempli la copertura completa dei sinistri presentano una sinistralità diversa da coloro che tendono ad assicurarsi con una polizza che contempli una franchigia nel pagamento dei sinistri. Altro esempio: se un assicurato stipula una polizza bonus-malus, cioè una polizza che contempli per l'anno successivo a ogni anno di copertura un aggravamento o una riduzione di tariffa a seconda che l'assicurato denunzi, oppure no, sinistri, l'assicurato non ha interesse a denunziare sinistri di piccola entità che avvengano nei primi mesi di validità della polizza, e anche sinistri di entità maggiore, purché minori dell'abbuono che riceverebbe e purché avvengano verso la scadenza della polizza.

3) La determinazione dei premi delle varie forme di assicurazione. - Il premio è quell'importo che il contraente della polizza deve versare, in una o più soluzioni, come prezzo equo, nel senso del calcolo delle probabilità, dell'impegno che l'assicuratore assume nei riguardi del beneficiario. Per calcolarlo occorre la conoscenza delle basi tecniche e la determinazione della sua espressione matematica.

In questi ultimi anni, a causa della persistente svalutazione, che ha notevolmente ridotto la componente di risparmio compresa nelle usuali assicurazioni, in Italia sono state diffuse le cosiddette "forme adeguabili", riguardanti soprattutto le forme miste e le rendite vitalizie.

Per es., la forma mista, in caso di morte dell'assicurato o alla scadenza del contratto garantisce al beneficiario il capitale assicurato inizialmente, adeguato annualmente in proporzione all'aumento dell'indice dei prezzi al consumo; però tale aumento non può essere superiore a quanto risulta dall'aumento, al 3% medio annuo, del capitale iniziale.

Il premio di assicurazione viene calcolato adottando il premio costante dell'assicurazione mista ordinaria al tasso d'interesse del 3% annuo, annualmente maggiorato del 3% annuo e sostituendo la successione dei premi crescenti che ne risulta con una successione di premi costanti attuarialmente equivalente a essa. In tal modo resta a carico dell'assicuratore la rivalutazione delle riserve matematiche. Tali forme hanno avuto un notevole successo.

Per i calcoli dei premi delle forme di assicurazione sociale, principalmente delle assicurazioni invalidità, vecchiaia e superstiti, si veda l'App. III,1, p. 170. Su tale argomento sono interessanti gli studi sulla convenienza di adottare un premio di capitalizzazione o di ripartizione di capitali di copertura o di ripartizione pura, nel caso dell'assicurazione generale obbligatoria o di un fondo pensioni costituito per qualche categoria di lavoratori, e nel caso di un fondo pensioni integrativo o aziendale e a seconda del presumibile andamento della svalutazione (M. A. Coppini, G. Ottaviani).

Sono interessanti anche gli studi sul grado di capitalizzazione delle assicurazioni (M. A. Coppini).

Nelle assicurazioni contro i danni, in cui si considerano generalmente polizze annuali, si adotta spesso l'ipotesi semplificatrice che la legge di distribuzione dell'importo di un sinistro sia la medesima per tutti i sinistri che possono colpire il rischio considerato, per cui il premio puro è dato dal prodotto f•D, in cui f indica la frequenza media dei sinistri e D l'importo medio del danno corrisposto dall'assicuratore. La frequenza f è determinabile partendo dalla legge di distribuzione del numero dei sinistri e l'importo medio D sia nel caso di copertura totale sia nel caso di copertura parziale, per uno scoperto di assicurazione, o per una franchigia, o per un massimale, è determinabile partendo dalla legge di distribuzione dell'importo di un sinistro. Nel caso dell'assicurazione R.C.A., che nel 1971 è stata resa obbligatoria in Italia, nel 1976 sono state modificate le forme offerte agli assicurati, considerandosi le seguenti: due forme con franchigia, una forma bonus-malus, in cui per ogni regione e per ogni categoria di potenza si sono considerate 9 diverse classi di rischio, e al termine di ogni anno viene variata la classe della polizza di ciascun assicurato a seconda del numero dei sinistri denunciati; una forma con sconto anticipato, in cui l'assicurato, se denuncia sinistri dei quali almeno uno viene risarcito, deve corrispondere un'integrazione pari al 41% del premio corrisposto.

4) Il caricamento dei premi puri per ottenere i premi di tariffa. - I premi puri debbono essere opportunamente aumentati, per tener conto delle varie spese che l'ente gestore sostiene, nonché della possibilità per il gestore di scarti sfavorevoli tra la realtà e le previsioni, nonché, per le gestioni private, di un margine utile. In particolare, per le assicurazioni R.C.A. si aumenta il premio puro del 25% del premio di tariffa; per le altre assicurazioni contro i danni il caricamento risulta talvolta minore e talvolta maggiore.

5) Le riserve tecniche. - Nelle assicurazioni sulla vita esse sono costituite dalla riserva matematica.

Nelle assicurazioni invalidità, vecchiaia e superstiti, quando si considera la copertura degli oneri mediante un premio generale, la riserva matematica complessiva è pari alla somma della riserva matematica dei pensionati, della riserva matematica del personale in servizio e della riserva matematica del personale futuro, riserve matematiche definite mediante evidenti generalizzazioni della definizione relativa alle assicurazioni libere sulla vita; nel metodo di ripartizione dei capitali si riduce solo a quella dei pensionati; nel metodo di ripartizione pura, la riserva matematica complessiva è nulla.

Nelle assicurazioni contro i danni si considerano due riserve tecniche: quella dei rischi in corso e quella sinistri: la riserva dei rischi in corso a una certa data, nel caso di polizza temporanea con pagamento anticipato del premio, è uguale al valore medio delle somme che l'assicuratore prevede di corrispondere per sinistri che avverrano dalla data considerata fino a quella di scadenza del premio. Per gran parte dei rami di assicurazione danni si ha una distribuzione uniforme dei sinistri (sia come numero che come importo) durante il periodo di copertura di ciascuna polizza, per cui la riserva considerata può porsi eguale al 50% dei premi puri delle polizze in corso alla data considerata. La riserva sinistri è pari all'importo che l'assicuratore prevede di corrispondere per quei sinistri che alla data considerata sono già avvenuti, ma non sono stati ancora liquidati.

6) La teoria del rischio. - Il patrimonio di un'impresa di assicurazioni, esistente a una data t, disponibile quale riserva di rischio (cioè per la copertura di eventuali perdite causate da un andamento sfavorevole della gestione rispetto alle previsioni), considerato al variare di t, costituisce un processo stocastico, del quale, con riferimento a una data stabilita, può ricercarsi la probabilità che esso risulti negativo (probabilità di fallimento), per es., al termine di una determinata scadenza, oppure prima o dopo entro la scadenza considerata, oppure prima o dopo senza alcun limite di tempo. Le probabilità contrarie (probabilità di non fallimento) sono indici di sicurezza per l'impresa.

Lo studio di questi come di altri indici di sicurezza e del comportamento che l'impresa deve seguire (per es., attraverso l'offerta di particolari polizze invece di altre, lo sviluppo della produzione, la riassicurazione o la coassicurazione), perché l'indice che essa adotta risulti massimo, costituisce uno dei fini della teoria del rischio.

In tale studio spesso si adotta l'ipotesi dell'indipendenza tra loro dei singoli rischi. Tale ipotesi, molto comoda per le valutazioni, tuttavia spesso conduce a risultati poco prudenziali. In effetti l'impresa, anche se deve basarsi su classi di rischi omogenei per poter determinare correttamente i premi, tuttavia ha un grado di sicurezza tanto maggiore quanto più eterogenei sono i rischi che essa assume.

Per es., per un'impresa che eserciti solo il ramo grandine, su estensione provinciale, la dipendenza dei rischi diventa notevole per cui, a parità di riserva di rischio rispetto ad altri rami, il grado di sicurezza risulta minore.

7) Utilità. - L'impostazione probabilistica del concetto di utilità permette di risolvere razionalmente i problemi sulla convenienza dell'assicuratore a offrire una forma di assicurazione e sulla convenienza dell'assicurato a stipularla (K. Borch, de Finetti). Vi sono dei casi nei quali l'assicurato, una volta stipulata la polizza, può scegliere il suo comportamento (strategia) in un'insieme di strategie possibili: per es., per una polizza del tipo bonus-malus o con sconto anticipato, al verificarsi di ogni sinistro egli deve decidere se gli conviene oppure no denunciare il sinistro. In tal caso, come pure nel caso che egli abbia la possibilità di scelta tra forme diverse, la R. O. e il concetto di utilità, combinati con la m. a., gli permettono di ricercare quale sia il comportamento più conveniente per lui. A sua volta l'assicuratore risolve il problema di conoscere quali siano le polizze che egli ha più convenienza a offrire (R. Ottaviani).

Bibl.: B. de Finetti, F. Emanuelli, Economia delle assicurazioni, Torino 1967; L. Molinaro, Fondamenti tecnici e statistici delle assicurazioni contro i danni, Roma 1972; Atti dei Congressi internazionali degli attuari: XVI, Bruxelles 1960; XVII, Londra 1964; XVIII, Monaco 1968; XIX, Oslo 1972; XX, Tokyo 1976; Atti delle Conferenze internazionali degli attuari e degli statistici della Sicurezza sociale: III, Madrid 1962; IV, Parigi 1966; V, Berna, 1971; VI, Helsinki 1974; Accad. nazion. Lincei: Tav. rot. su "Problemi matematici ed economici odierni nelle assicurazioni", Roma 1975. Riviste: The ASTIN Bulletin.