massimo
massimo
In matematica, il m. di un insieme di numeri reali è dato dall’estremo superiore dell’insieme, quando esso sia finito e appartenga all’insieme; per es., l’insieme dei numeri 1−x2 (essendo x un numero reale variabile) ammette come m. il numero 1; invece l’insieme dei numeri 1−1/x2, pur ammettendo 1 come estremo superiore, non è dotato di massimo. Il m. di una funzione reale f(x) di una variabile reale x, invece, si ottiene quando esiste un punto x0 tale che il valore della funzione in quel punto, f(x0), è non inferiore al valore assunto in tutti i punti intorno a esso; formalmente, f(x0)≥f(x) per ogni valore di x compreso in un intorno di x0. Si dice allora che la funzione f(x) assume in x0 un m. relativo, o locale, pari a f(x0), e x0 si dice punto di m. o massimante per la f(x). Se inoltre la disuguaglianza f(x0)≥f(x) è verificata per tutti i punti su cui è definita la funzione f(x), allora esso è anche un m. assoluto, o globale. Il m. assoluto, se esiste, coincide con il m. tra i m. relativi.
La definizione di m. si estende facilmente al caso di funzioni di più variabili reali, per le quali x=(x1, x2,..., xn) è un vettore di n variabili reali e quindi f(x)=f(x1, x2,..., xn). Inoltre, è immediato verificare che un m. della funzione f(x) coincide con un minimo della stessa funzione con segno opposto, −f(x). I problemi di m. e di minimo sono perciò equivalenti e vanno generalmente sotto il nome di problemi di ottimizzazione (➔ p). In teoria economica, il problema di ottimo, ossia di m., si applica in numerosissimi campi di ricerca: per es., nelle scelte di consumo e di risparmio delle famiglie e in quelle di produzione e di investimento delle imprese, nella determinazione dell’allocazione ottima in senso paretiano, nelle decisioni di politica economica da parte del settore pubblico e così via.
Alcuni criteri per l’esistenza di un massimo
Si consideri il classico teorema di Weierstrass: una funzione continua in un insieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo a un numero qualunque di dimensioni vi ammette sempre almeno un m. (e almeno un minimo). Più generalmente, il teorema vale anche in relazione a un qualunque insieme compatto di uno spazio topologico. Si prenda in esame, per ultimo, il caso di una funzione di più variabili reali che ammetta tutte le derivate parziali prime e seconde nell’intorno di un punto x0. In queste ipotesi, se in x0 vi è un m. della f(x), allora in x0 sono nulle tutte le derivate parziali prime (➔ derivata) e l’hessiano (➔) della f(x), calcolato in x0, risulta essere il determinante (➔) di una forma quadratica semidefinita negativa (o definita negativa); in particolare, per le funzioni di una variabile accade che la derivata prima è nulla e quella seconda è negativa; per le funzioni di due variabili accade che le due derivate parziali prime sono nulle, l’hessiano è maggiore o uguale a 0 e le due derivate parziali seconde sono entrambe negative.