LOGICA POLIVALENTE
LOGICA POLIVALENTE
Viene chiamata polivalente qualunque logica che risulti completa rispetto a semantiche che ammettono più valori dei due valori di verità standard (di solito identificati con il Vero e il Falso). La cosiddetta ''legge di bivalenza'', cioè il principio secondo cui ogni proposizione è o vera o falsa, è stata messa in discussione fin dagli albori della logica: ne è prova la critica che Aristotele ne fa nel cap. 9 del De interpretatione, quando osserva che la proposizione che domani ci sarà una battaglia navale è nel momento presente né vera né falsa. Nel 1920 il logico polacco J. Łukasiewicz interpretava il passo aristotelico come tale da implicare la richiesta di un terzo valore di verità intermedio tra il vero e il falso, e proponeva delle tavole di verità trivalenti per i connettivi standard, assiomatizzate nel 1931 da M. Wajsberg. Nel 1922 Łukasiewicz scopriva che tanto le sue matrici trivalenti quanto quelle standard erano casi particolari di matrici così definite (dove p e q denotano numeri dell'intervallo (0,1)) p→ q=1 quando p→q; p→ q=1−p+q quando p > q; −p=1−p, e, per il resto, tali che le congiunzioni prendono il valore del componente più debole e le disgiunzioni quello del componente più forte.
L'uso delle matrici polivalenti è stato largamente impiegato nelle dimostrazioni d'indipendenza degli assiomi. Sia M una matrice a n valori, e sia {a1,...an-x} un sottoinsieme proprio dell'insieme dei valori, i cui elementi vengono detti valori designati. Allora, se risulta che tutti gli assiomi di un sistema S, salvo A, assumono valori designati e che le regole di S conservano la proprietà di avere un valore designato, ciò prova che A non è derivabile dagli altri assiomi di S.
Le applicazioni filosofiche delle l. p. sono state svariate: per le applicazioni alla logica del tempo (v. logica modale, in questa Appendice), oltre al contributo di Łukasiewicz basta ricordare il sistema Q dovuto ad A.N. Prior, in cui i valori sono vero, falso, inaffermabile (dove l'inaffermabilità riguarda enti che non esistono al momento dell'affermazione). Nasce invece da motivazioni schiettamente matematiche la logica trivalente di S.C. Kleene (1952), ove i tre valori sono, intuitivamente, vero, falso e indecidibile. Le matrici qui sono costruite sull'idea che quando la verità o falsità di un componente è sufficiente a determinare quella della formula composta, quest'ultima dovrebbe assumere quel valore anche se contiene altri componenti indecidibili; altrimenti la formula stessa risulta indecidibile. Le matrici trivalenti di D.A. Bochvar (1939) invece sono state originariamente concepite come una soluzione per le antinomie semantiche: i valori sono vero, falso, paradossale, e le matrici esprimono il principio per cui se tra i componenti di un enunciato c'è un enunciato paradossale, questo è a sua volta paradossale. Tavole simili sono state elaborate da S. Halldèn per la logica del ''nonsenso'', in cui il terzo valore esprime la mancanza di significato.
La più interessante applicazione della l. p. fuori dell'ambito delle scienze formali è senz'altro quella proposta da H. Reichenbach per la trattazione della logica della meccanica quantistica. Com'è noto, nella meccanica quantistica è impossibile misurare la posizione e la quantità di moto di una particella nello stesso tempo. N. Bohr e W. Heisenberg avevano suggerito di considerare malformate o prive di senso affermazioni di questo tipo e perciò escluse, mentre Reichenbach preferisce ammettere che non siano né vere né false ma indeterminate, e adotta a questo scopo la logica trivalente di Łukasiewicz.
Il panorama degli sviluppi della l. p. negli ultimi trent'anni è molto complesso. Da un lato intuizioni interessanti come quelle di Prior o di Kleene sono state recuperate dal cosiddetto metodo delle supervalutazioni di B.C. van Fraassen (1966), in cui si parte dall'idea che possano esistere lacune di valori di verità (truth-value gaps) ma non valori di verità diversi dal vero e dal falso. Per un altro verso la cosiddetta logica ''sfumata'' (fuzzy logic) di L. Zadeh (1975) costituisce un approccio molto più radicale in quanto basato sull'idea di insieme sfumato: il grado di appartenenza a un insieme è espresso da un numero reale compreso tra 0 e 1, e a esso corrispondono valori di verità sfumati; inoltre il predicato metalinguistico ''vero'' è a sua volta sfumato. Il risultato va oltre quello delle l. p. classiche in quanto ciò che si ottiene è una logica che è essa stessa imprecisa possedendo valori di verità vaghi, tavole di verità vaghe e regole d'inferenza di validità approssimata.
Recentemente, tuttavia, è rinato l'interesse anche per le matrici a infiniti valori di Łukasiewicz grazie ad alcune interessanti interpretazioni che sono state associate a esse. È stato dimostrato, infatti, che i valori di queste matrici sono interpretabili entro il gioco di Ulam ''pensa un numero'' in cui chi risponde può dire un certo numero di bugie (Mundici 1992). Inoltre, un'altra interpretazione naturale deriva dagli osservabili sì-no nei sistemi termodinamici quantistici descritti da AFC*-algebre (Cignoli, D'Ottaviano, Mundici 1993).
Bibl.: W. Wajssberg, Axiomatization of the three-valued propositional calculus, 1931 (in Polish logic, a cura di S. McCall, Oxford 1967); D.A. Bochvar, On a three-valued logical calculus and its application to the analysis of contradiction (in russo), in Matematiceskij Sbornik, 1939; H. Reichenbach, Philosophical foundations of quantum mechanics, Berkeley 1944; S. Halldĕn, The logic of nonsense, Uppsala 1949; S.C. Kleene, Introduction of metamathematics, Amsterdam 1952; J.B. Rosser, A.R. Turquette, Many-valued logics, ivi 1952; A.N. Prior, Time and modality, Oxford 1957; B.C. van Fraassen, Singular terms, truth value gaps, and free logic, in Journal of Philosophy, 1966, pp. 481-95; N. Rescher, Many-valued logic, New York 1969; J. Łukasiewicz, Selected works, a cura di L. Bortrowski, Amsterdam 1970; L. Zadeh, Fuzzy logic and approximate reasoning, in Synthese, 1975, pp. 407-28; D. Mundici, The Logic of Ulam's game with lies, in AA.VV., Knowledge, belief and strategic interaction, Cambridge 1992; R. Cignoli, I.M.L. D'Ottaviano, D. Mundici, Algebras do calcolo polivalente de Łukasiewicz, Campinas (São Paulo) 1993.