legge esponenziale
legge esponenziale
legge esponenziale espressione genericamente impiegata per designare l’andamento di una serie di osservazioni nel tempo quando queste presentano un tasso di incremento approssimativamente proporzionale all’andamento stesso. Si dice perciò che un fenomeno segue una legge esponenziale, oppure che si sviluppa in modo esponenziale, quando esso è espresso quantitativamente da una variabile y dipendente dal tempo t secondo una legge del tipo y = h ⋅ akt in cui h, k ≥ 1 e la base a > 0. In particolare, se a > 1 il fenomeno cresce in modo esponenziale (e quindi molto rapidamente): un esempio di fenomeno che segue una legge di crescita di tipo esponenziale è il valore della quantità di denaro da restituire dopo t anni per una somma ricevuta in prestito in regime di → capitalizzazione composta. Se invece 0 < a < 1 si ha un decadimento esponenziale, come nel caso del decadimento radioattivo, con un tasso di incremento negativo tendente a zero.
In senso più ristretto, la legge esponenziale è quella rappresentata dalla curva grafico della funzione y = aebt, dove y è una variabile che misura il fenomeno rappresentato, a e b sono due costanti, e (numero di Nepero) è la base dei logaritmi naturali e t è il tempo. Tale curva è detta curva esponenziale; i suoi parametri possono essere stimati passando alla trasformazione logaritmica: lny = lna + bt e impiegando, quindi, un metodo di regressione, quale per esempio il metodo dei minimi quadrati. Una legge esponenziale descrive un fenomeno che cresce in modo tale che il suo tasso di crescita è descritto anch’esso da una legge esponenziale; infatti la derivata di ex è la stessa ex e la derivata di aebt rispetto al tempo t è abebt (→ funzione esponenziale).