L’ipotesi del continuo

Il contributo è tratto da Storia della civiltà europea a cura di Umberto Eco, edizione in 75 ebook

L’ipotesi del continuo, formulata da Georg Cantor negli anni Settanta dell’Ottocento, afferma che non esistono cardinalità comprese tra quella dei numeri naturali e quella dei reali. Ossia: la cardinalità del continuo è il più piccolo numero cardinale più che numerabile. Nel 1938 Kurt Gödel dimostra che se gli assiomi della teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel sono coerenti, allora essi non riescono a rigettare l’ipotesi del continuo. Sotto la stessa assunzione, nel 1963 Paul J. Cohen dimostra che gli assiomi della teoria assiomatica non riescono neppure a dimostrare l’ipotesi. In altre parole, l’ipotesi del continuo è un enunciato indipendente dalla teoria assiomatica degli insiemi.

Cantor, Gödel e Cohen: una riflessione in evoluzione

Negli anni Settanta dell’Ottocento, Georg Cantor sostiene l’idea che gli insiemi infiniti possano avere diverse estensioni, separando gli insiemi numerabili e gli insiemi più che numerabili. Ciò segna la nascita della teoria degli insiemi come disciplina matematica autonoma. Ricordiamo che due insiemi infiniti sono equipotenti (ovvero hanno lo stesso numero di elementi) se hanno la stessa cardinalità se i loro elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca; dati due insiemi I e I’, la cardinalità di I è maggiore della cardinalità di I’ se esiste un sottoinsieme proprio di I che è equipotente a I’, ma non esiste una corrispondenza biunivoca tra gli elementi di I e quelli di I’. Un insieme infinito si dice numerabile se è equipotente con l’insieme dei numeri naturali N: per esempio, l’insieme dei numeri algebrici e l’insieme dei numeri razionali sono numerabili. N contiene sottoinsiemi propri che a loro volta sono numerabili. Questo fenomeno era ben noto: già Galileo Galilei, nei Dialoghi su due nuove scienze (1638), aveva notato l’esistenza controintuitiva di una corrispondenza biunivoca tra gli interi positivi e i loro quadrati.

Nel 1874 Cantor dimostra che N e l’insieme dei numeri reali R hanno una differente cardinalità: R è infatti più che numerabile e prova in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Il numero cardinale di N è denotato con (aleph-zero), quello di R con lettera gotica c, ed è chiamato continuo. Poiché , Cantor pose la questione dell’esistenza di sottoinsiemi di R con cardinalità compresa tra e c, congetturando che ogni sottoinsieme infinito di R abbia cardinalità oppure cardinalità c. In altre parole, egli ipotizza che il continuo costituisce la cardinalità immediatamente successiva alla cardinalità degli insiemi numerabili. Altre formulazioni equivalenti di questa ipotesi includono:

• non esiste un numero cardinale tra e c;

• ;

• (perché la cardinalità del continuo è uguale a quella dell’insieme potenza dei numeri naturali,).

L’ipotesi di Cantor, in ognuna delle sue formulazioni equivalenti, prende il nome di ipotesi del continuo (IC), un nome mai adoperato da Cantor, ma introdotto nel 1901 dal suo allievo Felix Bernstein (1878-1956). Quest’ipotesi, proposta da Cantor per la prima volta nella memoria del 1878 Eine Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre (Un contributo alla teoria degli insiemi è il primo e più famoso problema della lista dei 23 problemi aperti presentati da David Hilbert al congresso internazionale di matematica di Parigi nel 1900. Un’estensione di IC è formulata nel 1908 da Felix Hausdorff e prende il nome di ipotesi del continuo generalizzata (ICG):

per ogni ordinale α,

In altri termini, il numero cardinale dell’insieme potenza di un insieme di cardinalità è il più piccolo numero cardinale più grande di .

Nel 1947 Waclaw Sierpinski dimostra che ICG implica l’assioma della scelta. Nel 1938 Kurt Gödel dimostra che IC è coerente con gli assiomi standard della teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo-Fraenkel anche adottando l’assioma della scelta, cioè, che nessuna contraddizione segue se aggiungiamo questa ipotesi agli assiomi. Gödel congettura inoltre che IC è formalmente indecidibile in questa teoria assiomatica. In effetti, nel 1963, Paul J. Cohen, introducendo un’ingegnosa tecnica di costruzione di modelli chiamata forcing, mostra che se aggiungiamo a questi stessi assiomi la negazione di IC, nessuna contraddizione può essere derivata.

Mettendo insieme il risultato di Gödel con quello di Cohen, risulta così che IC è indipendente dalla teoria degli insiemi di Zermelo-Frankel e dall’assioma della scelta e lo stesso vale per ICG. Questo risultato, da un lato sottolinea l’inadeguatezza della teoria standard degli insiemi a decidere la verità o la falsità dell’ipotesi del continuo, e dall’altro pone il problema di scoprire nuovi assiomi per la teoria degli insiemi che rendano possibile dimostrare o refutare l’ipotesi di Cantor. Anche il primo teorema d’incompletezza fornisce un esempio di proposizione indecidibile in un sistema formale sufficientemente espressivo da ambire a esprimere l’aritmetica, ma questa indecidibilità può essere decisa banalmente in un sistema “superiore”.