MASSA

MASSA

. Meccanica. - Vocabolo della meccanica teorica, che designa un dato quantitativo (una grandezza fisica scalare) caratteristico d'ogni singolo corpo materiale.

Prima del rinascimento scientifico si confondeva massa con peso. Attraverso le nuove vedute di Leonardo da Vinci e di Cartesio, e soprattutto di Galileo, la distinzione venne in evidenza, insieme col riconoscimento del principio d'inerzia (v. inerzia). Mentre il peso è la forza con cui un corpo viene attratto verso la Terra, la massa è la misura della sua inerzia, cioè della difficoltà che si incontra a cambiare il suo stato di quiete o di moto. In un determinato ambiente e in condizioni normali, il peso è proporzionale alla massa, in ragione del campo gravifico che sollecita uniformemente tutti i corpi; e quindi si fa confusione. Ma uscendo da queste condizioni di uniforme ambiente, la distinzione appare in luce: il peso di un corpo può essere variato portando il corpo in ambienti dove il campo gravifico sia diverso (a diverse latitudini, o a diverse profondità o altitudini, o su altri pianeti), o può essere controbilanciato per effetto del galleggiamento; ma la massa rimane quello che è. Un galleggiante piccolo e una nave grande in equilibrio sull'acqua si comportano come se avessero perduto il loro peso, ma la differenza di massa si riconosce quando si applicano sforzi per muoverli sull'acqua: entrambi cedono anche a un piccolo sforzo ma il moto che acquistano è diverso. Per fare acquistare a una grande nave una data velocità in un dato tempo, o per portarla alla quiete se si muove, occorre uno sforzo più potente di quanto si richiede per ottenere lo stesso risultato su una barca. Questa differenza si esprime dicendo che i due corpi hanno massa differente.

Isacco Newton, codificando la dinamica, di cui Galileo aveva dato i primi fondamenti, enunciò che la massa è la quantità di materia contenuta in un corpo; e questa definizione fu da taluni accettata, ma dai più criticata come vaga; più oltre però mostrò in qual modo la massa interviene, come coefficiente d'inerzia di un corpo, nelle equazioni del moto; e di qui si ritornerebbe alla concezione già accennata in principio. Nel dare la legge di gravitazione, Newton fece intervenire nuovamente le masse, enunciando che la forza di attrazione mutua di due corpi (punti materiali) è in ragione diretta del prodotto delle masse, e in ragione inversa del quadrato delle distanze.

A torto la definizione di massa come quantità di materia è stata tacciata come priva di contenuto: questa definizione è sufficiente quando si paragonino corpi formati della stessa qualità di materia, ma viene meno solamente quando si vogliono confrontare corpi di natura diversa.

Contiene però sempre in sé un postulato d'importanza fondamentale, quello della proprietà additiva: riunendo più corpi in uno, si addizionano le loro masse.

Le cognizioni sulla massa si sono accresciute quando, dopo aver constatato che la massa di ogni corpo e di ogni particella non varia attraverso le vicende meccaniche e fisiche, si è appreso (ai primordî del sec. XIX) che anche attraverso le reazioni chimiche la somma delle masse dei corpi che v'intervengono non varia.

Molto si è discusso attraverso tutto l'ultimo secolo sul modo più opportuno di formulare la definizione di massa nelle trattazioni di meccanica, e soprattutto nell'insegnamento. Ma negli ultimi anni, e con le trattazioni moderne, si è appreso a riconoscere che la massa di un corpo si presenta sotto tre aspetti diversi:

a) massa inerte: è la riluttanza che un corpo presenta a modificare il proprio stato di moto o di quiete; o in altre parole è la sua inerzia, misurata dal rapporto tra forza e accelerazione

b) massa quantitativa o newtoniana di un corpo: è la quantità di materia in esso contenuta, cioè una grandezza caratteristica e invariabile per ogni singolo corpo e che nella riunione di più corpi in uno solo obbedisce alla proprietà additiva. In base alle cognizioni odierne si lascia senz'altro definire come uguale (o proporzionale) al numero dei protoni (a ciascuno dei quali si accompagna poi un elettrone negativo) che compongono il corpo, il che rimette in pieno valore l'enunciato di Newton;

c) massa gravitazionale: cioè quella grandezza che interviene nella legge di attrazione newtoniana

e questa massa gravitazionale si potrebbe ulteriormente distinguere in massa attraente e massa pesante se il principio di azione e reazione non c'insegnasse che sono eguali.

L'esperienza prova che nell'ambito dei fenomeni ordinarî (meccanica classica) le tre masse sono proporzionali fra loro con esattezza grandissima (esperienze di Eötvös), e quindi si possono fra loro identificare, una volta assunto ad arbitrio un corpo determinato come unità di massa. In dipendenza della definizione c), la massa m di un corpo e il suo peso p restano legati dalla relazione

dove g è l'accelerazione della gravità (a Roma, g = 9,80 m sec²).

Dal carattere triplice sotto cui si presenta la massa, dipendono le difficoltà incontrate in molte esposizioni didattiche e le incertezze che ne sono conseguite. Quando gli autori non hanno oscillato senza accorgersene fra l'una e l'altra concezione, hanno preferito in generale la definizione a), che è quella che interessa per prima in dinamica. Per contro, la misura effettiva delle masse (per rapporto a una massa campione), nella vita pratica e nei laboratorî di precisione, si fa con la bilancia, e quindi applicando esclusivamente le definizioni b) e c). Nel comporre una pesiera tipo, quando come campione di massa = 2 si adopera la riunione di due identici campioni di massa = 1, si applica la proprietà additiva e quindi la definizione di massa come quantità di materia.

In quasi tutti i sistemi di misura, l'unità di massa è fra i campioni primi, realizzati da un corpo di platino, conservato negli archivî: nei paesi aderenti al sistema metrico decimale, il chilogrammo (campione internazionale a Parigi); in quelli anglosassoni la libbra (pound).

La nozione di massa ordinaria o concreta dà luogo a quella di massa specifica, o densità, che sarebbe la massa per unità di volume. Indicando questa con ρ, la massa di un corpo idealmente continuo è espressa da

dove l'integrale va esteso al volume del corpo.

Spiegazione elettromagnetica della massa. - Secondo le idee finora prevalenti, la massa inerte o massa meccanica, cioè la proprietà d'inerzia dei corpi, non è una proprietà primordiale inesplicabile, ma è l'effetto di un meccanismo di azioni complicato di carattere elettromagnetico. Ogni granulo elettrico costitutivo della materia è circondato da un campo elettromagnetico, che dipende dalla velocità del granulo, in modo che si sa calcolare; questo campo reagisce sul granulo con effetto noto; per alterare la velocità del granulo, occorre applicare una sollecitazione proporzionata alla mutazione di campo che deve conseguire. Facendone il calcolo, si perviene alla relazione F/a = costante, e la costante, che si calcola in base alle dimensioni del granulo, è appunto la massa inerte; questa risulta proporzionale alla quantità di materia, perché i granuli positivi (protoni) sono tutti identici fra loro, e in numero uguale a quelli negativi (elettroni) tutti a loro volta identici fra loro. La necessità del collegamento con la massa gravitazionale risulta poi dalle considerazioni relativistiche di cui si dirà fra un momento.

I fisici ritengono quasi tutti che ogni massa abbia questa spiegazione. Rimane però oscuro il fatto constatato che la massa del protone sia di gran lunga superiore a quella dell'elettrone; alcuni credono quindi additare nel protone una massa inerte di altra origine, che si aggiungerebbe a quella elettromagnetica.

Le masse nella fisica relativista. - Quanto si è detto finora vale nel campo e nei limiti della meccanica classica. Se le velocità dei corpi non sono trascurabili in confmnto a quella della luce, intervengono le correzioni relativiste. La massa inerte a) non è più allora costante e quindi non più uguale alla massa quantitativa b); quest'ultima, identificata con la massa inerte misurata allo stato di riposo, prende il nome di massa invariante: indicandola con m₀, si hanno in contrapposto a questa due masse inerti: quella trasversale,

e quella longitudinale,

dove v denota la velocità del corpo, c quella della luce.

L'una e l'altra crescono con la velocità, e divengono infinite quando la velocità del corpo uguaglia quella della luce. Questa dipendenza della massa inerte dalla velocità ha potuto essere constatata sperimentalmente nelle scariche elettriche.

Ma v'ha di più. Nella fisica relativista ogni energia (cumulata nella materia o scompagnata) possiede massa inerte; se v'è un quantitativo w d'energia, la sua massa è

L'aumento di massa che un corpo ordinario acquista quando è in moto corrisponde precisamente alla massa inerte della sua energia cinetica. La massa dell'energia libera si ricollega con la pressione della radiazione, e tenendone conto si riconcilia l'elettrofisica moderna col principio di azione e reazione.

Queste diverse relazioni si collegano poi con la teoria dei fatti gravitazionali, che forma oggetto della seconda relatività di Einstein.

Altri significati della parola massa s'incontrano in altri rami della fisica e in altre scienze, in senso traslato. In particolare, un tempo si usavano le frasi "massa elettrica", "massa magnetica"; oggi per evitare equivoci si preferisce dire "carica elettrica", "quantità d'elettricità", ecc.

Bibl.: W. Thomson e P. G. Tait, Natural Philosophy, I, Cambridge, edizioni varie dal 1867 in poi; Il concetto di massa, Atti della Commissione (F. Piola, G. Vailati, G. Giorgi) nominata dalla Società Italiana di fisica, in Nuovo Cimento, 1907; T. Levi-Civita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale, I, 2ª ed., Bologna 1930; G. Hamel, Die Axiome der Mechanik, in Handbuch der Physik, V, e altri riferimenti in altri volumi dello stesso Handbuch; G. Giorgi, Lezioni di meccanica razionale, II, Roma 1933.

Geometria delle masse.

Così s'intitola (con felice locuzione dovuta a J.-N. Haton de la Goupillière, 1857) quel capitolo della meccanica razionale che si occupa dei baricentri, dei momenti statici, dei momenti d'inerzia, e delle loro estensioni. La possibilità di fare una trattazione puramente geometrica di questi argomenti, libera, quindi, da ogni applicazione meccanica, fu accennata da L. Carnot, indi da M. Chasles, che intravvide giustamente che tale procedimento avrebbe meglio collegato le diverse nozioni, e ne avrebbe reso più facile e razionale l'esposizione (Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en Géométrie, 1837, cap. V, § 24, nota).

Si può dire che la geometria delle masse, in senso lato, considera sistemi di punti a ciascuno dei quali è associato un numero reale positivo o negativo, detto massa del punto stesso. Il caso più importante per la meccanica razionale è quello in cui tutte le masse sono positive, e sarà quello che si terrà generalmente in vista nelle brevi indicazioni che seguono.

1. Baricentri o centri di massa o centri di gravità (v. gravità: Centro di gravità, v. anche guldin).

2. Momenti statici, o di primo ordine o lineari. - Momento statico di una massa m, collocata in un punto P, rispetto a un piano π, è il prodotto della massa per la distanza algebrica δ del punto dal piano (quest'ultima essendo valutata positivamente o negativamente, secondo che il punto si trova da una parte o dall'altra del piano). Designeremo il momento statico con S, e scriveremo:

Momento statico di un sistema materiale rispetto a un piano è la somma dei momenti statici, rispetto allo stesso piano, delle singole masse costituenti il sistema. Per un sistema discreto, costituito da n punti P_i (i = 1, 2, ..., n), di masse m_i, situati alle distanze δ_i dal piano, si ha:

Per un sistema continuo, cioè per una distribuzione materiale a una dimensione (filo, asta), a due dimensioni (velo, lamina), o a tre dimensioni (corpo), si ha:

essendo ρ la densità della distribuzione (lineare, superficiale o cubica), e designando C il campo (a una, due, o tre dimensioni) occupato dal sistema, δ la distanza dell'elemento dC dal piano prefissato.

Si dimostra che il momento statico di un sistema rispetto a un piano eguaglia il momento statico, rispetto allo stesso piano, dell'intera massa del sistema supposta concentrata nel baricentro (regola dei momenti statici). Pertanto, è nullo il momento statico di un sistema rispetto a ogni piano passante per il baricentro.

L'equazione dimensionale dei momenti statici è: [S] = ML. L'unità di misura nel sistema C. G. S. è: gr. cm.

La nozione di momento statico si può far risalire ad Archimede (De Aequiponderantibus, lib. I, prop. VI e VII).

3. Momenti d'inerzia, o di secondo ordine, o quadratici. - Momento d'inerzia di una massa m, collocata in un punto P, rispetto a un asse, è il prodotto della massa per il quadrato della distanza δ del punto dall'asse. Designeremo il momento d'inerzia con I, e scriveremo:

Momento d'inerzia di un sistema materiale rispetto a un asse è la somma dei momenti d'inerzia, rispetto a quell'asse, delle singole masse costituenti il sistema. Per un sistema discreto si ha:

e per un sistema continuo:

dove intervengono simboli il cui significato fu già dichiarato.

Raggio d'inerzia, o raggio di girazione, o giratore di un sistema materiale rispetto a un asse, è quella distanza Δ alla quale dev'essere collocata una massa puntiforme eguale alla massa del sistema, affinché essa abbia, rispetto a quell'asse, il medesimo momento d'inerzia che ha il sistema. Il giratore si calcola mediante la formula:

dove M designa la massa del sistema.

L'equazione dimensionale dei momenti d'inerzia è: [I] = ML². L'unità di misura dei momenti d'inerzia nel sistema C. G. S. è: gr. cm².

I momenti d'inerzia intervengono per la prima volta in Huygens, Horologium oscillatorium (1673). La denominazione è dovuta a Euler, che la giustifica come segue: "Ratio hujus denominationis ex similitudine motus progressivi est desumpta: quemadmodum enim in motu progressivo, si a vi secundum suam directionem sollicitante acceleretur, est incrementum celeritatis ut vis sollicitans divisa per massam seu inertiam; ita in motu gyratorio, quoniam loco ipsius vis sollicitantis ejus momentum considerari oportet, eam expressionem ʃrrdM, quae loco inertiae in calculum ingreditur, momentum inertiae appellemus, ut incrementum celeritatis angularis simili modo proportionale fiat momento vis sollicitantis diviso per momentum inertiae" (Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum, 1765, n. 426).

Relazione fra i momenti d'inerzia rispetto a due assi paralleli. - Sussiste la relazione espressa dal teorema di Huygens (1673): il momento d'inerzia rispetto a un asse eguaglia la somma del momento d'inerzia rispetto all'asse parallelo passante per il baricentro e del momento d'inerzia, rispetto al primo asse, dell'intera massa del sistema supposta concentrata nel baricentro. A questo teorema equivale la seguente proposizione geometrica: il giratore rispetto a un asse è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, che ha per cateti il giratore rispetto all'asse baricentrale parallelo e la distanza dei due assi. Pertanto, fra tutti gli assi che hanno una medesima direzione, quello rispetto al quale è minimo il momento d'inerzia è quello baricentrale; rispetto agli altri, il momento d'inerzia cresce col crescere della distanza dal baricentro, ed è lo stesso rispetto a tutti quelli che dal baricentro sono equidistanti.

Relazione fra i momenti d'inerzia rispetto ad assi concorrenti. - Sussiste la relazione espressa, sotto forma geometrica, dal teorema di Cauchy (1827): portando, a partire da un punto, su ciascun asse passante per quel punto e in ambi i sensi, un segmento misurato dalla reciproca della radice quadrata del momento d'inerzia rispetto a quell'asse, si ottiene, su ciascun asse, una coppia di punti, il cui luogo è un ellissoide, che ha il centro nel punto dato. Questo ellissoide si chiama ellissoide d'inerzia del sistema rispetto a quel punto, e talvolta ellissoide d'inerzia di Poinsot: a L. Poinsot, infatti, si deve (1834) la classica interpretazione geometrica, mediante il predetto ellissoide; del moto per inerzia di un sistema rigido con un punto fisso (v. dinamica, n. 32). Gli assi dell'ellissoide d'inerzia relativo a un punto si chiamano assi principali d'inerzia relativi a quel punto (Segner, 1755); rispetto a due di essi il momento d'inerzia assume il valor massimo e il valor minimo fra tutti quelli relativi ad assi passanti per quel punto. L'ellissoide d'inerzia relativo al baricentro si chiama ellissoide centrale d'inerzia. La conoscenza dell'ellissoide centrale d'inerzia, e della massa del sistema, permette di determinare il momento d'inerzia rispetto a un asse qualunque.

L'ellissoide d'inerzia relativo a un punto qualunque, riferito a tre assi cartesiani ortogonali x, y, z passanti per il punto stesso, ha l'equazione:

dove intervengono, insieme ai momenti d'inerzia rispetto agli assi di riferimento: A, B, C., anche le quantità D, E, F, ciascuna delle quali è la somma dei prodotti delle singole masse che formano il sistema per le rispettive distanze algebriche da due piani coordinati. Le quantità D, E, F si chiamano momenti deviatori o prodotti d'inerzia, e sono eguali allo zero se gli assi di riferimento sono gli assi principali d'inerzia relativi al punto considerato.

Sistemi di masse complanari. - Se tutte le masse sono nel medesimo piano, la somma dei momenti d'inerzia rispetto a due assi del piano fra loro ortogonali eguaglia il momento d'inerzia rispetto all'asse perpendicolare al piano e passante per il punto d'intersezione dei primi due. In questo caso si parla di momento statico rispetto a un asse del piano, ed è la somma dei prodotti delle singole masse per le loro distanze algebriche da quell'asse (ed è pure il momento statico rispetto al piano passante per quell'asse e normale al piano delle masse); come dianzi si definì l'ellissoide d'inerzia rispetto a un punto, ora si definisce l'ellisse d'inerzia rispetto a un punto del piano (che è pure la sezione col piano dell'ellissoide d'inerzia rispetto a quel punto). L'ellisse d'inerzia relativa al baricentro si chiama ellisse centrale d'inerzia, o meglio, come poi spiegheremo, prima ellisse centrale d'inerzia, o ellisse centrale d'inerzia del Poinsot.

I sistemi di masse complanari hanno speciale importanza per la scienza delle costruzioni, e il loro studio è oggetto di un capitolo della statica grafica. Qui, appunto in vista delle applicazioni, ha grande interesse la nozione di centro relativo a un asse del piano, ed è questo punto il baricentro, non delle masse effettive, ma di masse fittizie, collocate negli stessi punti e proporzionali ai momenti statici delle masse effettive rispetto a quell'asse. La corrispondenza fra rette del piano e centri relativi è quella medesima che è nota, nella geometria proiettiva, col nome di antipolarità, rispetto a un'ellisse che ha per centro il baricentro del sistema, e che si denomina seconda ellisse centrale d'inerzia, o ellisse centrale d'inerzia del Culmann, o addirittura ellisse centrale d'inerzia nella scienza delle costruzioni, dove non è confondibile con quella del Poinsot.

L'ellisse del Culmann è omotetica all'ellisse del Poinsot. Anche l'ellisse del Culmann può servire per determinare i momenti d'inerzia rispetto agli assi baricentrali, perché il raggio d'inerzia rispetto a un asse baricentrale qualunque è dato dalla distanza dal baricentro delle tangenti all'ellisse del Culmann parallele all'asse considerato. Una tale rappresentazione geometrica si può stabilire anche per i raggi d'inerzia relativi ad assi concorrenti in un punto qualunque del piano: condotte le due parallele a ciascun asse passante per quel punto, a distanze eguali al rispettivo raggio d'inerzia, esse inviluppano un'ellisse, ellisse d'inerzia del Culmann relativa al punto considerato, omotetica alla corrispondente ellisse d'inerzia del Poinsot. Sussiste la notevole circostanza geometrica che il baricentro del sistema risulta interno a tutte le ellissi d'inerzia del Culmann, relative a tutti i punti del piano.

Quando l'ellisse centrale d'inerzia del Culmann non si riduce a una circonferenza, esistono due punti del piano rispetto ai quali l'ellisse di inerzia del Culmann è una circonferenza; e questi punti si trovano sull'asse minore dell'ellisse centrale d'inerzia, sono simmetrici rispetto al baricentro, e la loro distanza da questo punto eguaglia la distanza dal medesimo punto dei fuochi dell'ellisse stessa. Questi punti si chiamano antifuochi. Gli assi dell'ellisse d'inerzia relativa a un punto qualunque del piano sono le bisettrici degli angoli formati dai due raggi che dal punto stesso proiettano gli antifuochi. Le famiglie delle ellissi e delle iperboli omofocali, i cui fuochi sono gli antifuochi, segnano, in ciascun punto del piano, le direzioni degli assi principali d'inerzia relativa quel punto; ciascuna di queste linee risulta inviluppo di assi rispetto ai quali il momento d'inerzia è costante, e pertanto esse si dicono linee isoinerti.

Esempî relativi a notevoli distribuzioni materiali omogenee.

a) Anello o circonferenza. - Sia r il raggio dell'anello. L'ellissoide centrale d'inerzia è rotondo. Il giratore rispetto all'asse baricentrale normale al piano dell'anello, e quello rispetto a un diametro, sono rispettivamente:

b) Disco o cerchio o lamina circolare. - Sia r il raggio del disco. L'ellissoide centrale d'inerzia è rotondo. Il giratore rispetto all'asse baricentrale normale al piano del disco, e quello rispetto a un diametro, sono rispettivamente:

c) Lamina rettangolare. - Siano a e b le lunghezze dei lati. Gli assi principali d'inerzia relativi al baricentro sono le mediane del rettangolo e la normale al piano del rettangolo. I corrispondenti giratori hanno le espressioni:

d) Lamina ellittica. - Siano a e b le lunghezze dei semiassi. Gli assi principali d'inerzia relativi al baricentro sono gli assi dell'ellisse e la normale al piano dell'ellisse. I corrispondenti giratori hanno le espressioni:

e) Parallelepipedo retto. - Siano a, b, c le lunghezze degli spigoli. Gli assi principali d'inerzia relativi al baricentro sono paralleli agli spigoli, e i corrispondenti giratori hanno le espressioni:

f) Ellissoide. - Siano a, b, c, le lunghezze dei semiassi. Gli assi principali d'inerzia relativi al baricentro sono gli assi dell'ellissoide, e i corrispondenti giratori hanno le espressioni:

g) Sfera. - Sia r il raggio della sfera. L'ellissoide centrale d'inerzia è sferico. Il giratore rispetto a un diametro vale:

h) Cilindro rotondo. - Sia r il raggio del cilindro, sia h la sua altezza. L'ellissoide centrale d'inerzia è rotondo. Il giratore rispetto all'asse vale:

Bibl.: Alla geometria delle masse dedicano un capitolo molti trattati di meccanica razionale; qui ci limitiamo a citare: T. Levi-Civita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razionale, I, 2ª ed., Bologna 1930, cap. 10°; U. Cisotti, Lezioni di meccanica razionale, 2ª ed., Milano 1926, cap. 5°; G. A. Maggi, Geometria del movimento: Lezioni di cinematica con un'appendice sulla geometria della massa, 3ª ediz., Bologna 1927. - Trattazione omografica dei momenti d'inerzia in R. Marcolongo, Meccanica razionale, II, 3ª ed., Milano 1923, cap. 5°. Trattazione tensoriale dei momenti d'inerzia in U. Cisotti, Lezioni di calcolo tensoriale, Milano 1928, nn. 15 e 22. Trattazione enciclopedica della geometria delle masse: G. Jung, in Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, IV, i, Lipsia 1903 (traduzione francese, 1912). - Per la geometria dei sistemi di masse complanari, v.: C. Guidi, Lezioni sulla scienza delle costruzioni, I, 12ª ed., Torino 1930; F. Belloni, Meccanica applicata alle costruzioni, 2ª ed., Milano 1932.