LOGICA MATEMATICA

LOGICA MATEMATICA

(XXI, p. 398; App. II, 11, p. 226; III, 1, p. 999).

Princìpi di logica matematica.

È opportuno premettere all'articolo che dà notizia dei progressi verificatisi nell'ambito della l. m. nell'ultimo quindicennio una sintesi dei princìpi fondamentali della l. m. medesima, e ciò anche allo scopo d'integrare quanto è contenuto negli articoli dell'Enciclopedia e delle Appendici sopra ricordati. Tra i vari sistemi di assiomi cui si può far capo (come, per es., quello di G. Frege, di B. Russell, di A. Church, di S. C. Kleene, ecc.) preferiamo riportare quello di D. Hilbert e P. Bernays perché in questo sistema gli assiomi esprimono compiutamente tutte le proprietà dei cinque connettivi enunciativi.

La formalizzazione della logica. - Linguaggi simbolici. - In una teoria formalizzata si può anche adoperare un linguaggio naturale. L'uso del linguaggio naturale risulta però poco opportuno, perché quando si adoperano i termini ordinari si può essere indotti a includere tacitamente nella teoria delle proprietà richiamate alla mente dal significato intuitivo di quei termini; inoltre con i linguaggi simbolici ogni passaggio o trasformazione risulta chiaro e controllabile. La contemporanea l. m. è una teoria non solo formalizzata ma anche simbolizzata. Simbolizzare una teoria significa sostituire le espressioni del linguaggio naturale con i segni (o simboli) di un linguaggio artificiale (o simbolico). Con la simbolizzazione si ha anche il vantaggio di visualizzare tutte le concatenazioni e le deduzioni formali. Pertanto nella costruzione di una determinata "teoria logica" (in seguito diremo semplicemente "logica") innanzitutto se ne stabilisce il linguaggio mediante un adeguato insieme di simboli fondamentali detto "alfabeto": una sequenza di simboli si dice "parola" o "espressione"; tra le espressioni saranno adoperate soltanto quelle che rispettano determinate "regole di formazione" in modo che risultino "formule ben formate" (fbf). A proposito di simboli bisogna distinguere, con W. v. O. Quine, l'"uso" che di essi si fa nel linguaggio simbolico all'interno della l. dalla "menzione" che se ne fa nella metalogica. Ciò può avvenire convenendo che, nel secondo caso, i simboli siano racchiusi tra virgolette, oppure stabilendo che nella metalogica essi siano usati in modo "autonimo", cioè come designazione di sé stessi. La distinzione tra il linguaggio della l. (detto pure "linguaggio oggetto") e il linguaggio usato nella metalogica (detto anche "metalinguaggio") è indispensabile per evitare le antinomie semantiche (dette a volte linguistiche) come, per es., quella del mentitore, che può essere così formulata: "Questo enunciato è falso". È facile riconoscere che questo enunciato è falso se e solo se è vero... Questa antinomia, già nota a Eubulide (4° secolo a. C.), è stata definitivamente risolta solo in tempi recenti da A. Tarski mediante una netta distinzione tra linguaggio oggetto e metalinguaggio. Infatti il paradosso sorge proprio dalla confusione di questi due linguaggi: non è possibile esprimere nel linguaggio oggetto la proprietà di un enunciato di essere vero o falso.

Sintassi e semantica. - Le espressioni di un discorso deduttivo possono essere considerate o "sintatticamente", cioè formalmente come oggetti grafici combinabili fra loro, o "semanticamente", cioè in relazione al loro significato. La parte sintattica di una l. si chiama "calcolo logico". La trattazione semantica di una l. è lo studio dei rapporti intercorrenti tra i componenti del linguaggio oggetto e gli universi in cui questi sono interpretati; naturalmente un'interpretazione potrà soddisfare o meno un enunciato del linguaggio simbolico. In altri termini, la semantica della l. fa in modo che il calcolo logico parli di certi oggetti determinati e che le fbf acquistino un significato.

Calcoli logici. - Stabilito il linguaggio simbolico della l. in studio si passa a fissare il suo "calcolo logico", cioè il suo apparato deduttivo, che s'identifica con la coppia costituita dall'insieme P degli "assiomi" o postulati e dall'insieme R delle "regole d'inferenza", dette pure di deduzione o di dimostrazione. L'insieme delle regole d'inferenza è sempre finito. Ogni regola d'inferenza è una funzione calcolabile che consente di dedurre una fbf a partire da una o più fbf (sempre in numero finito). Una "dimostrazione" nella l. è una sequenza ordinata e finita di fbf del linguaggio simbolico, tale che ogni fbf della sequenza o è un assioma, o è deducibile da qualcuna delle precedenti mediante una delle regole d'inferenza. Per dire che nella l. in esame la fbf H è dimostrabile si usa il metasimbolo (cioè il simbolo del metalinguaggio) ⊢ H. Nelle teorie deduttive particolari (cioè relative a determinate scienze) anziché di dimostrazione si parla di "derivazione" da un insieme M di assunzioni, le quali sono le fbf costituenti gli assiomi specifici di una scienza. Simbolicamente: M ⊢ H. In questo caso le fbf occorrenti nel corso della derivazione possono essere anche qualcuna delle assunzioni stesse. Un "teorema logico" o "tesi logica" o "espressione dimostrabile" è una fbf della l. in esame tale che esista una dimostrazione la cui ultima fbf sia il teorema stesso. L'insieme di tutti i teoremi di una l. si denota col metasimbolo D_P(∅) per sottolineare che essi sono dedotti a partire dai soli assiomi P e da un insieme vuoto di assunzioni. Qualora invece si ammetta fin dall'inizio l'insieme M di assunzioni, allora, mediante l'operazione di derivazione da M, si ottiene l'insieme delle tesi di quella scienza; che ha come assiomi specifici M, denotato col metasimbolo D_P(M). Ovviamente D_P(∅) è l'insieme di tutte le fbf comuni a tutti i D_P(M), con M qualsiasi.

Interpretazioni e modelli. - Per passare alla semantica della logica si fissa un "universo" α e si stabilisce l'"interpretazione" del linguaggio in quell'universo. Per interpretazione s'intende un'applicazione dei simboli dell'alfabeto nell'insieme unione di α, con l'insieme di W = {V, F} e con di altri insiemi derivanti da α (v. oltre) in modo che a ogni enunciato risulti associato il valore di verità "vero" (simbolo V) o "falso" (simbolo F). Se un'interpretazione associa a un enunciato H il valore V, allora essa si dice "modello" di H. Fissato un insieme M di espressioni privilegiate del linguaggio, dette "premesse", si definisce l'operazione di "conseguenza": una fbf H si dice conseguenza logica delle premesse M se e solo se ogni interpretazione che è modello di tutte le premesse è modello anche di H. L'insieme di tutte le conseguenze di M s'indica con il metasimbolo C(M). Si scrive M ??? H per esprimere il fatto che H è una conseguenza dell'insieme di premesse M; si scrive ??? H per indicare che ogni interpretazione è modello di H. L'insieme delle espressioni comuni a tutti i C(M), con M qualsiasi, il quale simbolicamente può indicarsi anche con C(∅) in quanto insieme delle conseguenze dell'insieme vuoto di premesse, si dice insieme delle "identità logiche" o "tautologie" o "espressioni (universalmente) valide". Se un enunciato H ammette almeno un modello si dice soddisfacibile.

Teoria del significato. - La teoria del significato ha per scopo di precisare il valore da attribuire alle parole "vero" e "falso" e ad alcuni concetti ad esso strettamente collegati. G. Frege nel suo Über Sinn und Bedeutung espone in proposito una teoria ancor oggi quasi universalmente accettata. A ogni termine, o al segno con cui esso viene indicato, si può attribuire un "significato intensionale", detto anche intensione o senso o connotazione, e un "significato estensionale", detto anche estensione o significato (in senso stretto) o denotazione. Per es., al termine individuale "Roma" può corrispondere come significato intensionale il concetto individuale di "capitale d'Italia" oppure di "città fondata da Romolo e Remo nel 753 a. C.", ecc., con cui si forniscono dei connotati che caratterizzano la città di Roma; come significato estensionale a "Roma" invece corrisponde esattamente quell'individuo che è la "città di Roma". Così, al predicato "è uomo" può corrispondere il significato intensionale "è animale ragionevole", e come significato estensionale l'insieme costituito da tutti gli uomini. A un enunciato corrisponde come significato intensionale il senso della frase stessa, mentre (con G. Frege, R. Carnap, A. Church e la maggior parte dei logici contemporanei) gli si fa corrispondere come significato estensionale il valore di verità "vero" o "falso" (simbolicamente uno dei due elementi dell'insieme W = {V, F}). Pertanto, enunciati con valori intensionali diversissimi (come, per es., "Aristotele è un filosofo" e "4 + 1 = 5") hanno lo stesso significato estensionale V. Ogni l. può essere costruita su base estensionale o intensionale. S'intuisce subito che le l. estensionali sono operativamente più semplici e che si adattano meglio all'uso che di esse se ne fa in matematica (è immediata, per esempio, la loro interpretazione insiemistica). Le più usate, e in particolare quelle che qui ricorderemo, sono appunto le l. estensionali. Nella presentazione delle teorie logiche si segue generalmente quest'ordine: si espone dapprima una "logica degli enunciati", cioè la l. più elementare che analizza soltanto gli enunciati composti (molecole), ma non la costituzione interna di ciascun enunciato semplice (atomo) considerato come indivisibile. Poi si espone una "logica dei predicati del prim'ordine", che analizza anche la costituzione interna di ciascun atomo, formato da soggetto e predicato, e ammette per i soli soggetti la "quantificazione", cioè la considerazione quantitativa di essi. Successivamente, dopo aver esposta la "logica dei predicati del prim'ordine con identità", si sviluppa la "logica dei predicati del second'ordine", che consente anche la quantificazione dei predicati. Dopo queste esposizioni daremo un cenno dei principali problemi comuni a tutte le l., mentre nell'articolo successivo saranno delineate più specificamente le acquisizioni degli ultimi anni.

La logica degli enunciati. - Linguaggio enunciativo. - Alfabeto: È costituito dai seguenti simboli: 1°) Costanti logiche, cioè i connettivi ¬, ⋀, ⋁, →, ↔,da leggere ordinatamente "non", "e", "o", "se... allora", "se e solo se" e dalle parentesi; il significato intuitivo del connettivo "o" è quello non esclusivo del latino "vel". 2°) Lettere enunciative, cioè simboli per enunciati: p, q, ecc.

Formule ben formate del lïnguaggio enunciativo: Le fbf del linguaggio enunciativo si chiamano "forme enunciative". Un'espressione è una forma enunciativa se e solo se rientra in uno dei seguenti tre casi: 1°) è una lettera enunciativa, 2°) se H è una forma enunciativa anche ¬ H lo è; 3°) se H e K sono forme enunciative anche H ⋀ K, H ⋁ K, H → K, H ↔ K sono forme enunciative.

Calcolo enunciativo. - Assiomi del calcolo enunciativo:

Regole d'inferenza del calcolo enunciativo:

a) regola di separazione o di distacco o modus ponens: a una sequenza di fbf in cui occorrano sia K sia K → H può essere aggiunta H; b) regola di sostituzione: a una sequenza di fbf in cui occorra la fbf H si può aggiungere la fbf H(p/K) che si ottiene sostituendo in H tutte le occorrenze della lettera enunciativa p con la fbf K.

Esempi di tesi logiche del calcolo enunciativo:

Semantica della logica degli enunciati. - Interpretazione dei simboli dell'alfabeto: Un'interpretazione I è un'applicazione delle lettere enunciative nell'insieme dei valori di verità W = {V, F} e dei connettivi enunciativi ¬, ⋀, ⋁, →, ↔, ordinatamente sull'insieme delle "funzioni di verità" {Non, Et, Vel, Seq, Aeq} definite la prima su W e le altre sul prodotto cartesiano W × W, tutte a valori in W, come dalla seguente tabella:

Interpretazione delle forme enunciative: Un'interpretazione I associa a ogni forma enunciativa uno dei due valori di verità V o F. Se un'interpretazione I associa alla forma enunciativa H il valore V si dice che I è modello di H, oppure che I soddisfa H. La forma enunciativa H si dice una "fbf valida" o una "tautologia" o un'"identità" se ogni interpretazione I è modello di H: si dice "soddisfacibile" se ammette almeno un modello.

Tavole di verità. - È sempre possibile decidere se una forma enunciativa è valida oppure no, se è soddisfacibile oppure no, mediante le cosiddette "tavole di verità". Data una forma enunciativa, per es., H = (p → q) ≿ p, costruita a partire dalle due lettere enunciative p e q, di essa sono possibili tante interpretazioni quante sono quelle che possono essere date alla coppia (p, q): cioè:

Per decidere se qualcuna delle quattro interpretazioni è modello di H si costruisce la "tavola di verità":

nel seguente modo. Si riportano innanzitutto su quattro righe le diverse interpretazioni I, J, Y, L, al di sotto dei simboli p e q a sinistra della linea verticale (colonne contrassegnate in basso con 1 e 2). Poi le stesse interpretazioni si trascrivono anche a destra della linea verticale al di sotto dei simboli p e q (colonne contrassegnate in basso con 3, 5 e 7). A questo punto è già possibile ricavare il valore di verità della forma enunciativa p → q, servendosi dell'interpretazione di → sulla funzione Seq (questi valori sono riportati nella colonna contrassegnata in basso con 4). Infine si confrontano i valori indicati nella colonna 4 con quelli dell'ultima colonna 7, tenendo conto dell'interpretazione di ≿ sulla funzione Et, e si ottiene la colonna contrassegnata in basso con 6: questi sono i valori associati da ciascuna interpretazione all'intera forma enunciativa H. Si vede quindi che I è modello di H, mentre non lo sono J, Y e L. Quindi H è soddisfacibile, ma non valida. Con le rispettive tavole di verità si verifica subito che ogni assioma e ogni teorema è valido.

Logica dei predicati del prim'ordine. - Linguaggio del prim'ordine. - Alfabeto: È costituito dai seguenti simboli: 1°) Costanti logiche, cioè connettivi e parentesi come per il linguaggio enunciativo, inoltre il quantificatore universale ???S-104??? (da leggere "per ogni") e il quantificatore esistenziale ∃ (da leggere "per qualche"). 2°) Costanti individuali come a, b, c,... e variabili individuali come x, y, z,... 3°) Costanti predicative, cioè simboli per relazioni, come P, Q, R,...; ciascuna costante predicativa ha un ben determinato numero di posti. Quelle a zero posti sono simboli per enunciati. Formule ben formate del linguaggio del prim'ordine: Un espressione è una fbf del prim'ordine se e solo se rientra in uno dei seguenti tre casi: 1°) se P è una costante predicativa a n posti e t₁,... t_n sono n costanti o variabili individuali, allora Pt₁ ... t_n è una fbf, 2°) se H e K sono fbf anche ¬ H, H ⋀ K, H ⋁ K, H → K, H ↔ K sono fbf, 3°) se H è una fbf e x è una variabile individuale anche ???S-104???xH e ∃ xA sono fbf. Una variabile individuale si dice "libera" in un'espressione se non cade sotto l'azione di un quantificatore, altrimenti si dice "vincolata". Una fbf contenente qualche variabile libera si dice "funzione proposizionale" o "enunciato aperto", altrimenti si dice "fbf chiusa" o "enunciato". Ogni enunciato aperto si può trasformare in enunciato premettendo a essa tanti quantificatori quante sono le sue variabili libere:

Calcolo predicativo del prim'ordine. - Assiomi del prim'ordine: Oltre i 15 assiomi del calcolo enunciativo (dove H, K,... stanno per fbf del linguaggio predicativo del prim'ordine),

Regole d'inferenza del calcolo predicativo del prim'ordine: Oltre la regola di separazione, a) regola di sostituzione per variabili individuali e predicative; b) regola di generalizzazione: a una sequenza di fbf in cui occorra la fbf H → K(x) si può aggiungere la fbf H → ???S-104??? xK(x), purché x non sia libera in H; c) regola di particolarizzazione: a una sequenza di fbf in cui occorra la fbf K(x) → H si può aggiungere la fbf ∃ xK(x) → H, purché x non sia libera in H.

Esempi di tesi logiche del prim'ordine:

Semantica della logica dei predicati del prim'ordine. - Interpretazione dei connettivi (v. sopra). Interpretazione dei quantificatori: ???S-104???x e ∃x vengono interpretate sulle "funzioni di quantificazione" Om e Ex rispettivamente, definite sui sottoinsiemi non vuoti di W e a valori in W, come dalla seguente tabella:

Per interpretare gli altri simboli del linguaggio premettiamo la definizione di "universo". Si dice universo o struttura U(α) una successione di insiemi α, W, α₁, α₂,... dove: 1°) α è un insieme non vuoto detto "dominio degli individui"; 2°) W = {V, F} è l'insieme dei valori di verità; α_i = P(αⁱ), cioè è l'insieme di tutte le relazioni a i posti possibili in α, dette "attributi i-adici" (i = 1, 2, 3,...) Dalla definizione segue che l'universo U(α) è determinato appena sia fissato il dominio α dei suoi individui. Per questo motivo si usa parlare semplicemente dell'universo α. Ciò è in relazione con la nostra concezione estensionale della logica. Anzi la struttura di un universo non dipende neppure dalla natura degli elementi di α, ma soltanto dal loro numero, cioè dalla "cardinalità" di α: due insiemi equipotenti α e α′ danno origine a due universi U(α) e U(α′) strutturalmente identici. Dato un universo α si dice "α-interpretazione (simbolicamente I_α) dei simboli del linguaggio" un'applicazione: 1°) dell'insieme delle costanti e variabili individuali nell'insieme α; 2°) dell'insieme degli enunciati in W; 3°) dell'insieme delle costanti predicative i-adiche in α_i; 4°) dell'insieme dei connettivi e dei quantificatori sulle corrispondenti funzioni di verità e di quantificazione. Un'α-interpretazione associa a ogni enunciato H del linguaggio del prim'ordine uno dei due valori di verità V o F, che si indica con I_α(H). I_α si dice "modello" dell'enunciato H se e solo se I_α(H) = V. Un enunciato H si dice "soddisfacibile" ("α-soddisfacibile") se e solo se esiste un'interpretazione (α-interpretazione) che è suo modello. Si dice "valido" ("α-valido") se e solo se ogni interpretazione (α-interpretazione) è suo modello. Tutte le definizioni date si estendono al caso di un insieme di enunciati, per es., un insieme di assiomi o un intero sistema assiomatico.

Conviene ora chiarire come si ottiene il valore di una fbf quantificata. A questo scopo introduciamo il concetto di "reinterpretazione in I_α della variabile x con l'individuo m di α". Si tratta di una nuova interpretazione, in tutto coincidente con I_α, tranne nel fatto che applica x in m. Allora il valore associato da I_α a una fbf del tipo ??? xH sarà V se e solo se per H tutte le reinterpretazioni in I_α della variabile x con un individuo di α hanno valore V; sarà F se e solo se almeno una di tali reinterpretazioni ha valore F. Il valore associato da I_α a una fbf del tipo ∃ xH sarà V se e solo se per H almeno una reinterpretazione in I_α di x con un individuo di α ha valore V; sarà F se e solo se non ne esiste nessuna con valore V.

Logica dei predicati del prim'ordine con identità. - Linguaggio. - E quello della l. del prim'ordine con l'aggiunta nell'alfabeto del simbolo =, che va sempre interpretato con il significato "è identico a", e tra le fbf di quelle del tipo x = y. Assiomi. - Sono quelli precedenti e inoltre

Esempi di tesi logiche:

Teorie elementari. - Le teorie formalizzate che hanno come supporto logico una l. non superiore a quella del prim'ordine con identità (quali, per es., quella dei gruppi, dei campi, ecc.) si dicono "teorie elementari". L'insieme degli assiomi di una teoria elementare si suddivide in due sottoinsiemi disgiunti: quello degli "assiomi logici" (già descrittn in precedenza) e quello degli "assiomi propri" della teoria. Nelle teorie elementari vale il "teorema di deduzione" o "di Herbrand-Tarski": Sia M un insieme di premesse e H una fbf chiusa, se M, H ⊢ K allora M ⊢ H → K. Teorema di correttezza o validità della logica del prim'ordine: Qualunque teorema della l. del prim'ordine è una fbf valida. Corollario: Un'interpretazione che è modello dell'insieme degli assiomi non logici di una teoria elementare è modello di qualunque teorema della teoria. Si può allora dare le seguente definizione: Si dice che un'interpretazione è modello di una teoria se è modello degli assiomi non logici della teoria. Una teoria si dice "contraddittoria" (o incoerente, o inconsistente) se esiste una fbf H del suo linguaggio tale che H e ¬ H sono teoremi della teoria. Altrimenti si dice non contraddittoria (o coerente, o consistente). Teorema di consistenza: La logica dei predicati del prim'ordine (con o senza identità) è consistente. Una teoria si dice "sintatticamente completa", se e solo se per ogni fbf chiusa H del suo linguaggio o H o ¬ H è un teorema della teoria; si dice "semanticamente completa" se e solo se qualunque conseguenza dell'insieme dei suoi assiomi è un teorema della teoria. Teorema di completezza semantica delle teorie elementari (K. Gödel): Una fbf H di una teoria elementare è un teorema di una teoria elementare se e solo se è vera in ogni modello della teoria. Teorema di Löwenheim-Skolem: Se una teoria elementare ha un modello ne ha uno numerabile.

Logica dei predicati del second'ordine. - Linguaggio. - Alfabeto: È quello della logica del prim'ordine con l'aggiunta di "variabili predicative". Fbf: oltre quelle della logica del prim'ordine anche quelle del tipo ??? PH e ∃ PH (dove le variabili predicative sono quantificate). Assiomi. Ai precedenti si aggiungono:

Regole d'inferenza: Quelle di generalizzazione e di particolarizzazione si estendono opportunamente anche alle variabili predicative. Le definizioni d'interpretazione, valore, modello, sono del tutto analoghe a quelle già date.

I problemi fondamentali della logica matematica. - Problema di validità. - Una l. si dice valida se e solo se tutte le tesi sono valide. Il problema è risolto in senso positivo dal già citato teorema di validità.

Problema di adeguatezza o completezza semantica. - Per le teorie elementari (in particolare, per le l. del prim'ordine) è risolto positivamente dal teorema di completezza semantica di Gödel, precedentemente riportato. Altrettanto non si può dire per le teorie del second'ordine, queste (se contengono i simboli dell'aritmetica) risultano sempre semanticamente incomplete.

Problema della completezza sintattica. - La risposta è negativa non solo per le teorie del second'ordine ma anche per quelle elementari purché siano sufficientemente potenti (cioè capaci di formalizzare l'aritmetica) e assiomatizzate (cioè che tali si possa decidere in un numero finito di passi se una fbf è o non un assioma). Infatti il teorema di incompletezza sintattica di Gödel nella formulazione di J. N. Rosser afferma che ogni teoria formalizzata consistente, assiomatizzata e sufficientemente potente è sintatticamente incompleta.

Problema della consistenza. - Il secondo teorema di Gödel (corollario del precedente) dice che la consistenza di qualunque teoria formalizzata coerente e sufficientemente potente non può essere dimostrata attraverso metodi formalizzabili in essa.

Problema di definibilità. - Il teorema di indefinibilità di Tarski afferma, in sostanza, che non è possibile definire all'interno di una teoria formalizzata contenente l'aritmetica un concetto semantico di verità adeguato alle fbf del linguaggio della teoria.

Problema della decisione. - Una teoria formalizzata si dice "decidibile" se e solo se esiste un procedimento per accertare in un numero finito di passi se una qualsiasi fbf del suo linguaggio è o no un teorema della teoria. Tenuto conto del teorema di validità si vede subito che il metodo delle tavole di verità fornisce un facile procedimento di decisione per quel che riguarda la l. degli enunciati. Le cose stanno ben diversamente quando si passa alle l. dei predicati. A. Church ha dimostrato che già a livello predicativo del prim'ordine il problema della decisione non ammette una soluzione generale: solo in alcuni casi particolari tale decisione è possibile (per es., è decidibile la l. del prim'ordine contenente come costanti solamente quelle predicative a un solo posto). Questi risultati negativi segnano il fallimento del sogno leibniziano di risolvere meccanicamente ogni disquisizione logica e dello stesso programma formalista di D. Hilbert e sembrano "annullare tutte le speranze di un'assiomatizzazione consistente e completa della matematica" (E. Mendelson). In altri termini possiamo concludere che il pensiero matematico sfugge a una formalizzazione assoluta e pertanto "deve continuare a essere essenzialmente creativo" (E. Post).

Bibl.: R. Carnap, Die logische Syntax der Sprache, Vienna 1934 (trad. it. di A. Pasquinelli, Milano 1966); D. Hilbert, P. Bernays, Grundlagen der Mathematik, Berlino 1939; S. C. Kleene, Introduction to metamathematics, Amsterdam 1952; E. W. Beth, Les fondements logiques des mathématiques, Parigi 1955 (trad. it. di E. Casari, Milano 1963); J. M. Bochénschi, Formale Logik, Friburgo e Monaco 1956 (ed. it. a cura di A. Conte, Torino 1972); G. Frege, Logica e aritmetica (a cura di A. Mangione), Torino 1956; R. Feys, F. B. Fitch, Dictionary of simbols of mathematical logic, Amsterdam 1958; E. Casari, Lineamenti di logica matematica, Milano 1959; E. Agazzi, Introduzione ai problemi dell'assiomatica, ivi 1961; G. T. Kneebone, Mathematical logic and foundations of mathematics, Londra 1963; A. Robinson, Introduction to model theory and to metamathematics of algebra, Amsterdam 1963 (trad. it. di S. Bozzi, Torino 1974); C. Mangione, Elementi di logica matematica, Torino 1964; R. Mendelson, Introduction to mathematical logic, New York 1964 (trad. it. di T. Pallucchini, Torino 1972); A. Tarski, Introduction to logic and to metodology of deductive sciences, Oxford 1965 (trad. it. di E. Ballo e S. Bozzo, Introduzione alla logica, Milano 1969); P. Cohen, Set theory and the continuum hypothesis, New York 1966 (trad. it. di G. Lolli, Torino 1973); R. C. Lyndon, Notes on logic, New York 1966; G. Kresiel, J. L. Krivine, Éléments de logique mathématique, Théorie des modèles, Parigi 1967; P. Lorenzen, Métamathématique, ivi 1967; D. Ponasse, Logique mathématique, ivi 1967; J. R. Shoenfield, Mathematical logic, Reading 1967; M. L. Dalla Chiara Scabia, Modelli sintattici e semantici delle teorie elementari, Milano 1968; G. Rogers, Mathematical logic and formalized theories, Amsterdam 1971; A. Marruccelli, Teorie formalizzate e logica matematica, Roma 1975.

Recenti progressi della logica matematica.

Considerata in una prospettiva sufficientemente ampia, la l. m. durante gli ultimi quindici anni presenta istanze e acquisizioni molteplici, fermo restando, comunque, il suo organico assetto istituzionale. Questa pluralità di adempimenti coinvolge anche lo sviluppo di altre discipline, quali per es., la metamatematica (v. in questa App.), la teoria dei modelli (v. modelli, teoria dei, in questa App.), ecc., che finiscono, quindi, con l'essere del tutto rilevanti e complementari nella fattispecie.

La complessa tematica ricorrente entro simile contesto implica sia argomenti classici, sia linee di ricerca e congetture nuove (con incidenza a diversi livelli: teorico, metateorico), come, poniamo, la definibilità; la costruibilità; la decidibilità; la ricorsività; i princìpi della dimostrazione; l'analisi dei requisiti assiomatici di completezza, non-contraddittorietà, indipendenza; i calcoli, o sistemi logici, polivalenti, combinatori, probabilistici, intuizionistici, intensionali, modali, temporali, epistemici; la fondazione dell'insiemistica; lo studio delle categorie; le recenti tecniche semantiche.

Volendo fornire un'illustrazione, anche solo sommaria, in proposito, è opportuno sottolineare alcuni tra gli aspetti più significativi del quadro così emerso, a partire da quella che rappresenta, forse, la conquista di maggior rilievo, ossia lo stabilimento dei teoremi di P. J. Cohen nel 1963. Si tratta della nota dimostrazione d'indipendenza dell'assioma di scelta e dell'ipotesi generalizzata del continuo dagli ulteriori assiomi della teoria degl'insiemi, dimostrazione attinta originalmente mediante il ricorso all'idea di forcing, cui sono seguite notevoli revisioni ad opera di A. Mostowski, D. Scott, R. Solovay, G. E. Sacks. Siffatto esito completa l'indagine fondazionale promossa da K. Gödel, nel 1938, col dimostrare la coerenza dell'ipotesi cantoriana del continuo rispetto agli ordinari princìpi della teoria assiomatica degl'insiemi.

Analoga importanza palesa l'evoluzione delle tecniche semantiche, dopo gli apporti di R. Carnap fra il 1945 e il 1960 circa. Infatti, grazie a costruttive critiche o rielaborazioni tanto delle sue tesi generali (soprattutto dell'orientamento intensionalistico, oltre che estensionalistico, nell'analisi del significato), quanto di suoi assunti peculiari, è stato possibile raggiungere effettivamente una migliore consapevolezza delle procedure d'interpretazione dei sistemi formali.

Esemplari al riguardo appaiono le implicanze della specifica dottrina carnapiana delle "descrizioni di stato". Proprio movendo da essa e affinandone il nucleo concettuale - secondo cui "una classe di enunciati in un linguaggio S, la quale, per ogni enunciato atomico, includa o questo o la sua negazione, ma non entrambi, dicesi una "descrizione di stato", poiché descrive, appunto, compiutamente, un possibile stato dell'universo in rapporto a tutte le proprietà e relazioni espresse dai predicati del sistema. Così, le descrizioni di stato "rappresentano i mondi possibili del Leibniz o i possibili stati di cose del Wittgenstein" - studiosi come J. Hintikka e S. A. Kripke hanno potuto assicurare, inter alia, cospicui contributi al consolidamento della l. probabilistica, nonché della l. modale. L'uno, con l'introdurre la nozione di "costituente", quale variante alternativa del concetto di "descrizione di stato", è riuscito a propiziare suggestive aperture nella ricerca sui fondamenti logici della probabilità; mentre l'altro, esplicando la generica nozione di "mondo possibile" mediante le categorie, opportunamente definite, di "struttura modello", "accessibilità", ecc., ha saputo fornire chiarimenti basilari circa il problema delle modalità associabili ai calcoli S₁ − S₅ di C. I. Lewis. Entro il medesimo campo, spiccano del pari, per accuratezza, penetrazione, o fecondità analitica, i lavori di R. Barcan Marcus, S. Kanger, e R. Montague.

L. intuizionistica, l. combinatoria, teoria della dimostrazione costituiscono aspetti ulteriormente distintivi del quadro in esame. Le particolari tesi logiche dell'intuizionismo di L. E. J. Brouwer, già sottoposte con profitto da A. Heyting a trattamento formale, sono state ancora approfondite sotto vari riguardi: C. Spector ne ha elaborato un sistema assiomatico di apprezzabile rigore; S. A. Kripke e R. A. Bull si sono distinti nell'illustrarne la portata semantica, nonché i nessi con la l. modale; G. Kreisel, unitamente a K. Schütte, ha conseguito importanti risultati per quanto concerne le dimostrazioni pertinenti di decidibilità, completezza, o simili; infine, lo stesso Kreisel e N. Goodman sono giunti ad avviare un serio ripensamento critico delle idee-base di "costruzione" (mentale), "funzione", ecc.

Anche gli studi logico-combinatori hanno segnato recentemente non trascurabile progresso. Dopo le trattazioni generali dei "fondatori": da M. Schönfinkel a H. Curry, A. Church, F. B. Fitch, J. B. Rosser, S. C. Kleene, R. Feys, la pregnanza della l. combinatoria è stata ribadita soprattutto col metterne a fuoco proficui riflessi nei confronti di questioni classiche. Così, per es., J. R. Hindley, D. E. Schroer, D. Scott vantano il merito di aver riesaminato sotto tale profilo la problematica della coerenza e della decidibilità; A. Gregorczyk, B. Lercher, L. E. Sanchis si sono in modo analogo validamente impegnati a dirimere dal punto di vista combinatorio quesiti di ricorsività, nonché di teoria dei tipi; E. J. Cogan e R. Titgemeier hanno, inoltre, assicurato consimili estensioni in rapporto alla teoria degl'insiemi.

Non meno intensa è stata la ripresa d'interesse nei confronti della teoria della dimostrazione, successivamente alla stasi pressoché trentennale dell'originaria Beweistheorie di D. Hilbert per effetto del celebre teorema di Gödel del 1931. Mentre G. Kreisel e D. Prawitz hanno affrontato senza incertezze il compito di assoggettare gli schemi dimostrativi applicabili in ambito logico-matematico a indagini più precise, più articolate, più generali di quelle previste dal programma hilbertiano, i medesimi autori, insieme con A. Levy, K. Schütte, S. Feferman, W. Tait, ecc., si sono adeguatamente preoccupati di chiarire, sulla scorta della dottrina gödeliana dei funzionali ricorsivi, ovvero delle singolari tecniche costruttivistiche di G. Gentzen, i presupposti infinitari delle dimostrazioni di coerenza, nonché di completezza, entro il discorso predicativo e aritmetico.

Per ultimare l'esemplificazione fin qui svolta, può addursi un breve cenno circa la teoria delle categorie (v. categorie, teoria delle, in questa Appendice). Elaborata in prevalenza nel corso degli anni Sessanta ad opera di S. MacLane, F. W. Lawvere, P. Freyd, B. Mitchell, J. Sonner, E. H. Spanier, essa costituisce una disciplina parzialmente nuova e tuttora in fieri, il cui intento appare qualificabile come alternativo rispetto agli scopi della teoria degl'insiemi. Infatti, nei suoi termini, le considerazioni insiemistiche risultano destinate a venir sostituite da analisi categoriali riguardanti oggetti e correlativi morfismi.

Bibl.: Più che dalle storie della logica universalmente accreditate (quale, per es., W. Kneale e M. Kneale, The development of logic, Oxford 1962; tr. it. Storia della logica, a cura di A. Conte, Torino 1972), indicazioni sui recenti sviluppi della l. m. sono reperibili in rassegne critiche, panorami antologici, o sintesi monografiche di maggior attualità, come: Formal systems and recursive functions (a cura di J. N. Crossley e M. A. E. Dummett), Amsterdam 1965 (con articoli di R. A. Bull, J. Hintikka, S. A. Kripke, R. Montague, W. Tait, K. Schütte); Contemporary philosophy: a survey. Logic and foundations of mathematics, (a cura di R. Klibansky), Firenze 1968 (con saggi di J. Hintikka, N. Rescher, R. M. Martin, A. Robinson, R. Barcan Marcus, R. Montague, G. H. von Wright, T. Kubinski, J. Slupecki, A. A. Zinovjev, G. C. Moisil, E. Casari, S. Maehara, A. Church, G. Hasenjaeger, K. Gödel, H. Hermes, A. Kino, H. Putnam, S. MacLane, H. B. Curry, A. Heyting, J. Myhill); M. C. Fitting, Intuitionistic logic, model theory and forcing, Amsterdam 1969; Logic colloquium '69 (a cura di R. O. Gandy e C. M. E. Yates), Amsterdam 1971 (con contributi di G. Kreisel, G. E. Sacks, H. Hermes, D. Gabbay, E. Specker); A. A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy, Foundations of set theory, ivi 1973; Logical theory and semantic analysis (a cura di S. Stenlund), Dordrecht 1974 (con scritti di D. Lewis, R. C. Jeffrey, J. Hintikka, D. Scott). A questo elenco di pubblicazioni in lingua straniera possono aggiungersi altri titoli di lavori rilevanti editi nel nostro idioma, sia opere storiche, sia trattati o manuali, sia versioni italiane di eminenti testi dell'odierna letteratura logica mondiale: E. Agazzi, La logica simbolica, Brescia 1964; W. v. O. Quine, Il problema del significato (trad. it. a cura di E. Mistretta e con introduzione di N. Dazzi), Roma 1966; R. Carnap, Analiticità, significanza, induzione (trad. it. a cura di A Meotti e M. Mondadori), Bologna 1971; C. Mangione, La logica nel ventesimo secolo, in: L. Geymonat, Storia del pensiero filosofico e scientifico, vol. VI, Milano 1972, pp. 470-682; P. J. Cohen, La teoria degli insiemi e l'ipotesi del continuo (trad. it. a cura di G. Lolli), Milano 1973; M. L. Dalla Chiara Scabia, Logica, ivi 1974; J. Hintikka, Induzione, accettazione, informazione (trad. it. a cura di M. Mondadori e P. Parlavecchia), Bologna 1974; id., Logica, giochi linguistici e informazione (trad. it. a cura di M. Mondadori e P. Parlavecchia), Milano 1975; P. S. Novikov, Elementi di logica matematica (trad. it. a cura di E. Cordeschi e con prefazione di C. Cellucci), Roma 1975; W. v. O. Quine, I modi del paradosso (trad. it. a cura di M. Santambrogio), Milano 1975; R. Carnap, Significato e necessità (trad. it. a cura di A. Berra e con prefazione di A. Pasquinelli), Firenze 1976. Infine, conviene reiterare la segnalazione di riviste e collane specialistiche, per la ricchezza dei loro apporti sia teorici, sia bibliografici; dal Journal of symbolic logic al Notre Dame journal of formal logic e agli Annals of mathematical logic; dalla Synthese library (Dordrecht) agli Studies in logic and the foundations of mathematics (Amsterdam) e simili.