Legendre Adrien-Marie

Legendre Adrien-Marie

Legendre 〈lëgŠàndr〉 Adrien-Marie [STF] (Tolosa 1752 - Parigi 1833) Prof. di matematica nell'École militaire di Parigi (1775); passò a dirigere, nel Bureau des longitudes (1787), i lavori per misurare l'arco di meridiano Dunkerque-Barcellona, succedendo poi in questo Bureau a G.L. Lagrange (1812); da ultimo insegnò matematica nell'École Polytechnique (1816). ◆ [ANM] Condizione di L.: condizione necessaria di minimo per soluzioni estremali di problemi variazionali: v. variazioni, calcolo delle: VI 463 f. ◆ [ANM] Equazione di L.: l'equazione differenziale omogenea (1-x2)y''-2xy'+n(n+1)y=0, con n costante; s'incontra nella ricerca della soluzione dell'equazione di Laplace in coordinate sferiche e quindi è di particolare importanza nello studio di situazioni fisiche descritte da potenziali a simmetria sferica o espressi in coordinate sferiche; le sue soluzioni, dette funzioni, o funzioni associate, di L., nel caso in cui n sia intero non negativo assumono la forma di polinomi di grado n detti polinomi di L. (v. oltre): v. equazioni differenziali ordinarie nel campo reale: II 458 e. ◆ [ANM] Forme canoniche di L.: le tre funzioni F(ϑ,k)=∫₀ϑdφ/(1-k2sin2φ)1/2, E(ϑ,k)=∫₀ϑ (1-k2sin2φ)dφ, D(ϑ,n,k)= ∫₀ϑdφ/[(1+nsin2φ)(1-k2sin2φ)1/2]; quando in esse si ponga ϑ=š/2, le espressioni ottenute si chiamano integrali ellittici completi di L.; questi ultimi sono importanti in quanto ogni integrale del tipo ∫R(x)P1/2dx, con R funzione razionale e P polinomio in x di terzo o quarto grado privo di radici multiple, si può, mediante un'opportuna sostituzione della variabile, ridurre a una somma di integrali dei tipi precedenti, per il calcolo dei quali esistono tavole numeriche. ◆ [ANM] Funzione, o funzione associata, di L.: lo stesso che polinomi di L. (v. oltre). ◆ [ANM] Funzione generatrice della trasformazione di L.: v. meccanica analitica: III 662 d. ◆ [ANM] Integrali ellittici di L.: v. sopra: Forme canoniche di Legendre. ◆ [ANM] Polinomi, o polinomi associati, di L.: polinomi che soddisfano l'equazione di L. (v. sopra), dati dalla formula Pn(x)=1/(n!2n)[dn (x2-1)n/dxn]; Pn(x) diventa nullo in corrispondenza a n valori distinti dell'intervallo (-1,1) e in questo intervallo i Pn(x) costituiscono un sistema di funzioni ortogonali (la fig. dà il diagramma per n= 1÷4); in coordinate sferiche, come capita, per es., nell'astrofisica per lo sviluppo del potenziale geogravitazionale, nella geofisica per il potenziale, essi hanno una forma relativ. semplice, in quanto, essendo x=cosϑ, con ϑ colatitudine, per gli ordini più bassi (i più importanti) risulta P₁(x)=cosϑ, P₂(x)= (3cos2ϑ-1)/2 (v. meccanica celeste: III 672 e e magnetismo terrestre: III 536 f). ◆ [ANM] Teorema di moltiplicazione di Gauss-L.: v. funzioni di variabile complessa: II 781 a. ◆ [ANM] Trasformata di L.: la funzione risultante della trasformazione di L. (v. oltre). ◆ [ANM] Trasformazione di L.: costituisce il legame tra la formulazione lagrangiana e quella hamiltoniana della meccanica analitica: v. meccanica analitica: III 662 c.