lagrangiano

lagrangiano

Nei problemi di ottimizzazione vincolata (➔ ottimizzazione p), funzione utilizzata per caratterizzarne le soluzioni, attraverso la determinazione delle equazioni che devono essere verificate in un punto di ottimo. Più precisamente, la soluzione del problema di ottimo vincolato corrisponde a quella della massimizzazione non vincolata del lagrangiano. Tecnicamente, se tutte le funzioni sono continuamente differenziabili, allora le condizioni necessarie, dette del primo ordine, affermano che le derivate prime del l. (o funzione lagrangiana) rispetto a tutte le variabili devono annullarsi nel punto di ottimo.

Applicazioni

Formalmente, un problema di ottimizzazione vincolata consiste nella massimizzazione di una funzione obiettivo f(x), dove x rappresenta una o più variabili, ovvero equivalentemente nella minimizzazione della stessa funzione con il segno invertito, −f(x), sotto una serie di vincoli, espressi tramite M equazioni, g₁(x)=0, g₂(x)=0, …, gM(x)=0, e K disuguaglianze, h₁(x)≤0, h₂(x)≤0, …, hK(x)≤0. Il l. è definito come la seguente funzione:

L

(x,λ)=f(x)−λ₁g₁(x)−…−λ_Mg_M(x)−λ₁h₁(x)

−…−λKhK(x).

Le variabili λ=(λ₁,…, λ_M, λ₁,…, λ_K) sono dette moltiplicatori di Lagrange (➔ Lagrange, moltiplicatore di). Si assuma, per semplicità, che ci sia un’unica variabile x e nessun vincolo di disuguaglianza h; per il caso generale in cui sono presenti anche vincoli di disuguaglianza (➔ Kuhn Tucker, condizioni di). Si dimostra che, se x* è un punto di ottimo, allora la derivata del l. rispetto a x si annulla nel punto x*, ossia vale la seguente equazione:

L

_x(x,λ)=f_x(x*)−λ₁g_1x (x*)−…−λ_Mg_Mx (x*)=0

dove L_x, f_x e g_x rappresentano le derivate delle funzioni rispetto a x. Inoltre, la derivata del l. rispetto a ogni moltiplicatore di Lagrange λ è uguale alla relativa funzione g, e quindi il vincolo di uguaglianza impone che: L_λ(x*,λ)=g(x*)=0, dove L_λ è la derivata del l. rispetto al moltiplicatore λ. Queste sono, dunque, le condizioni necessarie per un ottimo e corrispondono a quelle per un ottimo non vincolato di L(x,λ) rispetto alle sue variabili x e λ.

Un esempio economico aiuta a chiarire il significato delle precedenti equazioni. Si consideri il problema di un consumatore che spenda il proprio reddito y per comprare due beni, x₁ e x₂, al prezzo p₁ e p₂ rispettivamente, per massimizzare la propria utilità U(x₁,x₂). Il suo vincolo di bilancio, p₁x₁+p₂x₂=y, gli impone di non spendere più di y (né vuole spendere meno, assumendo per semplicità che non possa risparmiare). Nella terminologia precedente, si ha f(x)=U(x₁,x₂) e g(x)=p₁x₁+ p₂x₂−y. In questo caso, le condizioni necessarie per un punto di ottimo impongono che u₁(x*)/u₂(x*)=p₁/p₂ (dove u₁ e u₂ sono le utilità marginali dei beni x₁ e x₂), ossia che il saggio marginale di sostituzione u₁/u₂ sia uguale ai prezzi relativi p₁/p₂. Inoltre si dimostra che, nel punto di ottimo, la variazione della funzione di utilità u(x) al variare del reddito y, misurata formalmente dal differenziale du/dy, è pari al valore del moltiplicatore di Lagrange λ: du(x*)/dy=λ. Il moltiplicatore di Lagrange, dunque, misura il valore marginale, o valore ombra, che il consumatore assegna, nel punto di ottimo, a un aumento del reddito che renda meno stringente il vincolo di bilancio.