MAGNETOFLUIDODINAMICA

MAGNETOFLUIDODINAMICA (o magnetoidrodinamica o idromagnetismo)

È la teoria del moto di un fluido elettricamente conduttore in presenza di un campo magnetico. Le correnti elettriche ivi indotte per effetto del moto modificano il campo, mentre per la presenza di questo si determinano forze meccaniche che influiscono sul moto stesso. Questa mutua azione fa insorgere fenomeni, detti magnetofluidodinamici o idromagnetici, non contemplati nell'elettromagnetismo o nella fluidodinamica.

Sviluppo e possibili applicazioni. - Le ricerche, precedentemente sporadiche e del tutto marginali, si sono sviluppate in maniera cospicua e sistematica da quando, nel 1942, H. Alfvén ha scoperto per via teorica un particolare fenomeno ondoso (onde magnetoidrodinamiche), ottenuto in seguito in laboratorio operando su mercurio o su sodio liquido soggetti a un intenso campo magnetico.

L'interesse per tali fenomeni si è recentemente accresciuto in seguito all'osservazione che è possibile un loro prodursi nel cosmo. È importante al riguardo la scoperta (H. W. Babcock, 1949) di intensi campi magnetici stellari; la circostanza (W. A. Hiltner e J. S. Hall, 1949) che la luce proveniente da molte stelle lontane è piano-polarizzata, fa presumere inoltre l'esistenza di un campo magnetico interstellare, che orienterebbe le particelle di materia cosmica, in prevalenza fluida e spesso fortemente conduttrice in quanto intensamente ionizzata. Queste condizioni, per l'appunto favorevoli al verificarsi di fenomeni magnetofluidodinamici, possono produrre, in scala cosmica, per l'entità delle lunghezze e dei tempi, notevoli effetti come sarà chiarito più avanti. Una maggiore conoscenza dei fenomeni magnetofluidodinamici (conoscenza prevalentemente teorica, dato che la limitazione nello spazio e nel tempo degli esperimenti in laboratorio sembra costituire un notevole ostacolo alla loro realizzazione) fa sperare così che si possa migliorare la conoscenza di molti fenomeni cosmici. In questo ordine di idee sono già state elaborate alcune teorie sulla formazione e sull'andamento delle macchie solari, delle protuberanze e dei filamenti nell'atmosfera solare, sulla forma a spirale delle nebulose; e inoltre sulla natura di campi magnetici, come quello terrestre o quello solare, che si pensa possano essere generati e sostenuti da correnti elettriche indotte nella materia conduttrice a seguito del moto di questa rispetto alle linee del campo. Si tratta peraltro di teorie ancora in fase di sviluppo e non immuni da obiezioni.

Ma la m. ha anche notevole interesse nello studio della radiazione cosmica, della ionosfera, delle aurore polari, delle tempeste magnetiche; nonché, per es., circa la possibilità di ridurre, nell'atmosfera, il riscaldamento della superficie esterna di missili a velocità supersonica regolando, con opportuni campi magnetici, il moto delle particelle fluide, ecc.

Un motivo infine di grande interesse è fornito da possibili applicazioni della m. alle macchine acceleratrici di particelle e, forse, al controllo della fusione termonucleare, in quanto con appropriati campi magnetici si può contenere una corrente di gas ionizzato in un immateriale "recipiente magnetico" atto a consentire elevatissime temperature.

Impostazione matematica. - Qui ci occuperemo solo dell'aspetto continuo dei fenomeni, rimandando alla voce plasma, in questa App., per tutto ciò che ne riguarda l'aspetto particellare. Trascureremo inoltre qualunque effetto relativistico. Allora le equazioni che reggono tali fenomeni si ottengono associando, con opportune modifiche imposte dalla mutua azione, le equazioni dell'elettromagnetismo (v.; vol. XIII, p. 743 e anche elettricità, XIII, p. 708) a quelle dell'idrodinamica (v.; vol. XVIII, p. 735). Siano E il campo elettrico, B il vettore induzione magnetica, v la velocità delle particelle del mezzo, j la densità di corrente elettrica, μ la permeabilità magnetica, ε la costante dielettrica, γ la conduttività elettrica, ρ_e la densità di carica elettrica spaziale, p la pressione, ρ la massa specifica, F la forza di tipo non elettromagnetico applicata all'unità di volume (dovuta alla gravitazione, alla viscosità, ecc.). La maggior parte degli studiosi di m. è d'accordo nell'adottare per i due citati gruppi di equazioni la forma seguente (che viene ottenuta servendosi del sistema Giorgi):

con

e

Notiamo, per inciso, che l'ultima equazione, detta complementare, è più generale di quella riportata alla voce idrodinamica. Le [I], [II] equivalgono a un complesso di 11 equazioni scalari in altrettante incognite scalari (E, B, v, p, ρ). È da notare che i termini di mutua azione sono tutti non lineari: in [I] si hanno infatti, per effetto del moto, i termini v⋀B e ρ_ev, il primo interpretabile come un supplementare campo elettrico indotto e il secondo come densità di corrente elettrica di convezione; in [II], per la presenza del campo elettromagnetico, si hanno i termini j⋀B, forza ponderomotrice esercitata sull'unità di volume per azione dell'induzione B sulla corrente di densità j e ρ_eE, forza esercitata dal campo elettrico E sulla carica ρ_e esistente nell'unità di volume. Il problema matematico generale è perciò di estrema difficoltà.

Caso semplificato. - Mediante considerazioni dimensionali si può dimostrare che, escludendo campi rapidamente variabili (cioè, per es., oscillazioni di alta frequenza), in [I] la corrente di spostamento

è trascurabile nei confronti di j; sono, in genere, pure trascurabili i termini contenenti ρ_e nei confronti dei rimanenti, in quanto in un mezzo conduttore l'effetto di una eventuale carica spaziale tende a zero in modo esponenziale al trascorrere del tempo. Si hanno allora i seguenti effetti:

a) Effetti elettromagnetici. - Da [I₂], tenendo conto di [I₁] e di [1], si ha

dove è Δ′ = − rot rot, e η=1/ (μγ) è la diffusività o viscosità magnetica. Da [4] risulta che la variazione dell'induzione magnetica è dovuta alla sovrapposizione di due effetti, ciascuno fornito separatamente da uno dei termini a secondo membro. Il termine η•Δ′B, da solo (e cioè per mezzi in quiete), provoca un effetto diffusivo accompagnato da attenuazione; con considerazioni dimensionali si dimostra che il tempo di rilassamento T è dell'ordine di μγL², essendo L una lunghezza paragonabile con una dimensione lineare della regione in cui i fenomeni avvengono (perciò T è generalmente troppo piccolo in laboratorio per consentire risultati apprezzabili, mentre può essere sufficientemente grande su scala cosmica). Se invece a secondo membro della [4] c'è il solo termine rot (v⋀B), e ciò si verifica se la viscosità magnetica η è nulla, cioè se la conduttività γ si può considerare infinita, la [4] richiama l'equazione che riguarda la vorticità ω nell'idrodinamica di un mezzo incompressibile, non viscoso, per il quale sia F = grad ϕ. Si può dimostrare inoltre che, nelle dette ipotesi, sussiste anche l'equazione (che richiama la [3]) div ω = 0.

L'analogo comportamento matematico della vorticità ω relativa a un fluido non conduttore e dell'induzione magnetica B relativa a un fluido conduttore fa sì che molti dei risultati della teoria dei vortici dell'idrodinamica classica possono essere trasferiti alla m. Per es. il teorema di Helmholtz (v. idrodinamica, n. 10, vol.XVIII, p. 737), il quale afferma che in un fluido perfetto le particelle fluide che in un determinato istante si trovano su di una linea vorticosa, in ogni istante successivo si trovano su una linea fluida che è ancora una linea vorticosa, si può estendere alle linee del vettore induzione di un fluido dotato di conduttività infinita: tali linee quindi si muovono assieme al mezzo come se fossero in esso "congelate"; inoltre la circuitazione di B lungo una linea chiusa rimane immutata al trascorrere del tempo, purché tale linea sia costituita sempre dalle stesse particelle; un tubo di flusso infine risulta contenere sempre la stessa materia e, poiché il flusso di B in ogni tubo rimane costante nel tempo, non si può creare o distruggere flusso.

Se nessuno dei termini a secondo membro della [4] è trascurabile, le linee di induzione tendono a essere trasportate dal mezzo in moto e contemporaneamente a diffondersi in esso. Se L e V sono rispettivamente una lunghezza e una velocità paragonabili a quelle effettive, si dimostra che l'effetto di trasporto è preponderante rispetto alla diffusione se è LV 〉〉 η (come avviene difficilmente in laboratorio e più facilmente su scala cosmica), cioè, se è

essendo R_M il numero di Reynolds magnetico, corrispondente al numero di Reynolds che nell'idrodinamica serve a valutare in precedenza se un moto sarà laminare o turbolento.

Osserviamo infine che, nelle ipotesi semplificatrici introdotte, sfruttando la [I₁] la forza j⋀B si può esprimere nella forma

dove l'ultimo termine rappresenta la divergenza del tensore corrispondente a una diade. Il primo termine a secondo membro si può associare a -grad p e fornisce quindi un apporto di pressione idrostatica di entità B²/2μ; l'ultimo termine, a sua volta, si può interpretare come una tensione B²/μ esercitata lungo le linee di induzione. Se il fluido è incompressibile, la pressione idrostatica non compie lavoro; l'eventuale lavoro della tensione lungo le linee di induzione fa variare l'energia magnetica: se la distribuzione delle velocità è tale da incrementare la lunghezza di dette linee, ne viene incrementato B. I due termini a secondo membro di [5] si possono interpretare complessivamente come forze che derivano da un sistema di sforzi interni e che esplicano una tensione complessiva B²/2μ (che si ottiene per differenza fra l'apporto dei termini stessi) lungo le linee di induzione e un'identica pressione normalmente ad esse.

Un'immediata applicazione di ciò potrebbe giustificare l'equilibrio meccanico delle macchie solari, in rapporto al fatto che esse risultano a temperatura inferiore a quella di cui è dotata la circostante superficie solare (4500 °K invece di 5800 °K). Non essendoci motivo di ritenere la massa specifica all'interno delle macchie maggiore di quella esistente fuori, la più bassa temperatura interna porterebbe, a parità di livello, a una pressione idrostatica interna minore che all'esterno; tale deficienza di pressione sarebbe compensata dalla pressione B²/(2μ) esercitata sulla superficie laterale della macchia verso l'esterno, in quanto nella parte più profonda della macchia e verticalmente rispetto ad essa agirebbe un intenso campo magnetico.

b) Effetti meccanici. - La forza j⋀B, di origine elettromagnetica, è normale alle linee di induzione e quindi non influisce sul moto lungo di esse, mentre normalmente alle dette linee, per γ ≠ ∞ e in assenza di forze di massa, la detta forza tende a sopprimere il moto del mezzo relativo alle linee stesse. Quando invece non c'è dissipazione (γ ≠ ∞), le linee di induzione che risultano trasportate dal mezzo in moto, se vengono rimosse da una posizione di equilibrio, sono soggette a una forza di richiamo che le fa oscillare intorno alla posizione stessa.

Onde magnetoidrodinamiche. - Sempre trascurando la corrente di spostamento e l'effetto della densità di carica spaziale, consideriamo un fluido incompressibile. La [II₂] è allora sostituita da

Limitiamoci inoltre al caso che il mezzo abbia conduttività elettrica infinita e, ponendo

dove B₀ rappresenta un'intensa induzione magnetica uniforme preesistente nel liquido, supponiamo che la perturbazione magnetoidrodinamica a cui è soggetto il liquido stesso sia sufficientemente piccola in modo da poter trascurare nelle equazioni i termini quadratici in v e in b in confronto degli altri termini lineari. La [4] diventa allora

mentre la [II₁] prende la forma

dove si è ulteriormente supposto F=grad ϕ. Assumendo come direzione dell'asse cartesiano z quella dell'induzione primaria B₀, le [8] e [9], tenendo conto di [3] e [6], si trasformano nelle

Facendo la divergenza dell'ultima equazione, sempre in base alle [3] e [6] si ha

ove

e poiché fuori dalla regione in cui si ha la perturbazione è b = 0 e ivi per l'equilibrio è grad (p + ρϕ) = 0, si conclude che l'espressione

armonica e costante (o funzione solo del tempo) al di fuori di una regione particolare, può essere uguagliata ad una costante (e consentire perciò il calcolo della pressione) e quindi nella [11] il suo gradiente è nullo. Da [10] e [11] si possono allora ricavare le seguenti equazioni del tipo di quella delle corde vibranti,

con VA² = B₀/(μρ). La perturbazione rappresentata da b e v si propaga quindi, sotto forma di onde progressive e regressive (dette anche onde di Alfvén), con velocità V_A nella direzione dell'induzione primaria B₀. Tali onde si possono giustificare anche intuitivamente osservando che in un mezzo incompressibile la pressione B²/2μ, di cui si è parlato più sopra, viene equilibrata dalla pressione del mezzo: resta quindi solo la tensione τ = B²/μ lungo le linee di induzione, che si comportano di conseguenza come corde vibranti lungo le quali è possibile la propagazione di onde trasversali con velocità

Se si esperimenta con mercurio soggetto a un campo magnetico di induzione 0,1 unità Giorgi, si ha V_A = o,75 m/sec. Se si introduce il numero adimensionale

ove V è una velocità dell'ordine di quelle presenti, si può osservare che S come rapporto fra l'energia magnetica e quella cinetica dell'unità di volume, può essere posto nella forma del rapporto VA²/V². Si può notare che S^-1/2 ha una certa analogia con il numero di Mach dell'aerodinamica: quando tale numero è piccolo (S grande), una piccola perturbazione si propaga sotto forma di onde magnetoidrodinamiche senza produrre apprezzabile variazione di campo magnetico; se invece tale numero è grande (S piccolo), la perturbazione produce sul campo distorsioni troppo veloci per potersi propagare sotto forma di onde.

Si può verificare che, mantenendo valida la [7], ciascuna delle posizioni

è separatamente compatibile con le equazioni non linearizzate che, senza introdurre approssimazioni (in quanto i termini non lineari si elidono), si riducono alle [13]. Per tali particolari soluzioni c'è equipartizione fra l'energia magnetica dovuta alla perturbazione e l'energia cinetica. Se invece si tiene conto della resistenza elettrica del materiale, si può dimostrare che le [13] sono sostituite dall'equazione

e da una analoga per v. Si ha perciò una sovrapposizione di un fenomeno ondoso nella direzione dell'asse z e di un fenomeno diffusivo. Si riconosce anche qui che su scala cosmica il primo fenomeno ha generalmente una netta prevalenza sul secondo, mentre in esperienze di laboratorio si verifica più facilmente l'opposto.

Volendo tenere conto della viscosità del mezzo, a secondo membro della [11] va aggiunto il termine ρνΔ′v (dove ν è il coefficiente di viscosità e Δ′ = rot rot), ma in genere la viscosità ha minore effetto della resistenza elettrica (per es. per il mercurio è η/ν = 10⁶).

Mezzi compressibili. - Accenniamo ora al caso che il mezzo sia gassoso ed eserciti la sua comprimibilità. Com'è noto, le variazioni di densità in un gas sono trascurabili e il fluido si comporta come incompressibile finché le velocità presenti sono piccole in confronto della velocità C del suono: in un gas quindi si possono ottenere onde magnetoidrodinamiche, come in un liquido, se la velocità delle particelle e la velocità di propagazione delle dette onde sono piccole rispetto a C. In caso contrario il problema matematico diventa ancora più complesso.

Ci si può limitare a studiare, in presenza di un campo magnetico di induzione uniforme B₀, fenomeni piani e di natura sinusoidale rispetto al tempo, mantenendo sempre valida la [7] e riferendosi al problema linearizzato. Si può dimostrare allora che nella direzione di B₀ sono possibili per b e per v le preannunciate onde magnetoidrodinamiche, trasversali rispetto a B₀ e propagantisi con la nota velocità V_A; indipendentemente da tali onde sono possibili, sempre parallelamente a B₀, comuni onde acustiche con velocità di propagazione C; in direzione normale a B₀ sono invece possibili per b e per v solo onde longitudinali (e quindi di tipo acustico) con velocità di propagazione

Si può così concludere che nei gas, in presenza del detto campo magnetico, la velocità del suono in direzione ad esso normale è aumentata e cresce con B₀. Intuitivamente ciò si può spiegare considerando che una compressione trasversa rispetto a B₀ provoca un'accresciuta densità di flusso: l'energia potenziale che così si viene ad aggiungere conferisce al fluido una rigidità supplementare che richiede una maggiore velocità di propagazione della perturbazione. Lungo una direzione che formi con B₀ un angolo "sono possibili due moti di tipo misto, le cui velocità di propagazione V risultano soluzioni dell'equazione

Appare chiaro quindi da quanto si è detto che la presenza di un campo magnetico uniforme dà luogo a un'accentuata anisotropia nel comportamento del mezzo.

Al di fuori del semplice schema di cui si è parlato, si hanno fenomeni molto più complessi di mutua azione tra fenomeni acustici e fenomeni magnetofluidodinamici.

Bibl.: H. Alfvén, Cosmical electrodynamics, Oxford 1950; S. Lundquist, Studies in magneto-hydrodynamics, in Arkiv for physik, V (1952), p. 297; W. M. Elasser, Hydromagnetism, a review, in Amer. journ. of phys., XXIII (1955), p. 590 e XXIV (1956), p. 85; T. G. Cowling, Magnetohydrodynamics, New York 1957; J. W. Dungey, Cosmic electrodynamics, Cambridge 1958; E.A. Frieman e R. M. Kulrsrud, Problems in hydromagnetics, in Advances in Appl. Mech., V, New York 1958; C. Agostinelli, Turbolenza in magnetoidrodinamica, Torino 1958.