martingala

martingala

Tipo di processo aleatorio (➔). Il nome si ricollega a una strategia usata in una sequenza di scommesse sugli esiti del lancio di una moneta perfetta (cioè con eguale probabilità 1/2 di uscita di testa a ogni lancio, indipendentemente dall’esito dei lanci precedenti), con guadagno (perdita) dello scommettitore in caso di uscita di testa (croce) pari alla posta S_n da lui liberamente scelta al lancio n.

Strategia

La m. consiste nell’iniziare puntando la somma 1 alla prima giocata e, in seguito, ancora 1 dopo una vincita (testa), e raddoppiando sistematicamente la posta precedente S_n+1=2S_n dopo una perdita (croce). Utilizzando questa strategia, la distribuzione del guadagno dopo N puntate è (al crescere di N) fortemente asimmetrica, con bassa probabilità di forti perdite che compensano un’alta probabilità di piccoli guadagni, ma la vincita attesa (speranza matematica), qualunque sia il numero di scommesse della sequenza, è sempre 0. Per es., dopo 3 giocate il guadagno può essere +3(sequenza TTT), +2(TCT e CTT), +1(TTC e CCT), 0(CTC), −2(TCC), −7(CCC) e la conclusione segue, tenendo conto che ciascuna sequenza ha probabilità pari a 1/8.

Definizione

Si dice m. un processo aleatorio X (in tempo discreto o continuo) tale che per ogni coppia di tempi s, t con s≤t è verificata la E(X(t)/F_s)=X(s). Qualunque sia l’informazione F_s, in gergo l’evento della filtrazione (➔), disponibile al tempo s (che include anche la conoscenza del valore X(s) assunto in s), la speranza matematica E(X(t)/F_s), condizionata a quell’informazione, del valore assunto da X in un tempo futuro t, eguaglia X(s). Ne consegue la E((X(t)−X(s))/F_s)=0 cioè, qualunque sia l’informazione disponibile in s, il valore atteso dell’incremento della variabile X nel tempo intercorrente fra s e t è zero. Schemi di scommesse associate a m. sono detti giochi equi per sottolineare la parità (in termini di guadagno atteso) delle condizioni dei due giocatori. Sostituendo le disequazioni nella condizione definitoria si ottengono le semimartingale, submartingale se E(X(t)/F_s)≥X(s) o supermartingale se E(X(t)/F_s)≤X(s).

Martingale finanziarie

Nelle applicazioni finanziarie X è il processo aleatorio dei prezzi di un asset (➔). Queste sono processi di submartingala che verificano la exp(−r(t−s))∙E(X(t)/F_s)=X(s), dove exp(−r(t−s)) indica il fattore di attualizzazione (➔) operante per l’intervallo t−s al tasso istantaneo di interesse (costante o almeno non aleatorio nei casi più semplici) r. In una submartingala finanziaria il valore attuale atteso condizionato eguaglia il valore corrente dell’asset, mentre il valore atteso lo supera, crescendo nel tempo al tasso (di rendimento) r. L’idea che i prezzi di mercato degli asset seguano processi di m., o anche di submartingala finanziaria, può apparire sorprendente. Chi detiene asset lo fa in vista di una rimunerazione sia del tempo sia del rischio; in una submartingala finanziaria solo il tempo è rimunerato (al tasso r). La spiegazione è che una submartingala finanziaria non descrive il processo dei prezzi del mondo aleatorio reale, bensì di uno virtuale, ottenuto trasformando in modo da neutralizzare il rischio e giustificare una pura rimunerazione del tempo (la rimunerazione del rischio è già incorporata nella trasformazione del mondo da reale a virtuale-neutrale al rischio).

Misure di martingala

Due misure di probabilità P e Q sono dette equivalenti se associano probabilità non nulle agli stessi eventi, cioè se comunque preso un evento F risulta P(F)>0, se e solo se Q(F)>0. Sono dette m. equivalenti se, oltre a essere equivalenti, siano ottenute l’una dall’altra mediante trasformazioni Z (o l’inversa Z⁻¹), riassunte nelle notazioni Q=Z(P) (P=Z⁻¹(Q)), che siano m. positive e con Z(0)=1. Tali trasformatori Z godono della proprietà che se X(t) è un processo aleatorio non negativo adattato alla comune filtrazione F_t, vale la E_P(X(t)∙Z(t))=E_Q(X(t)), che lega speranze matematiche E_P, E_Q calcolate rispetto alla misura P e, rispettivamente, Q. Nelle applicazioni, interessa scegliere Z in modo che X sia una m. sotto Q perchè X∙Z è allora m. sotto P. In sostanza, se Z è tale da trasformare X in una m. nel mondo virtuale Q, X∙Z diventa una m. nel mondo reale P. Un trasformatore di particolare rilievo nelle applicazioni è la m. Z_θ(t)=exp(θW(t)−θ²t/2), dove W(t) è un processo di Wiener standard sotto la probabilità P del mondo reale. Nel mondo trasformato il processo W(t) è modificato nel processo W(t)−θt, e ogni processo aleatorio non negativo X(t)=g(t,W(t)) di prezzi adattati all’informazione sottostante alla misura di probabilità del mondo reale è trasformato nel processo Y=g(t,W(t)−θt). Per es., se X è il moto browniano (➔ browniano, moto) geometrico

X

(t)=X(0)exp[(m−σ²/2)t+σW)], si ha

Y

(t)=Y(0)exp[(m−σ²/2)t+σ(W(t)−θt)]

=Y(0)exp[(m−σθ−σ²/2)t exp(σ(W(t)].

Se scegliamo θ in modo che Y sia una submartingala finanziaria, ovvero Y(0)=exp(−rt)E_P(Y(t)), deve essere m−σθ=r, ovvero θ=(m−r)/σ e appare chiaro il ruolo del parametro θ detto premio di rischio. Esso è quello per cui la misura di m. equivalente associata alla trasformazione è la misura neutrale di rischio (➔ rischio, Misure del rischio p); con quel parametro il mondo è stato trasformato nel mondo neutrale al rischio in cui solo il tempo viene rimunerato.