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localizzazione

Enciclopedia della Matematica (2013)
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localizzazione


localizzazione in algebra, termine che indica il passaggio da un anello commutativo unitario A all’anello delle frazioni AS (oppure S−1A), dove S è una → parte moltiplicativa di A. Quando A è un dominio d’integrità, il procedimento porta alla costruzione di un sottoanello del campo dei quozienti di A. Tale sottoanello è a sua volta detto localizzazione di A rispetto a S. Formalmente, se S ⊆ A − {0} ne è una parte moltiplicativa, allora AS è definito come A × S /∼, cioè come l’insieme quoziente di A × S rispetto alla relazione di equivalenza ∼

formula

La classe di un elemento (a, s) in S−1A è indicata mediante la frazione a /s. Su tale insieme si definisce dunque una struttura di anello commutativo unitario fornendolo delle due operazioni + e ⋅, di addizione e moltiplicazione, definite come segue, dove a e b sono due generici elementi di A e s e t sono due generici elementi di S:

formula

Gli elementi neutri di tali operazioni sono rispettivamente 0 = 0/1 e 1 = 1/1. Tale anello S−1A si presenta insieme a un omomorfismo naturale ƒS: A → S−1A, definito da ƒ(a) = a /1. Tale omomorfismo è iniettivo se e solo se S non contiene divisori dello zero; se A è un dominio d’integrità, le localizzazioni di A si presentano quindi tutte come anelli intermedi compresi tra A e il suo campo dei quozienti. Lo stesso campo dei quozienti di un dominio d’integrità A si presenta come un caso particolare di localizzazione, in cui S coincide con l’intero A − {0}.

Se S è l’insieme delle potenze di un elemento x appartenente ad A e non nilpotente, vale a dire se S = {xn : n ∈ N}, allora la localizzazione di A rispetto a S è anche indicata con il simbolo Ax ed è detta la localizzazione di A rispetto a x. Una seconda importante classe di esempi si ottiene se come insieme S si considera l’insieme complementare in A di un ideale primo P, vale a dire S = A − P.

In tal caso, la localizzazione di A in S è anche indicata con il simbolo AP ed è detta la localizzazione di A rispetto a P. Per esempio, se A = Z è l’anello dei numeri interi e se P = (p) è l’ideale primo generato da un numero primo p, allora Z(p) = {n /m ∈ Q: p non divide m}. Così, Z(2) è l’anello dei numeri razionali con denominatore dispari.

La localizzazione di un anello A rispetto a un suo ideale primo P è un anello dotato di un unico ideale massimale, che coincide con l’ideale generato dall’insieme ƒS(P), vale a dire l’ideale costituito dagli elementi della forma p /s, con p appartenente a P e s appartenente a S. Pertanto, se P è un ideale primo di A, la localizzazione AP di A in P è un anello locale. Per esempio, se A = Z e se P = (p), allora l’ideale massimale M dell’anello locale Z(p) è l’insieme M = {n /m ∈ Q: p divide n ma non divide m}.

Vedi anche
non commutativo In matematica, si dice di struttura nella quale sia definita un’operazione che non è commutativa (➔ commutativa, proprietà). Tali strutture hanno assunto un ruolo importante nella caratterizzazione della cosiddetta geometria n., che studia le proprietà di spazi funzionali attraverso quelle di algebre ... equivalenza Uguaglianza in genere tra cose di natura o qualità diversa. Fisica Principi di equivalenza Principi che postulano l’uguaglianza di effetti prodotti da cause apparentemente diverse (per es., nell’elettromagnetismo il principio di equivalenza tra un magnete e un circuito percorso da corrente) o la trasformabilità ... nilpotente In algebra, elemento di un anello (o di un’algebra) se esso è diverso dall’elemento nullo, e tuttavia dà luogo a tale elemento quando venga elevato a un’opportuna potenza; con significati analoghi si riferisce anche a gruppi e algebre di Lie. In particolare, un gruppo finito è n. se è esprimibile mediante ... algebra Uno dei rami fondamentali delle scienze matematiche: in senso lato l’a. studia le operazioni, definite in un insieme, che godono di proprietà analoghe a quelle delle ordinarie operazioni dell’aritmetica. Con significato specifico è sinonimo di sistema ipercomplesso. La parola al-giabr è usata per la ...
Tag
  • LOCALIZZAZIONE DI UN ANELLO
  • RELAZIONE DI EQUIVALENZA
  • INSIEME COMPLEMENTARE
  • DOMINIO D’INTEGRITÀ
  • CAMPO DEI QUOZIENTI
Vocabolario
localiżżazióne
localizzazione localiżżazióne s. f. [der. di localizzare, sul modello del fr. localisation]. – 1. a. Il localizzare, il localizzarsi, l’essere situato, o anche circoscritto, ristretto, in un determinato luogo: l. di un’epidemia; l. delle...
localiżżatóre
localizzatore localiżżatóre s. m. e agg. (f. -trice) [der. di localizzare]. – 1. s. m. a. Apparecchio o complesso di apparecchi usati per la localizzazione di una sorgente di energia o di un oggetto: l. sonoro, sinon., a seconda dei casi,...
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