ATTUARIALE, MATEMATICA

ATTUARIALE, MATEMATICA

Sotto la denominazione di matematica attuariale vanno a rigore comprese le applicazioni della matematica alle assicurazioni, ma, in senso stretto, suol parlarsi di matematica attuariale facendo riferimento alle applicazioni della matematica alle assicurazioni sulla vita umana. Ciò dipende dal fatto che trascurabile sviluppo matematico hanno avuto finora le altre forme di assicurazione.

Si farà qui un cenno della matematica attuariale limitatamente all'assicurazione libera sulla vita umana, perché questa dà luogo alla considerazione dei più fondamentali argomenti divenuti ormai classici.

1. Prababilità di vita e di morte. - Nella matematica attuariale ricorrono le seguenti probabilità fondamentali:

la prolabilità _np_x che una persona di età x sopravviva all'età x + n (x ed n interi); in particolare p_x, indica la probabilità che una persona di età x sopravviva all'età x + 1;

la probabilità _n/mq_x che una persona di età x muoia tra le età x + n e x + n + m (m intero); in particolare q_x indica la probabilità che una persona di età x muoia prima di raggiungere l'età x + 1.

2. Tavola di sopravvivenza e determinazione delle probabilità fondamentali. - Si chiama tavola di sopravvivenza una tabella numerica la quale fornisce, in corrispondenza a ciascuna età intera x, il numero medio, l_x, delle persone che potranno sopravvivere all'età x, provenienti da un numero iniziale, arbitrariamente scelto, di nati o di viventi ad un'età intera a.

Per mezzo di una tavola di sopravvivenza si determinano agevolmente le probabilità di vita e di morte sopra indicate e tutte le altre che possono occorrere. P. es., il rapporto l_x+n/l_x fornisce la probabilità _np_x la differenza l_x+n − l_x+n+m fornisce il numero medio di morti tra le età x + n e x + n + m; il rapporto tra questo numero medio di morti ed il numero l_x, fornisce la probabilità _n/mq_x di cui sopra, ecc.

3. Vita media e vita probabile. - Si chiama vita media di una persona in età x, il numero medio di anni che una tale persona potrà ancora vivere.

Un valore approssimato della vita media, detto vita media incompleta, si ottiene sommando tutti i numeri l_x forniti dalla tavola di sopravvivenza in corrispondenza alle età superiori ad x, e dividendo questa somma per l_x. Una maggiore approssimazione si ottiene aumentando di

il valore precedente: si ha così la cosiddetta vita media completa.

Si chiama vita probabile di una persona in età x il numero degli anni di vita che tale persona potrà oltrepassare con probabilità

Un valore approssimato della vita probabile all'età x si ottiene ricercando sulla tavola di sopravvivenza il numero lr che i maggiormente si approssima al valore

la differenza tra le corrispondenti età, z − x, fornisce il valore cercato. Valori pi(i approssimati possono ottenersi per interpolazione.

4. Principali tavole di mortalità o di sopravvivenza. - Una tavola di sopravvivenza si costruisce in base alle probabilità di morte q_x, supposte note per tutte le età intere x che interessano, partendo da un numero iniziale di viventi arbitraniamente scelto (radice de] la tavola).

Le principali tavole di sopravvivenza, costruite in base ad osservazioni di gruppi di assicurati, sono: le tavole delle 17 compagnie inglesi (pubblicate nel 1843); quelle delle 20 compagnie inglesi (1869) di cui fa parte la tavola H^M (healthy male lives) di assicurati maschi in buona salute; le tavole delle 23 compagnie tedesche (1883); quelle delle 4 compagnie francesi (1895) e cioè la tavola AF (assurés français) e la tavola RF (rentiers français); infine - per non citare che le principali - le tavole recenti inglesi pubblicate nel 1902-07, le quali comprendono tavole aggregate e selezionate, specializzate anche secondo la natura delle operazioni stipulate dagli assicurati.

5. Probabilità di vita e di morte su più teste. - Nei problemi dell'assicurazione vita sopra gruppi, si presentano delle probabilità di vita e di morte che involgono due o più persone assicurate. Per brevità un assicurato di età intera x si suole indicare con la locuzione "testa (x)".

Tra le probabilità ora accennate sono per es. le seguenti:

la probabilità _np_{c1x2... xr} che r teste (x₁), (x₂),..., (x_r), sopravvivano tutte fra n anni, cioè sopravvivano alle età rispettive x₁ + n, x₂ + n,..., x_r + n, (x₁, x₂,..., x_r, n, interi);

la probabilità

che almeno una delle r teste considerate sopravviva tra n anni;

la probabilità /_nQ_x1x2...xr che almeno una delle r teste considerate muoia nei primi n anni, ossia muoia tra le età rispettive x₁ e x₁ + n, x₂ e x₂ + n,..., x_r e x + n;

la probabilità

che tutte le r teste considerate muoiano nei primi n anni;

la probabilità _n/q_xy, che (x) muoia durante l'(n +1)° anno, (y) essendo vivente al momento della morte di (x); ecc.

La determinazione di ciascuna di queste probabilità e di altre analoghe, ad eccezione dell'ultima scritta, si riconduce alla determinazione della prima, _np_{c1x2... xr} la quale, a sua volta, si scinde nel prodotto di r probabilità relative ad una testa: _np_c1 • _np_x2 • ... • _np_xr.

Il calcolo di simili probabilità, per questa via, non riesce semplice; esso tuttavia si semplifica di molto quando la tavola di sopravvivenza l_x che serve a definire le singole probabilità

segua la legge di Gompertz-Makeha"n

dove k, s, g e c sono delle costanti numeriche che caratterizzano la l_x.

Si dimostra infatti che, nell'ipotesi che valga la legge di Makeham sopra scritta, scelta un'età ausiliaria x₀ tale che soddisfi alla relazione

la probabilità che r teste (x₁), (x₂),..., (x) sopravvivano tutte fra n anni, è uguale, qualunque sia n, alla probabilità che sopravvivano fra n anni altrettante teste della stesse età x₂.

Nell'ipotesi poi che valga la legge di Gompertz (cioè la legge scritta sopra nel caso s = 1) si dimostra ugualmente che la probabilità che r teste sopravvivano fra n anni, è uguale, qualunque sia n, alla probabilità che sopravviva fra n anni l'unica testa di età x₀ tale che soddisfi alla relazione c^x0 = c^x1 + c^x2 + ... + c^xr.

Nell'una e nell'altra ipotesi si viene a far dipendere da una sola età xo il calcolo della probabilità _np_{x1x2... xr} che dipende dalle r età x, x₂ ..., x_r non tutte eguali fra loro.

La determinazione della probabilità _n/q¹_xy, scritta sopra, che (x) muoia durante l'(n + 1)° anno, (y) essendo vivente al momento della morte di (x), presenta qualche difficoltà dovuta al fatto che la morte di (x) prima di (y) nello stesso anno, si può verificare in infinite maniere. La difficoltà si supera applicando, per la determinazione di detta probabilità, il metodo continuo, intendendo dire, con questa espressione, che si fa uso dell'analisi infinitesimale.

Le nozioni che seguono saranno limitate, per semplicità, a quelle che involgono la considerazione d'una sola testa assicurata: del resto le assicurazioni sopra una testa sono quelle che ricorrono più di frequente.

6. Valori di commutazione. - I calcoli attuariali di cui si dirà appresso sono resi sistematici ed agevoli per mezzo di tavole ausiliarie le quali forniscono, in corrispondenza ai tassi d'interesse più usati e a tutte le età intere dell'assicurato, i valori di talune funzioni dipendenti dal tasso d'interesse i e dal numero medio di sopravviventi, l_x, alle varie età. Tali valori prendono il nome di valori di commutazione.

Le funzioni di commutazione che più frequentemente ricorrono, nelle assicurazioni-vita, in base a stabilite convenzioni internazionali sono le seguenti:

dove

è il fattore di sconto corrispondente al tasso i.

7. Premî unici puri relativi alle principali forme di assicurazione in caso di vita. - In ogni forma di assicurazione vi è l'impegno da parte dell'assicuratore di pagare all'assicurato o ad altra persona designata (beneficiario) determinate somme, secondo che si verifichino determinati avvenimenti di vita o di morte dell'assicurato, e l'impegno da parte dell'assicurato, o di altro contraente, di corrispondere determinati premî. Nella presente trattazione non ha importanza la distinzione tra contraente e assicurato.

A prescindere dalle spese, l'assicurato può liberarsi dai proprî impegni pagando all'assicuratore un premio unico. Perché vi sia equilibrio tra i due impegni, il premio unico dovrà equivalere alla speranza matematica, o valore attuale medio, delle somme che potrà pagare l'assicuratore. Esso, pertanto, si determina moltiplicando le somme che potranno essere pagate dall'assicuratore a epoche diverse, finanziariamente scontate al saggio d'interesse convenuto con riferimento all'inizio dell'assicurazione, per le rispettive probabilità che questi pagamenti abbiano luogo, e sommando i prodotti.

Tra le forme più note di assicurazioni in caso di vita le principali sono: il capitale differito, la rendita vitalizia immediata e la rendita vitalizia differita.

a) Capitale differito. - È l'assicurazione di una somma pagabile tra n anni, se allora sarà in vita l'assicurato che oggi ha l'età x. Il premio unico puro (cioè a prescindere dalle spese) di tale assicurazione si ottiene moltiplicando la somma, finanziariamente scontata per n anni, per la probabilità _np_x che una persona di età x ha di sopravvivere all'età x + n. Usando i valori di commutazione, il premio unico puro relativo ad un capitale unitario risulta dato dal rapporto D_x+n/D_x; se il capitale assicurato è S lire, basterà moltiplicare tale rapporto per S, per avere il premio unico richiesto.

b) Rendita vitalizia immediata. - È l'assicurazione di una somma determinata da pagare ogni anno ad un assicurato fino a tanto che l'assicurato sia in vita. Se il primo pagamento ha luogo all'inizio del primo anno di assicurazione la rendita si dice anticipata; se alla fine di esso, la rendita si dice posticipata.

Se la rendita è unitaria (cioè di una lira all'anno) ed è posticipata, il rapporto N_x/D_x fornisce il premio unico ricercato; se, invece, la rendita è anticipata, il precedente rapporto va aumentato di una unità. Se la rendita è di a lire per anno, il premio unico precedente, nell'uno come nell'altro caso, si deve moltiplicare per a.

c) Rendita vitalizia differita. - Qualora debbano decorrere n anni dalla sottoscrizione del contratto prima che s'inizî l'anno in cui ha luogo il primo pagamento della rendita, questa si dice differita di n anni; e può essere - come la precedente - anticipata o posticipata secondo che il primo pagamento è fatto al principio o alla fine di detto anno. Il premio unico, nel caso di una rendita unitaria posticipata, differita di n anni, è dato dal rapporto N_x+n/D_x; se invece la rendita è anticipata, il premio unico è dato dal rapporto N_x+n-1/D_x. Se la rendita è di a lire per anno, l'uno o l'altro rapporto va moltiplicato per a.

8. Premî unici puri relativi alle principali forme di assicurazione in caso di morte. - Tra le principali assicurazioni in caso di morte sono da annoverare: la vita intera, la mista, la doppia misia e la mista a capitale raddoppiato.

a) Vita intera. - È l'assicurazione di una certa somma che la compagnia deve pagare ad un beneficiario designato, all'epoca in cui avviene il decesso dell'assicurato.

La determinazione rigorosa del premio unico relativo a questa forma di assicurazione richiede l'applicazione del metodo continuo. Lo si può evitare, in una determinazione approssimata, come segue: se la somma assicurata fosse pagabile, anziché all'istante del decesso, alla fine dell'anno in cui questo ha luogo, il premio unico sarebbe dato esattamente da M_x/D_x. Moltiplicando questo valore per (i + i)^1/2 i si ottiene un valore approssimato del premio unico nell'ipotesi che la somma assicurata si paghi all'istante del decesso.

b) Mista. - È l'assicurazione di una somma che la compagnia deve pagare all'epoca della morte dell'assicurato, se questa abbia luogo entro un certo periodo di n anni, oppure al termine degli n anni se l'assicurato sopravviva.

Anche per quest'assicurazione, e per quelle di cui in c) e d), la determinazione rigorosa del premio unico richiede l'applicazione del metodo continuo.

Un valore approssimato del premio unico ricercato è, per la mista, dato dalla formula

dove S è la somma assicurata.

c) Doppia mista. - È un'assicurazione come la mista, con la differenza che la somma dovuta in caso di sopravvivenza è il doppio di quella dovuta in caso di morte. Un valore approssimato del relativo premio unico si ottiene applicando la formula precedente in cui però sia posto, in luogo di D_x+n, il termine 2 D_x+n, ed S indica la somma assicurata in caso di morte.

d) Mista a capitale raddoppiato. - È l'assicurazione di una somma che la compagnia deve pagare tra n anni se allora l'assicurato sarà in vita, oppure in caso di morte di questo in qualunque epoca avvenga. Il premio unico relativo si calcola approssimativamente con la stessa formula data sotto b) per la mista, in cui si ponga M_x+n = 0.

9. Altre forme di assicurazioni. - Tra le altre forme di assicurazioni più usate vanno ricordate: l'assicurazione dotale, la rendita di sopravvivenza, l'assicurazione di annualità, l'assicurazione a effetti multipli, ecc..

10. Premî annui. - L'assicurato, in luogo di pagare un premio unico, può pagare dei premi annui. Questi premî in generale sono eguali e pagabili a principio di ogni anno; il loro pagamento non può mai estendersi oltre l'epoca in cui possono aver luogo i pagamenti da parte della compagnia assicuratrice.

Se i premî sono pagabili finché vive l'assicurato, il premio annuo costante si ottiene dividendo il premio unico per la rendita vitalizia unitaria anticipata di cui al paragrafo 7 b); se invece sono da pagare non più di n premî, il premio annuo costante si ottiene dividendo il premio unico per la rendita temporanea unitaria anticipata, fornita dal rapporto

11. Premî di tariffa, unici, annui o frazionati. - Il premio puro, unico o annuo, di cui si è detto fin qui, mette in grado la compagnia di far fronte agl'impegni assunti verso l'assicurato. La compagnia però deve far fronte anche a spese di diverso genere che si possono riassumere nelle seguenti tre categorie:

a) prime spese, che s'incontrano all'inizio dell'assicurazione,

b) spese annue di amministrazione, tra le quali possono conglobarsi eventuali utili che la compagnia si riserva di realizzare;

c) spese per l'incasso dei premî da parte degli agenti.

Queste spese dànno luogo sui premî puri dovuti dagli assicurati, ad addizionali (caricamenti), che costituiscono i caricamenti espliciti sui premî puri. Nella pratica delle assicurazioni esistono anche caricamenti impliciti, provenienti specialmente dalle due seguenti fonti:

a) un tasso d'interesse teorico, cioè adottato nei calcoli, inferiore a quello effettivamente realizzabile dalla compagnia;

b) l'adozione di tavole di mortalità che spesso lasciano margini di utili alla compagnia.

Con questi caricamenti si possono fronteggiare, in tutto o in parte, le spese di cui sopra; nonché le eventuali perdite derivanti alla compagnia per scarti sfavorevoli della mortalità effettiva dalla presunta, di cui si dirà appresso (§ 18).

Il premio puro, aumentato dei caricamenti, dà luogo al premio lordo o di tariffa. Il premio annuo lordo o di tariffa può essere frazionato in rate; in tal caso il premio semestrale, trimestrale, mensile, si determina praticamente aumentando il premio annuo lordo rispettivamente del 2%, 3%, 4% e dividendo il risultato rispettivamente per 2, 4, 12.

12. Assicurazioni con contro-assicurazione. - Qualsiasi forma di assicurazione comporta il pagamento da parte della compagnia di certe somme se si verifichino determinati avvenimenti di vita o di morte dell'assicurato; ed il pagamento, da parte di questo, di certi premî. Nel caso che quegli avvenimenti non si verifichino, nessuna somma è dovuta dalla compagnia. Ora, può essere stipulata una clausola in virtù della quale la compagnia, nel caso indicato, debba restituire tutti i premî pagati dall'assicurato, senza interessi (contro-assicurazione). Quando il contratto contiene questa clausola, l'assicurazione si dice fatta con contro-assicurazione.

L'assicurazione con contro-assicurazione si può considerare come costituita da due assicurazioni: l'assicurazione principale, quale risulterebbe dal contratto sopprimendo la clausola suddetta, e la contro-assicurazione risultante dalla clausola di restituzione dei premî pagati, cioè dei premî di tariffa. Pertanto, il premio puro dell'assicurazione con contro-assicurazione si determina come somma di due premî: l'uno relativo all'assicurazione principale, l'altro relativo alla contro-assicurazione del premio di tariffa. Si ha allora un'equazione in cui entrano come incognite il premio puro e il premio lordo. Ma un'altra equazione fra le stesse incognite è fornita dalla relazione che il premio di tariffa è eguale al premio puro aumentato dai relativi caricamenti; si hanno così due equazioni che permettono di determinare simultaneamente i due premî.

13. Riserve matematiche. - Si consideri un gruppo di individui coetanei assicurati ad una stessa epoca e per una stessa forma di assicurazione.

Gli assicurati pagano i loro premî puri e la compagnia paga in corrispondenza delle somme per soddisfare ai propri impegni. Avuto riguardo alle più comuni forme di assicurazioni, le entrate della compagnia superano, nei primi anni, le uscite; si ha perciò costituzione di riserva per il gruppo di assicurati sopravviventi e quindi una riserva media per ciascuno di essi.

Nell'ipotesi che il tasso d'interesse adottato nei calcoli coincida perfettamente con quello realizzato e che le probabilità di morte presupposte si addicano alla collettività assicurata, astraendo - per il momento - anche dagli scarti accidentali tra la mortalità effettiva e la presunta, la riserva individuale, generata nel modo indicato, è tale che, unita al valore attuale medio dei premî puri ancora dovuti dall'assicurato, eguaglia il valore attuale medio dei corrispondenti futuri impegni della compagnia.

La riserva media calcolata in queste ipotesi è la riserva matematica pura di ciascun assicurato del gruppo considerato. Ne segue che la riserva matematica pura di un assicurato ad una certa epoca è data dalla differenza tra il valore attuale medio, a quell'epoca, dei futuri impegni della compagnia e il valore attuale medio, alla stessa epoca, dei futuri premî puri dovuti dall'assicurato. La riserva così determinata si dice determinata col metodo prospettivo.

Si consideri nuovamente la riserva costituita per tutti gli assicurati sopravviventi del gruppo considerato. Questa riserva, nelle ipotesi fatte, e con riferimento a una certa epoca, può essere determinata facendo la differenza tra il montante finanziario dei premî puri che avrebbero dovuto pagare, anteriormente a quell'epoca, gli assicurati sopravviventi, quali risultano dalla tavola di sopravvivenza adottata, e il montante finanziario delle somme assicurate che, sulla base della stessa tavola, avrebbe dovuto pagare, nello stesso tempo, la compagnia; tutti i pagamenti essendo riferiti, per interessi, all'epoca della riserva.

Dividendo la riserva complessiva così ottenuta per il numero di assicurati sopravviventi forniti dalla tavola suddetta, si ottiene la riserva matematica relativa ad un assicurato del gruppo. Quando la riserva viene determinata in base al criterio ora accennato, si dice che è determinata col metodo retrospettivo.

Per le forme di assicurazioni più comuni, le riserve di cui si è detto sono positive in tutto il periodo di assicurazione; e inoltre la riserva prospettiva coincide con quella retrospettiva.

Finora si è supposto che la riserva sia stata determinata in base ai premî puri ed ai soli impegni della compagnia verso l'assicurato.

Gli ulteriori impegni della compagnia per le spese di cui si è fatto cenno al paragrafo 11 e i corrispondenti caricamenti ai premî puri, possono dar luogo ad altre riserve.

Così, avuto riguardo alle prime spese, nel caso che l'assicurato paghi dei premî annui, la compagnia anticipa queste spese e l'assicurato paga un premio addizionale per il rimborso di esse. Si ha dunque un credito della compagnia verso l'assicurato, per prime spese, finché dura il pagamento dei premî; tale credito costituisce una riserva negativa.

Una riserva positiva si ha, invece, per le spese d'amministrazione, quando il pagamento dei premî annui non si estende a tutto il periodo in cui vi sono impegni della compagnia, ma ad una parte di esso. In tal caso il premio addizionale pagato dall'assicurato per il rimborso di tali spese supera ogni anno le spese stesse, con conseguente costituzione di riserva.

Per quanto riguarda le spese d'incasso, poi, non si ha costituzione di riserva, in quanto l'addizionale pagata per tale titolo serve a fronteggiare le spese stesse al momento in cui viene pagata.

L'insieme di tutte le riserve indicate, con riferimento ad un singolo assicurato, costituisce la riserva completa relativa a quell'assicurato.

14. Selezione all'entrata. Antiselezione. - Le compagnie, di regola, sottopongono a visita medica coloro che chiedono di assicurarsi per il caso di morte. Esse operano così una selezione tra gli assicurandi, onde può ritenersi che tutti gli assicurati per il caso di morte siano in buone condizioni di salute al momento della sottoscrizione del contratto.

Gli assicurandi in caso di vita non sono sottoposti a visita medica, ma essi medesimi si selezionano all'entrata nell'assicurazione, poiché, ovviamente, si assicurano per il caso di vita solo coloro che stimano di essere in buona salute.

Si può dunque ritenere che, per effetto della selezione, gli assicurati siano tutti in buona salute al momento della sottoscrizione del contratto.

Talvolta, dopo un certo tempo, un assicurato si allontana dalla compagnia: ciò può avvenire, nei riguardi di un assicurato in caso di morte, perché egli stima di trovarsi in condizioni di salute talmente buone da aver convenienza ad abbandonare l'assicurazione, per il motivo opposto, se si tratta di un assicurato in caso di vita. In questi casi si verifica una selezione degli assicurati, ai danni della compagnia, nota sotto il nome di antiselezione. Dei fenomeni di antiselezione le compagnie tengono conto nello stabilire le condizioni per i riscatti e trasformazioni di polizza, di cui ora si dirà.

15. Riscatti, riduzioni e trasformazioni di polizza. - Supposto che, dopo un certo tempo dalla sottoscrizione del contratto, un assicurato ne chieda la rescissione, si domanda se e quali valori di riscatto possano attribuirsi alla polizza.

Sembrerebbe che alla polizza si potesse attribuire come valore di riscatto la riserva matematica al momento della rescissione. Siccome però l'esodo dell'assicurato può dar luogo al fenomeno di antiselezione a danno della compagnia, questa non sempre consente il riscatto e, quando lo consente, non dà l'intera riserva matematica come valore di riscatto, ma solo una parte di essa.

La maggior parte delle compagnie concedono un valore di riscatto dopo tre anni almeno di assicurazione (allo scopo di potersi indennizzare delle prime spese e del danno causato dall'allontanamento dell'assicurato) per la vita intera, per le miste, ecc., escludendo le assicurazioni in caso di morte temporanee, le cui riserve riescano piccole. Le compagnie non concedono, invece, alcun valore di riscatto per le assicurazioni in caso di vita.

Spesso l'assicurato, fermando il pagamento dei premî, domanda una polizza liberata con la quale rimane assicurato per una somma ridotta. Base del calcolo della nuova somma assicurata è la riserva, tenuto conto che non vi sono prime spese da sostenere né alcuna provvigione da pagare per incasso di premî. La riduzione è consentita normalmente anche agli assicurati in caso di vita.

Avviene anche che l'assicurato domandi la trasformazione del suo contratto in altro. In tal caso la nuova assicurazione è considerata come un nuovo rischio (ove vi sia un aggravio di rischio l'assicurato è soggetto ad un nuova visita medica) e la riserva è anche qui la base teorica della trasformazione.

16. Conti profitti e perdite. - Da tutti i caricamenti impliciti ed espliciti (v. § 11) possono provenire gli utili di una compagnia assicuratrice. Essi possono mettersi annualmente in evidenza per mezzo di un conto profitti e perdite in cui si pongano: all'entrata, il valore delle riserve e degli altri impegni della compagnia al principio dell'esercizio, i premî e le altre entrate di competenza dell'esercizio, gl'interessi realizzati sulle somme del conto; e all'uscita, il valore delle riserve alla fine dell'esercizio, i capitali dovuti in esecuzione dei contratti, le spese d'amministrazione ed altre spese di competenza dell'esercizio. Il bilancio di un tale conto fa conoscere l'utile o la perdita dell'esercizio considerato.

Speciale importanza acquista l'accertamento annuo degli utili o delle perdite dovuti a scarti della mortalità effettiva dalla teorica o a scarti del rendimento effettivo dei capitali da quello teorico, in quanto tali accertamenti mettono la compagnia in guardia sulle basi di calcolo adottate nella determinazione delle tariffe avuto riguardo al tasso d'interesse e alle tavole di mortalità.

L'utile complessivo (o la perdita complessiva) di capitalizzazione e di mortalità si può mettere in evidenza impostando nel conto profitti e perdite: all'entrata, le riserve pure al principio dell'esercizio, i premî puri di competenza dell'esercizio, gl'interessi realizzati durante l'esercizio sulle somme del conto; al passivo, le riserve pure alla fine dell'esercizio e i capitali, dovuti nell'esercizio, in esecuzione dei contratti (considerando l'intera riserva pura dell'assicurato nei casi che il capitale ad esso effettivamenie pagato apporti un utile dovuto a cause diverse da quelle che si considerano, come p. es., nei casi di riscatto).

Ove poi all'attivo, invece degl'interessi realizzati, s'iscrivessero gl'interessi sulle somme figuranti nel conto, calcolati al saggio teorico al quale sono computate le riserve, il pareggio del conto darebbe il solo profitto (o perdita) di mortalità.

Quando siano determinati il profitto complessivo, di capitalizzazione e di mortalità, ed il profitto di mortalità (tali profitti hanno il significato di perdite, se negativi), è agevole determinare il profitto (o perdita) di capitalizzazione.

17. Bilancio tecnico o stato patrimoniale. - Grande importanza ha per una compagnia il verificare a fine esercizio se essa possieda le riserve necessarie per fronteggiare gl'impegni di tutte le assicurazioni vigenti.

Si procede a tale verifica per mezzo di un bilancio nel quale, con riferimento al momento di chiusura dell'esercizio, si pongano all'attivo il valore delle attività della compagnia, e al passivo il valore delle riserve matematiche delle assicurazioni in corso, il valore delle riserve di garanzia che si rendono necessarie ed il valore delle altre passività.

Come riserve matematiche delle assicurazioni in corso, si possono portare, al passivo del bilancio, le riserve complete, cioè le riserve in base ai premî di tariffa, avvertendo che è prudente di porre eguali a zero quelle che riuscissero negative (ciò che può avvenire dato che nella riserva completa entra quella negativa relativa alle prime spese).

Questa avvertenza non è più necessaria quando si portino in bilancio le riserve pure aumentate delle eventuali riserve relative alle spese d'amministrazione. In tal caso la compagnia ha un attivo latente nelle addizionali che pagheranno gli assicurati a rimborso delle prime spese. Con questi criterî si riesce ad evitare l'impostazione al passivo di riserve in difetto.

Analogamente, nell'impostare i valori delle attività in bilancio, occorre procedere a stime prudenziali.

Se, a fine di un esercizio, le attività prudentemente stimate non sono inferiori alla somma delle attendibili riserve matematiche, delle necessarie riserve di garanzia e del valore delle altre passività della compagnia, questa è in condizioni di solvibilità.

18. La teoria del rischio. - Ammesso che, a una determinata epoca, con riferimento agli assicurati esistenti, una compagnia abbia le sue riserve matematiche pure in regola, queste riserve, unite ai valori attuali dei premî puri futuri che pagheranno gli assicurati, bilanceranno l'insieme dei valori attuali degl'impegni della compagnia verso gli assicurati considerati.

Ma questo equilibrio è un equilibrio teorico. Bisogna tener conto degli scarti accidentali fra la mortalità effettiva e la presunta, allo stesso modo - per es. - che pur essendo ¹/₂ la probabilità di estrarre pallina bianca da un'urna, non è vero che su 100 prove la pallina bianca debba venir fuori 50 volte.

Sull'epoca delle morti dei singoli assicurati possono farsi ipotesi diverse cui corrispondono delle probabilità facilmente calcolabili. È evidente che ad ogni ipotesi sulle epoche delle morti degli assicurati esistenti, fa riscontro una perdita, positiva o negativa, da parte della compagnia. Tenuto conto delle riserve esistenti, il valore medio della perdita della compagnia è nullo, ma non si può dire che, con riferimento agli assicurati esistenti, sia nullo il valore dell'effettiva perdita della compagnia. Si può determinare, per mezzo del calcolo delle probabilità, un valore limite di questa perdita che non possa essere oltrepassato con un'assegnata probabilità, per es. con probabilità 0,999. Tale valore limite costituisce la riserva di rischio corrispondente a quella probabilità. Tale riserva può riuscire poi negativa o nulla quando si tengono presenti non soltanto i premî puri, ma anche le addizionali destinate appunto a far fronte alle deviazioni, sfavorevoli alla compagnia, della mortalità effettiva da quella presunta.

Il concetto di somma massima assicurabile da parte di una compagnia può farsi rientrare in quest'ordine di idee. Una definizione di somma massima assicurabile si può dedurre dalla considerazione che la compagnia, procedendo a una nuova assicurazione, non debba aumentare la sua riserva di rischio.

Bibl.: Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées, edizione francese di J. Molk, I, iv, Parigi 1908; U. Broggi, Matematica attuariale, Milano 1906; E. Czuber, Die Wahrscheinlichkeitsrechnung und ihre Amwendung, II, Lipsia 1910; E. Dormoy, Théorie des assurances sur la vie, Parigi 1879; G. Gardenghi, Teoria matematica della previdenza, Parma 1889; G. King, Institute of Actuaries' Text Book, ii: Life contingencies, Londra 1902; C. Landré, Mathematisch-tecnische Kapitel zur Lebensversicherung, 2ª ed., Jena 1901; T. Molinari, Ordinamento tecnico e amministrativo delle compagnie di assicurazione sulla vita, Roma 1906; H. Poterin du Motel, Théorie des assurances sur la vie, Parigi 1896; P. J. Richard e E. Petit, Théorie mathématique des assurances, I, Parigi 1922; A. Zillmer, Die mathematischen Rechnungen bei Lebens-und Rentenversicherungen, Berlino 1887.