MACCHINE
MACCHINE (XXI, p. 732)
Velocità critiche degli alberi (p. 738). - Col nome di velocità critiche degli alberi s'indicano particolari valori della loro velocità angolare ai quali il moto è affetto da perturbamenti molto gravi, tali da rendere il funzionamento degli apparati a cui gli alberi appartengono qualche volta irregolare e pericoloso, qualche altra del tutto impossibile. Grossi fastidî e costose avarie, specialmente in gruppi elettrogeneratori e in impianti di propulsione navale e aerea, hanno richiamato l'attenzione su questi fenomeni e promosso un ampio sviluppo degli studî al riguardo.
Vi sono due gruppi principali di fenomeni del tutto distinti per origine e per caratteri: velocità critiche dipendenti da forze centrifughe per la presenza di masse eccentriche nei rotanti e quindi connesse a fenomeni di flessione; e velocità critiche dipendenti da variazioni periodiche dei momenti torcenti applicati agli alberi e quindi anche delle deformazioni angolari di torsione degli alberi stessi.
Le velocità critiche dipendenti da fenomeni di flessione, a differenza di quelle torsionali, sono caratteristiche degli alberi animati da rotazione molto rapida. Alla loro nozione in alcuni casi semplici si giunge in modo del tutto elementare e, se si tratta soltanto di individuare il valore di una velocità angolare pericolosa dalla quale bisogna tenere lontana la velocità di regime, i calcoli che ne derivano si possono ritenere soddisfacenti. Non bisogna però dimenticare che il procedimento è sostanzialmente erroneo ed importa un'interpretazione fisica del fenomeno del tutto inadeguata, onde non si ricava né la legge del moto del rotante, né la spiegazione delle anomalie con cui si manifesta l'approssimarsi della velocità critica.
Il caso più semplice possibile è quello di un albero che porti una girante sola, più o meno assimilabile ad un disco, quando la massa dell'albero è molto piccola in confronto di quella del disco, così che essa possa essere trascurata nei calcoli e l'albero stesso essere considerato come un vincolo elastico privo di massa. In pratica, il baricentro del disco non si trova esattamente sull'asse di rotazione, onde si produce una forza centrifuga da cui l'albero è inflesso e la distanza del baricentro dall'asse di rotazione aumentata, finché normalmente si raggiunge una configurazione di equilibrio alla quale corrisponde un determinato valore della freccia. Per una certa velocità angolare che è la velocità critica, la freccia d'inflessione risulta infinita, quale che sia il valore iniziale dell'eccentricità, e ciò s'interpreta dicendo che in corrispondenza si avrebbe la rottura dell'albero; questo può rotare senza inconvenienti al disotto della velocità critica ed anche al disopra se con opportuni espedienti si provvede a che esso possa varcare la velocità critica senza eccessive deformazioni; beninteso però occorre prevedere margini di sicurezza piuttosto ampî.
Con lo stesso procedimento si trova che se sull'albero sono montati z dischi si hanno z distinti valori della velocità critica; se l'albero è soggetto a un carico distribuito, quale, per es., il peso proprio, che in molti casi (alberi di trasmissione) diviene il fattore principale, si hanno infiniti valori della velocità critica, che separano intervalli nei quali è possibile un funzionamento regolare.
Un procedimento alquanto migliore è quello di considerare il caso ideale di un sistema senza eccentricità alcuna. Se il sistema è fermo e una causa esterna produce una deformazione accidentale, le reazioni elastiche gli restituiscono la forma primitiva; se il sistema è in rotazione, la deformazione ingenera forze centrifughe che riducono l'efficacia delle forze elastiche restitutive; in particolare alla velocità critica le forze centrifughe fanno equilibrio alle reazioni elastiche quale che sia il valore della freccia. Questo modo di considerare il problema fornisce la base consueta della trattazione dei casi più generali. Esso è ancora tuttavia incompleto perché ammette raggiunta una certa configurazione di equilibrio sotto forze staticamente applicate e trascura diversi elementi di notevole importanza. All'approssimarsi di una velocità critica si manifestano vibrazioni trasversali che possono diventare violentissime; ne dà ragione l'analisi del problema che peraltro non è riducibile a forme semplici.
Se un albero è soggetto a un carico distribuito, il valore del quale in una data sezione è p kg. per unità di lunghezza, e si chiama ω la velocità angolare, I il momento d'inerzia diametrale della sezione dell'albero, g l'accelerazione della gravità, E il modulo di elasticità, y la freccia assunta dall'albero nella sezione considerata e si pone:
l'accennata condizione di equilibrio tra forze centrifughe e reazioni elastiche fornisce l'equazione:
che gi riduce a:
se p ed I sono costanti.
L'equazione del moto in termini finiti contiene quattro costanti arbitrarie per ogni intervallo compreso fra due punti singolari, considerando come tali i punti in cui sono applicati vincoli o carichi concentrati, o nel caso di un albero composto di più tratti di sezione costante i punti in cui la sezione varia.
Se si hanno in complesso z intervalli la determinazione della velocità critica importa la soluzione di un sistema di 4z equazioni che sono fornite dalle condizioni ai limiti. La completa soluzione analitica del problema è possibile soltanto in alcuni casi semplici; alcuni dei quali conducono a equazioni trattate in relazione a questioni di acustica, altri a equazioni proprie di questi problemi.
Ponendo ancora z = ml, in via di esempio, per alcuni casi, le equazioni che forniscono m e quindi ωc sono:
a) albero di sezione costante uniformemente caricato, appoggiato agli estremi: sen z = 0;
b) albero come sopra incastrato agli estremi: cosh z cos z = 1;
c) albero come sopra incastrato ad un estremo e libero all'altro: cosh z cos z = − 1;
d) albero come sopra incastrato ad un estremo ed appoggiato all'altro: coth z - cot z;
e) albero come sopra su tre appoggi (chiamando l la lunghezza della campata più lunga e λl quella della campata più corta):
f) albero come sopra su quattro appoggi simmetricamente disposti rispetto alla mezzeria (chiamando l la lunghezza delle campate esterne e 2λl quella della campata. intermedia):
g) albero di due campate di diversa sezione e diversamente caricate (indicando con l1 I1 p1, l2 I2 p2, gli elementi relativi alle due campate e ponendo
Se la campata 2 è scarica:
h) albero simmetrico su due appoggi carico per un tratto 2 l1 al centro e scarico per un tratto l2 a ciascun estremo:
i) albero su due appoggi a distanza l1 con un tratto l2 a sbalzo:
l) albero di peso Q con carico concentrato P al mezzo; se l'albero è appoggiato agli estremi:
Dall'equazione del caso a) si deduce che i valori delle velocità critiche sono:
per i = 1, 2, 3, 4, ..., onde per un albero pieno soggetto soltanto al peso proprio la prima velocità critica è
se d è il diametro e y è il peso specifico; se l'albero è cavo, di diametri d e d0
La serie dei valori delle velocità criticlhe, assunta la prima come unità, è 1, 4, 9, 16 ...
Per gli altri casi si può porre:
e per esempio si ha, nei casi:
onde si vede che, secondo la natura dei vincoli, i valori delle velocità critiche sono non soltanto molto diversi, ma molto diversamente spaziati, ciò che ha importanti riflessi nelle applicazioni. Esistono soluzioni delle altre equazioni sopra indicate, raccolte per i casi di maggior interesse, ma non possono essere riportate qui.
Nei casi più complessi e soprattutto quando la sezione dell'albero ed il carico sono variabili e quando coesistono carichi concentrati e carichi distribuiti è necessario ricorrere a procedimenti approssimati (Dunkerley, Chree, Vianello-Stodola, Morley, Zerkowitz, ecc.).
Finora si è parlato soltanto di forze centrifughe. In realtà vi sono anche dei momenti ed emergono azioni raddrizzanti o effetti giroscopici che complicano ulteriormente i calcoli.
La spinta assiale a cui sono soggetti gli alberi in diversi casi abbassa in misura sensibile il valore della velocità critica. Un certo abbassamento è prodotto anche dal momento motore trasmesso, ma nei limiti delle applicazioni usuali questo effetto è del tutto trascurabile. Occorre anche tener conto dell'azione del mezzo (gli alberi d'elica delle navi rotano in acqua e non in aria) onde intervengono azioni complesse tendenti le une ad elevare le altre ad abbassare il valore delle velocità critiche (esperienze Brunelli, Brown Boveri, Ferretti).
In dipendenza di fenomeni secondarî si sono spesso constatati fenomeni vibratorî non privi di importanza per velocità angolari molto diverse da quelle critiche; talvolta inferiori (per es., 0,5 ωc), talvolta notevolmente più alte. (Per trattazioni molto recenti e richiami bibliografici, v. per il primo caso Soderberg in Trans. A.S.M.E. [1932] e per il secondo Newkirk e Grobel [ibid., 1934]).
Oscillazioni di torsione. - La possibilità di cospicue vibrazioni di torsione nelle lunghe linee di trasmissione degli apparati motori marini e, in particolari condizioni, di gravi avarie per effetto delle stesse, è stata messa in evidenza per la prima volta intorno al 1900 dal Frahm con una serie di memorande esperienze. Una sommaria trattazione del problema abbozzata dallo stesso Frahm con modesti ulteriori sviluppi è bastata per la sicurezza delle costruzioni nel campo delle macchine a vapore.
Le cose sono molto cambiate con l'avvento dei motori a combustione interna, nei quali si sono rilevati in casi abbastanza numerosi disturbi di funzionamento (un esempio molto noto sono le avarie subite dagli alberi motori di un dirigibile Zeppelin); onde negli anni recenti il problema è stato ed è tuttora oggetto di estese ricerche.
In una macchina alternativa il momento motore varia periodicamente in modo molto complesso in dipendenza del variare delle pressioni effettive del fluido sugli stantuffi, del numero e della disposizione delle manovelle, degli effetti del peso e delle forze di inerzia, ma è sempre lecito concepire tale momento come la sovrapposizione di una serie di momenti varianti ciascuno con legge semplicemente sinusoidale.
Le componenti di questi momenti si chiamano di ordine 1° 2°, 3°, ..., secondo che nel tempo di un giro presentano una, due, tre... evoluzioni complete. Se si tratta di una macchina a quattro tempi, il periodo del momento motore è il tempo di due giri, onde si hanno anche delle componenti di ordine 1/2, 3/2, 5/2 ...
Analogamente si possono avere variazioni periodiche del momento resistente che equilibra il momento motore; per es., nel caso in cui l'albero comanda un'elica propulsatrice; in un'elica marina il momento resistente varia del 10% e oltre intorno alla media tre o quattro volte per giro secondo il numero delle pale.
Se il momento torcente a cui un albero è soggetto fluttua al di sopra e al disotto di un dato valore medio, anche l'angolo di cui una sezione dell'albero stesso è torta rispetto ad un'altra, assunta come termine di riferimento, andrà oscillando con una propria legge al disopra e al disotto di un valore medio: l'albero cioè è soggetto ad oscillazioni torsionali periodiche.
Ora un albero con le masse a esso collegate costituisce un sistema elastico dotato di un periodo proprio (o di una serie di periodi proprî) di oscillazione torsionale. E al solito, se tale periodo è prossimo a quello di una delle componenti del momento che produce la deformazione, questa si esalta; se è esattamente uguale, dopo un certo tempo diverrebbe infinita cioè si arriverebbe a rottura se non vi fossero azioni smorzanti. Queste esistono e sono cospicue, ma tuttavia le deformazioni, anche se contenute in valori finiti, possono in taluni casi rimanere molto ampie ed in corrispondenza risultare pericolosamente forte la sollecitazione del materiale e gravemente perturbato il funzionamento. Quindi la necessità di margini di sicurezza rispetto a tali condizioni di sincronismo.
Accenniamo a qualche caso semplice per mostrare gli elementi da cui dipende il periodo naturale di oscillazione. Per un'asta di sezione circolare incastrata ad un estremo e portante un disco all'altro, se la massa dell'asia si ritiene trascurabile in confronto di quella del disco, si vede molto facilmente che la frequenza naturale di vibrazione torsionale è:
se l è la lunghezza dell'asta, Ip il momento d'inerzia polare della sua sezione, Y il momento d'inerzia della massa del disco e G il modulo di elasticità trasversale.
Se la massa dell'asta non è trascurabile e si chiama Ya il suo momento d'inerzia di massa, il valore della frequenza naturale di vibrazione si può scrivere approssimativamente:
assimilando il sistema ad un altro composto di un'asta senza massa portante un disco di massa alquanto aumentata. Giova però notare che in questo modo si ottengono con buona approssimazione i valori delle frequenze, ma si obliterano particolarità fisiche del fenomeno non prive di interesse. Considerare l'albero come un legame elastico privo di massa importa ammettere che la deformazione torsionale si propaghi lungo di esso con velocità infinita; nell'albero reale questa velocità di propagazione ha un valore finito e relativamente non grandissimo è:
(y, peso specifico; per l'acciaio intorno a 3230 m./sec.) e quindi un dato valore dell'angolo di torsione è raggiunto con un certo ritardo in confronto di quello che succederebbe in un albero senza massa. A volere tener conto di ciò i calcoli si complicano molto e solo pochi casi semplici sono praticamente trattabili. (Ricerche interessanti su questo problema sono dovute a P. Lorain ed a L. M. Brunelli).
Se ora si tratta di un albero di sezione costante con due masse agli estremi l'espressione della frequenza, se la massa dell'albero è trascurabile, diviene:
e le oscillazioni torsionali sono massime agli estremi, nulle in un punto intermedio, che si comporta come un nodo.
Se i rotanti solidali con l'albero sono più di due il problema non ammette più soluzioni semplici rigorose ed esatte. Con tre rotanti l'albero può deformarsi in due modi diversi: con un nodo solo oppure con due e quindi vi sono due frequenze naturali: se i rotanti sono z i modi di deformazione possibili e le frequenze naturali di vibrazione sono z − 1; con massa distribuita il numero delle frequenze naturali è infinito; però le frequenze più alte sono fuori del campo delle applicazioni e per solito è necessario occuparsi soltanto dei modi di vibrazione con uno e con due nodi; si chiamano velocità critiche del 1° e del 2° grado quelle che corrispondono ai due modi di vibrazione. Come si vede i valori critici della velocità angolare possono essere molti, ma la loro importanza è molto diversa in relazione alla diversa intensità degli impulsi corrispondenti, quale risulta dall'analisi dei momenti, e quindi in generale quelli di cui occorre preoccuparsi si riducono a pochi. Per concretare le idee, nella fig.1, che deriva da una memoria del Porter ed è relativa ad un motore di sommergibile in funzione delle velocità angolari espresse in giri al minuto primo, le diverse curve forniscono per ciascuna componente dell'oscillazione, calcolata tenendo conto dello smorzamento, i valori delle tensioni tangenziali massime corrispondenti.
Queste curve richiamano anche l'attenzione sul fatto che un funzionamento continuo a velocità angolare non coincidente con una critica, ma da essa non sufficientemente lontana, anche se non pioduce inconvenienti immediati puo essere causa di avarie tardive dovute agli effetti di sollecitazioni altemate relativamente alte.
Nelle applicazioni si ha sempre a che fare con alberi caricati in molti punti; la sezione in generale non è costante da un capo all'altro dell'albero; così l'albero a gomiti che sotto l'azione dei momenti motori si deforma in modo assai diverso e più complesso che non un albero ad asse rettilineo; molte volte all'albero principale sono accoppiate cinematicamente masse che vengono alla loro volta trascinate in rotazione e che partecipano ai moti oscillatorî. Si sono quindi escogitati numerosi artifici per assimilare le condizioni effettive a schemi più trattabili e per risolvere il problema in tal modo semplificato, procedimenti di approssimazione che però sono ancora inevitabilmente complessi e laboriosi.
Già si è accennato ad azioni smorzanti naturilmente presenti in ogni sistema rotante e che intervengono, in misura diversa secondo i casi, a limitare l'ampiezza delle oscillazioni torsionali (attrito nei perni, reazione del fluido sull'elica, isteresi elastica del materiale, ecc.). In qualche caso può essere utile introdurre ulteriori resistenze artificiali, cioè inserire nel sistema smorzatori torsionali.
La fig. 2, relativa ad un motore d'aeroplano, indica valori estremi di ampiezze di oscillazione a diverse velocità angolari dell'albero con o senza smorzatore.
Per il controllo del funzionamento degli impianti in servizio e anche naturalmente per scopi di studio e ricerca, è emersa la necessità di apparecchi per il rilievo delle deformazioni angolari degli alberi, operazione delicata e non facile perché si tratta di rilevare deformazioni minutissime varianti rapidamente e con legge assai complessa su alberi rotanti. Fra gli apparecchi attualmente in uso vanno ricordati i torsiografi del Geiger, della D. Versuchanstalt für Luftfahrt, della ditta Sulzer, l'accelerometro rotativo della Cambridge Instrument Co.
Bibl.: P. E. Brunelli, Le velocità critiche degli alberi, Napoli 1921; K. Karas, Die kritischen Drehzahlen wichtiger Rotorformen, Vienna 1935; G.S. Timoschenko, Vibration problems in engineering, New York 1935; A. Stodola, Dampf u. Gasturbinen, Berlino 1924; H. Holzer, Die Berechnung der Drehschwingungen, ecc., ivi 1921; H. Wydler, Drehschwingungen in Kolbenmaschinenanlagen, ecc., ivi 1922; W. Ker Wilson, Practical solution of torsional vibration problems, Londra 1935.