Ljapunov Aleksandr Michajlovic

Ljapunov Aleksandr Michajlovic

Ljapunov 〈liapunòf〉 Aleksandr Michajlovič [STF] (Jaroslav 1857 - Odessa 1918) Prof. di matematica nell'univ. di Charkov (1893); socio straniero dei Lincei (1908). ◆ [MCC] Criterio di stabilità di L.: v. sistemi, teoria dei: V 318 f per i sistemi a tempo continuo e V 319 b per i sistemi a tempo discreto. ◆ [MCS] Dimensione di L.: nozione di dimensione frattale (dinamica). Se (A, S, μ) è un sistema dinamico ergodico con A⊂Rn limitato e S differenziabile a tratti, si considerano gli esponenti di L. di (A, S, μ), λ₁≥λ₂≥...≥λn e si costruisce la funzione lineare a tratti che nei punti α = 0,1,2,... vale 0, λ₁, λ₁+λ₂, λ₁+λ₂+λ₃,...; la dimensione di L. è definita dal valore di α in cui questa funzione lineare a tratti si annulla; se la funzione non si annulla per α≤n, allora si pone αc=n. In generale, la dimensione di L. non è minore della dimensione di informazione di A rispetto a μ: si congettura che siano uguali. ◆ [PRB] Esponenti di L.: numeri che misurano l'azione di espansione e contrazione dei segmenti infinitesimi sotto l'azione delle iterate di una trasformazione S, regolare (differenziabile a tratti e localmente invertibile) di Rn in sé, definita nell'intorno di un insieme A chiuso limitato e S-invariante (ossia SA⊂A). L'azione di espansione di Sk, con k = 0, 1, …, nel punto y ∈ A è descritta a mezzo della matrice Mk che dà la trasformazione lineare che trasforma un segmento infinitesimo dl uscente da y nella sua immagine Skdl = Mkdl, che è pure un segmento infinitesimo uscente da Sky. Se dl₁, …, dlp, sono p segmenti infinitesimi linearmente indipendenti uscenti da y, si considera il parallelepipedo da essi generato attorno a y e quello generato dalle loro immagini Mkdl₁, …, Mkdlp attorno a Sky; sia fp,k(y) il massimo del rapporto fra i volumi di questi parallelepipedi e si ponga Λp(y)=limk→∞ (1/k) log fp,k(y), se il limite esiste; si pone, ricorsivamente, λ₁(y)=Λ₁(y) e, per j≥2, λj(y)=Λj-1-1(y). Si ha λ₁(y)≥Λj(y)λ₂(y)≥…. Se λˆ₁(y)>λˆ₂(y)> …>λˆs(y) sono i valori distinti assunti dai numeri λj(y) e λj(y) appare ripetuto nj>1 volte si dice che gli esponenti di L. di S in y sono λ₁(y), λ₂(y), … ovvero sono λˆ₁(y), λˆ₂(y), … con molteplicità nl, n₂, … L' insieme dei punti y∈A nei quali sono definiti gli esponenti di L., denotato L₀(A), non solo è, molto in generale, non vuoto ma ha probabilità 1 rispetto a qualunque distribuzione di probabilità S-invariante μ (ossia tale che μ(E)=μ (S-lE) per ogni insieme chiuso E) che dia probabilità nulla all'insieme dei punti in cui S non è differenziabile (condizione banale se S è differenziabile): è il teorema di Pesin. Non si deve credere che gli esponenti di L. siano indipendenti da y∈L(A); sono però costanti del moto ossia λj(y)≡λj(Sy) e quindi se μ è una misura invariante S-ergodica e che dia probabilità nulla al-l'insieme dei punti in cui S non è differenziabile, allora scegliendo a caso un punto y con distribuzione μ si trovano esponenti locali di L. che non dipendono dal punto trovato (ovviamente, però, cambiando fra le misure ergodiche si troveranno, in generale, valori diversi degli esponenti di L.). Gli esponenti di L. sono intuitivamente proporzionali, con fattore infinito, agli autovalori delle matrici Mk per k=∞, e ci si può domandare se sia possibile definire anche una nozione corrispondente di autovettori. Sarebbe naturale pensare che a ogni punto y∈A si possa associare, almeno se gli esponenti di L. hanno molteplicità 1, una base di vettori vl(y), …, vn(y) tali che Mkvj(y)~exp[kλj(h)]vj (Sky). In generale però questo non si può dire, neppure se gli esponenti di L. sono due a due distinti, s=n; tuttavia qualcosa di molto simile è in generale vero. Infine, si può dare una nozione di esponenti di L. anche per sistemi dinamici continui t→St, ove St è una trasformazione differenziabile a tratti definita nell'intorno di un insieme invariante A chiuso e limitato; a tale scopo si fissa un'unità di tempo t₀ e si trova che gli esponenti di L. di St⁰ hanno la forma λj(y)=t₀λ˜j(y) e quindi è naturale chiamare λ˜j(y) gli esponenti di L. del sistema dinamico continuo St. Si noti che questi esponenti non sono numeri puri ma hanno la dimensione dell'inverso di un tempo: v. cammini aleatori: I 467 c sgg. ◆ [MCC] Funzioni di L.: v. stabilità del moto: V 578 e. ◆ [ELT] Metodo di L.: v. sistemi, teoria dei: V 322 b. ◆ [ANM] Metodo di riduzione di L.-Schmidt: v. analisi non lineare: I 140 d. ◆ [MCC] [ELT] Stabilità e stabilità asintotica del moto secondo L.: v. stabilità del moto: V 576 f. ◆ [MCC] Teoremi di L.: v. stabilità del moto: V 578 f per il primo teorema e V 579 a per il secondo teorema.